De Moivre-képlet

A harmadrendű egységgyökök ábrázolása

A De Moivre-képlet, amely Abraham de Moivre francia matematikusról kapta a nevét, azt mondja ki, hogy minden x komplex szám (sajátos esetben minden valós szám) és minden n egész szám esetén fennáll a

${(\cos x+i\sin x)}^n=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).$

egyenlőség.

A képlet azért fontos, mert összeköti a komplex számokat a trigonometrikus függvényekkel.

Kifejtve a bal oldali kifejezést és összehasonlítva a valós és imaginárius részeket, levezethető cos(nx) illetve sin(nx) cos(x) és sin(x) függvényében. Ezen kívül, a képlet segítségével meg lehet határozni az n-edrendű egységgyököket, vagyis azokat a z komplex számokat, amelyekre zⁿ = 1.

Bizonyítás

Három esetet veszünk.

Ha n > 0, teljes indukciót használunk. Ha n = 1, az eredményt nyilvánvalóan igaz. Tételezzük fel tehát, hogy az eredmény igaz egy tetszőleges k egész szám esetén. Vagyis azt feltételezzük, hogy

${(\cos x+i\sin x)}^k=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).$

Akkor n = k + 1 esetén:

$\begin{array}{cc}{(\cos x+i\sin x)}^{k+1}& ={(\cos x+i\sin x)}^k(\cos x+i\sin x)\\ & =[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)](\cos x+i\sin x)\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{c}\mathrm{i}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{v}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{j}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{n}\\ & =\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x]\\ & =\cos \left[(k+1)x\right]+i\sin \left[(k+1)x\right]\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{s}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{j}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{n}\end{array}$

Vagyis bebizonyítottuk azt, hogy amennyiben a képlet igaz k -ra, akkor igaz n = k + 1 -re is. A teljes indukció elve alapján következik, hogy az eredmény igaz lesz minden n≥1 pozitív egész szám esetében.

Ha n = 0 a képlet igaz, mivel $\cos (0x)+i\sin (0x)=1+i0=1$, és $z^0=1$.

Ha n < 0, vegyük azt az m pozitív egész számot, amelyre n = ‒m. Akkor

$\begin{array}{cc}{(\cos x+i\sin x)}^n& ={(\cos x+i\sin x)}^{-m}\\ & =\frac{1}{{(\cos x+i\sin x)}^m}\\ & =\frac{1}{(\cos mx+i\sin mx)}\\ & =\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\ & =\cos (-mx)+i\sin (-mx)\\ & =\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{array}$

Vagyis a tétel igaz minden egész szám n-re.

Alkalmazás

A képlet segítségével meghatározhatók egy komplex szám $n$-edik gyökei. Ha $z$ egy komplex szám, melynek trigonometrikus alakja

$z=r(\cos x+i\sin x),$

akkor

$z^{1/n}={\left[r(\cos x+i\sin x)\right]}^{1/n}=r^{1/n}[\cos \left(\frac{x+2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{x+2k\pi }{n}\right)]$

akkor az $n$ darab különböző gyök értékét úgy kapjuk, hogy sorra behelyettesítjük $k$-t egész értékekkel $0$ és $n-1$ között. Sablon:Portál