Nullvektortér

A nullvektortér a matematikában egy vektortér, ami egyetlen vektort tartalmaz elemként, a nullvektort. Izomorfia erejéig az egyetlen nulla dimenziós vektortér, melynek bázisa az üres halmaz. Minden vektortér tartalmaz nullvektorteret legkisebb altereként. Vektorterek direkt összegében, illetve direkt szorzatában a nullvektortér neutrális elem. Adott test fölötti vektorterek kategóriájában a nullvektortér a nullobjektum.

Definíció

A $(\{0\},+,\cdot )$ nullvektortér egy tetszőleges $K$ test fölötti vektortér, ami az egyetlen $\{0\}$ vektorból áll. Az egyetlen lehetséges összeadás:

$0+0=0$

és az egyetlen lehetséges skalárral szorzás:

$\alpha \cdot 0=0$

minden $\alpha \in K$ skalárra. Így a $0$ vektor neutrális elem az összeadásra, és nullvektornak nevezzük.

Tulajdonságok

Vektortér-axiómák

A nullvektortér eleget tesz a vektorterek axiómáinak:

• $(\{0\},+)$ Abel-csoport, mégpedig a triviális csoport
• a skalárral szorzásra teljesül az asszociativitás, illetve a disztributivitás:
  • $\alpha \cdot (\beta \cdot 0)=\alpha \cdot 0=0=(\alpha \cdot \beta )\cdot 0$
  • $\alpha \cdot (0+0)=\alpha \cdot 0=0=0+0=\alpha \cdot 0+\alpha \cdot 0$
  • $(\alpha +\beta )\cdot 0=0=0+0=\alpha \cdot 0+\beta \cdot 0$
• az $1\in K$ elem neutrális:
  • $1\cdot 0=0$

Bázis és dimenzió

A nullvektortér egyetlen bázisa az üres halmaz, mivel az üres halmaz lineáris burkára teljesül, hogy:

$⟨\mathrm{\varnothing }⟩=\{0\}$.

Így a nullvektortér dimenziója:

$\dim (\{0\})=|\mathrm{\varnothing }|=0$.

Megfordítva, bármely test fölötti nulldimenziós vektortér izomorf a nullvektortérrel.

Altérként

Ha $V$ tetszőleges vektortér a $K$ test fölött, akkor van egy egyértelműen meghatározott neutrális eleme, a $0_V$. Az $U=\{0_V\}$ halmaz altere $V$-nek, mivel nem üres, és zárt a vektoriális összeadásra, illetve skalárral szorzásra:

• $U\ne \mathrm{\varnothing }$
• $0_V+0_V=0_V\in U$
• $\alpha \cdot 0_V=0_V\in U$ minden $\alpha \in K$ esetén

Ezzel a $\{0_V\}$ tér, mint minden egyelemű vektortér, izomorf a nullvektortérrel, és $V$ nullvektorterének nevezik. Mivel egy vektortér nem lehet üres, azért ez a legkisebb lehetséges altere egy vektortérnek. Egy $V$ vektortér két komplementer alterének, $U_1$-nek és $U_2$-nek a metszete:

$U_1\cap U_2=\{0_V\}$.

Összegek és szorzatok

A nullvektortér a vektorterek direkt összegére és direkt szorzatára vonatkozóan a nullvektortér neutrális elem, vagyis minden $V$ vektortérben:

$\{0\}\oplus V\cong V\cong V\oplus \{0\}$   illetve   $\{0\}\pi V\cong V\cong V\pi \{0\}$.

Ezzel szemben a tenzorszorzásban elnyelő tulajdonságú, azaz:

$\{0\}\otimes V\cong \{0\}\cong V\otimes \{0\}$.

Kategóriaelmélet

Az egy adott test fölötti vektorterek kategóriájában a lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal a nullvektortér nullobjektum: minden vektortérből pontosan egy lineáris leképezés megy a nullvektortérbe, és a nullvektortérből minden vektortérbe egyetlen lineáris leképezés megy: ami mindenhez a nullvektort rendeli. Ez a nullfüggvény, ami egyúttal a nullmorfizmus.

Forrás

• Sablon:Cite book