Kvaterniók

Hamilton

A matematikában a kvaterniók a komplex számok négy dimenzióra történő nem kommutatív kiterjesztései. Először Sir William Rowan Hamilton ír matematikus, fizikus és csillagász vezette be 1843-ban (Hamilton-féle számoknak is nevezik).

Definíció

Csoportelméleti definíció

Hasonlóan ahhoz, ahogy a komplex számokat a valós számkör i-vel való kiegészítésével kaptuk, ahol i kielégíti az i² = −1 egyenlőséget, a kvaterniókat az i, j és k elemeknek a valós számkörhöz való hozzávételével nyerjük, ahol i, j és k teljesíti a következőket:

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$

Ha a szorzást asszociatívnak tekintjük (és valóban az is), a következő egyenlőségek állnak fenn:

$\begin{array}{ccccccccc}ij& =& k,& & & & ji& =& -k,\\ jk& =& i,& & & & kj& =& -i,\\ ki& =& j,& & & & ik& =& -j.\end{array}$

Minden kvaternió felírható a báziskvaterniók (1, i, j és k) lineáris kombinációjaként, azaz minden kvaternió egyértelműen kifejezhető a + bi + cj + dk alakban, ahol a, b, c és d valós számok.

Halmazelméleti definíció

$ℍ$=$\{$(a, b, c, d) $\in ℝ$⁴$\}$

Halmazelméleti szempontból a kvaterniók a komplex számok önmagukkal vett direktszorzataként értelmezhetők, a következő összeadási és szorzási szabályokkal:

• (a, b, c, d)+(A, B, C, D) = (a+A, b+B, c+C, d+D)
• Szorzásukat egyszerűbb kifejezni az alábbi jelölésekkel: (a, b, c, d) = (a, v), ahol a egy valós szám, v egy háromdimenziós vektor, valamint v$\cdot$V a skaláris szorzatukat, v $\times$ V pedig a vektoriális szorzatukat jelöli. Ekkor (a, v) $\cdot$ (A, V) = (a$\cdot$A-v$\cdot$V, a$\cdot$V + A$\cdot$v + v $\times$ V), ahol a $\cdot$ jelöli a szokásos skalár-vektor szorzást is.

A kvaterniók ferdetestet alkotnak.

Komplex mátrixok

Ez a konstrukció a kvaterniókat részgyűrűnek tekinti a ${ℂ}^{2\times 2}$-es mátrixok gyűrűjében. Az 1, i, j, k báziskvaterniókat ezek a mátrixok ábrázolják:

$1\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\mathrm{i}\mapsto \left(\begin{array}{cc}{\mathrm{i}}_{ℂ}& 0\\ 0& -{\mathrm{i}}_{ℂ}\end{array}\right),\mathrm{j}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),\mathrm{k}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& {\mathrm{i}}_{ℂ}\\ {\mathrm{i}}_{ℂ}& 0\end{array}\right),$

ahol is a komplex képzetes egységet ${\mathrm{i}}_{ℂ}$ jelöli az egyértelműség kedvéért.

Ebben az ábrázolásban

$\mathrm{i}\mapsto {\mathrm{i}}_{ℂ}{\sigma }_3,\mathrm{j}\mapsto {\mathrm{i}}_{ℂ}{\sigma }_2,\mathrm{k}\mapsto {\mathrm{i}}_{ℂ}{\sigma }_1,$

ahol ${\sigma }_i$ az i-edik Pauli-mátrixot jelöli.

Eszerint a kvaterniók halmaza megfelel a

$\left\{\left(\begin{array}{cc}w& z\\ -\bar{z}& \bar{w}\end{array}\right)\right|w,z\in ℂ\}.$

mátrixok halmazának.

Ezeknek a mátrixoknak mindig $|w{|}^2+|z{|}^2$ a determinánsa, amiből már következik a nullosztómentesség, hiszen a mátrixok gyűrűjében a nullosztók determinánsa nulla, itt pedig az összes nem nulla mátrix determinánsa pozitív. A műveletek asszociativitása a mátrixműveletek asszociativitásából következik. Az $\mathrm{i},\mathrm{j},\mathrm{k}$ szorzására vonatkozó szabályok egyszerű számolással igazolhatók.

A kvaterniók másként is ábrázolhatók a komplex számok fölötti ${ℂ}^{2\times 2}$-es mátrixok gyűrűjében, de az összes többi lehetőség konjugált a már leírt változathoz.

Hányadosalgebra

Az absztrakt algebra lehetőséget ad a kvaterniók hányadosalgebraként történő definiálására. Eszerint a kvaterniók előállnak a háromhatározatlanú polinomok nem kommutatív gyűrűjének a Hamilton-szorzásszabályok alkotta ideállal vett faktoraként.

Egy másik módszerhez elég két határozatlan. Ekkor a kvaterniók algebrája az $i\mapsto e_1,j\mapsto e_2,k=ij\mapsto e_1{e}_2$ által generált kétdimenziós euklideszi sík Clifford-algebrájaként áll elő.

A Clifford-algebrák egységelemes asszociatív algebrák, amiket egy kvadratikus alakkal ellátott vektortér generál. A Cℓ(V,Q) Clifford-algebra a legszabadabb algebra azzal a kikötéssel, hogy:

$v^2=Q(v)1$ minden $v\in V.$

A háromdimenziós forgatásokkal való összefüggésben fontos szerephez jut az, hogy a kvaterniók algebrája az $i\mapsto e_2{e}_3,j\mapsto e_3{e}_1,k\mapsto e_1{e}_2$ által generált euklideszi tér Clifford-algebrájának páros részének tekinthető.

Alapműveletek

Valós és képzetes rész

Az

$x=x_0+x_1\cdot \mathrm{i}+x_2\cdot \mathrm{j}+x_3\cdot \mathrm{k}$

kvaternió valós része:

$\mathrm{R}\mathrm{e}x=x_0,$

míg a többi koordináta a képzetes részhez tartozik:

$\mathrm{I}\mathrm{m}x=x_1\cdot \mathrm{i}+x_2\cdot \mathrm{j}+x_3\cdot \mathrm{k}$

A képzetes részt gyakran a valós háromdimenziós vektorok vektorterével azonosítják:

$(x_1,x_2,x_3)\in {ℝ}^3$.

Ha az $x_0+x_1\cdot \mathrm{i}+x_2\cdot \mathrm{j}+x_3\cdot \mathrm{k}$ kvaterniókat a valós skalárból és a háromdimenziós vektorból álló párokkal azonosítjuk:

$(s,\overrightarrow{v})$, ahol $s=x_0$ és $\overrightarrow{v}=(x_1,x_2,x_3)$,

akkor a szorzás felírható így:

$(s,\overrightarrow{v})\cdot (t,\overrightarrow{w})=(st-⟨\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}⟩,s\overrightarrow{w}+t\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}).$

A valós számok azonosíthatók azokkal a kvaterniókkal, amiknek képzetes része a nullvektor.

Azokat a kvaterniókat, amiknek a valós része nulla, tiszta, vagy tisztán képzetes kvaternióknak nevezik. Ezek éppen azok a kvaterniók, aminek négyzete valós, és nem pozitív. A tisztán képzetes kvaterniók halmaza:

${ℍ}_{\text{Rein}}=\mathrm{I}\mathrm{m}ℍ=\{x\in ℍ\mid \mathrm{R}\mathrm{e}x=0\}=\{x\in ℍ\mid x^2\in ℝ,x^2\le 0\}.$

Ez egy háromdimenziós vektortér, aminek egy bázisa $\{\mathrm{i},\mathrm{j},\mathrm{k}\}$.

Két tiszta képzetes kvaternió szorzatában a valós rész a tisztán képzetes kvaterniók skaláris szorzatának mínusz egyszerese; a képzetes rész a tisztán képzetes kvaterniók vektoriális szorzataként előálló tisztán képzetes kvaternió:

$(0,\overrightarrow{v})\cdot (0,\overrightarrow{w})=(-⟨\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}⟩,\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}).$

Konjugálás és norma

Egy kvaternió konjugáltjában a valós rész ugyanaz, a képzetes rész ellentett:

$\overline{x_0+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}=x_0-x_{1}i-x_{2}j-x_{3}k$

A konjugált másként is kifejezhető:

$\bar{q}=-\frac{1}{2}(q+\mathrm{i}\cdot q\cdot \mathrm{i}+\mathrm{j}\cdot q\cdot \mathrm{j}+\mathrm{k}\cdot q\cdot \mathrm{k})$

A konjugálás legfontosabb tulajdonságai:

• $\overline{(\overline{x})}=x$, a konjugált konjugáltja az eredeti kvaternió
• $\overline{x+y}=\overline{x}+\overline{y}$ és
  $\overline{\lambda x}=\lambda \cdot \overline{x}$ minden valós λ számra, vagyis a konjugálás lineáris leképezés $ℝ$ fölött
• $\overline{x\cdot y}=\overline{y}\cdot \overline{x}$
• $x\cdot \overline{x}=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2$, az $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ vektorok normája mindig valós, és sohasem negatív

Ezt a mennyiséget az $x_0+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k=$ kvaternió normájának is nevezik.

Erre a normára teljesül az

$|x\cdot y|=|x|\cdot |y|.$

összefüggés, így ezzel a normával a kvaterniók Banach-algebrát alkotnak.

Ahogy a komplex számoknál, úgy a kvaternióknál is megadható a valós és a képzetes rész a konjugálás segítségével:

• $\frac{x+\overline{x}}{2}$ a valós rész;
• $\frac{x-\overline{x}}{2}$ a képzetes rész.

Ha egy kvaternió megegyezik a konjugáltjával, akkor valós. Ha a konjugálás ellentettjére változtatja, akkor tisztán képzetes.

A norma kifejezhető a konjugálással:

$|x|=\sqrt{x\cdot \overline{x}}$

Invertálás

Az $x\ne 0$ kvaternió inverze az az x⁻¹ kvaternió, amivel

$x\cdot x^{-1}=1$ és $x^{-1}\cdot x=1.$

Mivel a szorzás nem kommutatív, azért kétféle osztás definiálható:

$b\cdot a^{-1}$ és $a^{-1}\cdot b,$

amik rendre a

$xa=b$ és az $ax=b$

egyenleteket oldják meg.

A két egyenlet megoldása akkor és csak akkor egyezik meg, ha a valós, mert csak a valósok cserélhetők fel az összes kvaternióval. Az absztrakt algebra nyelvén úgy mondjuk, hogy a kvaterniók ferdetestének centruma a valós számok halmaza. Így a $\frac{b}{a}$ kifejezésbe hallgatólagosan beleértjük, hogy a valós.

Ezen kívül teljesül

$a^{-1}\cdot b^{-1}=(b\cdot a{)}^{-1},$

ugyanis

$a^{-1}\cdot b^{-1}\cdot b\cdot a=1$

és

$(b\cdot a{)}^{-1}\cdot b\cdot a=1.$

Ezzel egy $x\ne 0$ kvaternió inverze

$x^{-1}=\frac{\overline{x}}{|x{|}^2},$

mivelhogy

$x^{-1}=(\overline{x}\cdot {\overline{x}}^{-1})\cdot x^{-1}=\overline{x}\cdot ({\overline{x}}^{-1}\cdot x^{-1})=\overline{x}\cdot (x\cdot \overline{x}{)}^{-1}=\overline{x}\cdot (|x{|}^2{)}^{-1}.$

$|x{|}^2$ valós, és $\ne 0$, ezért ez a kifejezés tört alakban is írható:

$\frac{\overline{x}}{|x{|}^2}.$

Egységkvaterniók

Az egységkvaterniók az 1 normájú kvaterniók. Az 1 abszolútértékű komplex számokhoz hasonlóan

$\overline{x}=x^{-1}.$

Tetszőleges $x\ne 0$ kvaternióra

$\frac{x}{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\cdot \mathrm{i}+\frac{x_2}{|x|}\cdot \mathrm{j}+\frac{x_3}{|x|}\cdot \mathrm{k}$

az x kvaternióval megegyező irányú egységkvaternió.

Egységkvaternió inverze újra egységkvaternió. Két egységkvaternió szorzata megint egységkvaternió. A szorzás asszociativitása miatt az egységkvaterniók csoportot alkotnak a szorzásra.

Az

$\{\pm 1,\pm \mathrm{i},\pm \mathrm{j},\pm \mathrm{k}\}.$: $\{\pm 1,\pm \mathrm{i},\pm \mathrm{j},\pm \mathrm{k}\}.$

kvaterniók szintén egységkvaterniók. Részcsoportot alkotnak az egységkvaterniók csoportjában, az úgynevezett kvaterniócsoportot.

A Lie-csoport olyan csoport, ami a szorzáson és az invertáláson kívül még egy topológiával is el van látva, amire nézve az előbbi műveletek folytonosak.

Az egységkvaterniók halmaza egy háromdimenziós gömbfelszín a négydimenziós térben, ami ezzel Lie-csoporttá válik. A hozzá tartozó Lie-algebra a tiszta kvaterniók tere. A mátrixos ábrázolásban az egységkvaterniók csoportját éppen az SU(2) speciális unitér csoport ábrázolja. Ez megmagyarázza a kapcsolatot a Pauli-mátrixokkal.

A tiszta egységkvaterniók éppen azok a kvaterniók, amiknek négyzete -1:

$x_0=0\wedge x_1^2+x_2^2+x_3^2=1⟺x^2=-1.$

Geometriailag a tiszta egységkvaterniók egy kétdimenziós gömbfelszínt alkotnak a háromdimenziós térben. Minden kvaternió, aminek $-1$ a négyzete, definiálja a komplex számok egy beágyazását:

$ℂ\to ℍ,a+b\mathrm{i}\mapsto a+bx,a,b\in ℝ.$

De ez csak egy beágyazás. A kvaterniók nem alkotnak algebrát a komplex számok fölött.

Trigonometrikus alak

Ahogy a komplex számok,

$z=|z|\cdot (\cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi )=|z|\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }$

úgy a kvaterniók is leírhatók trigonometrikus alakban.

Az $x\ne \pm 1$ tiszta egységkvaterniók trigonometrikus alakja:

$x=\cos \alpha +v\cdot \sin \alpha$

és ez egyértelmű, ha $0<\alpha <\pi$

A kvaterniókra kiterjesztett exponenciális függvény segítségével:

$x=\exp (\alpha v);$

más szóval: az exponenciális leképezés bijekció az $<\pi$ normájú tiszta kvaterniók halmaza és a -1 nélküli egységkvaterniók halmaza között.

Általánosabban, minden nem valós kvaternió egyértelműen felírható, mint

$x=|x|\cdot (\cos \alpha +v\sin \alpha )$

ahol $\alpha ,v$, mint előbb

vagy a negatív valós számokon kívüli kvaterniók

$x=|x|\cdot \exp X$,

ahol $X$ tiszta kvaternió, amire $|X|<\pi$.

Konstrukciók kvaterniókkal

Szorzatok

Két kvaternió képzetes részének vektoriális szorzata a két kvaternió kommutátorának kétszerese:

Ha $x=(s,\overrightarrow{v})$ és $y=(t,\overrightarrow{w})$,

akkor

$\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}=\frac{x\cdot y-y\cdot x}{2}.$

Két kvaternió, mint négydimenziós vektor skalárszorzata éppen $\overline{x}\cdot y$ vagy $x\cdot \overline{y}$:

$x_0{y}_0+x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3=\mathrm{R}\mathrm{e}(\overline{x}y)=\mathrm{R}\mathrm{e}(x\overline{y}).$

A kvaternió koordinátái megadhatók, mint

$x_0=\mathrm{R}\mathrm{e}x,x_1=-\mathrm{R}\mathrm{e}(\mathrm{i}x),x_2=-\mathrm{R}\mathrm{e}(\mathrm{j}x),x_3=-\mathrm{R}\mathrm{e}(\mathrm{k}x).$

Két kvaternió Minkowski-skalárszorzata az xy szorzat valós része:

$x_0{y}_0-x_1{y}_1-x_2{y}_2-x_3{y}_3=\mathrm{R}\mathrm{e}(xy).$

Vektoranalízis

A következőkben azonosítjuk a tiszta kvaterniókat ${ℝ}^3$ vektoraival.

Ha így definiáljuk a nabla operátort:

$\mathrm{\nabla }=\mathrm{i}\cdot \frac{\partial }{\partial x}+\mathrm{j}\cdot \frac{\partial }{\partial y}+\mathrm{k}\cdot \frac{\partial }{\partial z},$

és az

$\overrightarrow{F}(x,y,z)=u(x,y,z)\cdot \mathrm{i}+v(x,y,z)\cdot \mathrm{j}+w(x,y,z)\cdot \mathrm{k}$

vektormezőre alkalmazzuk, akkor kapjuk, hogy:

$\mathrm{\nabla }\overrightarrow{F}=-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{F}+\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{F}.$

Itt $-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{F}$ a valós, $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{F}$ a képzetes rész.

A nabla operátort kéteszer az $f(x,y,z)$ függvényre alkalmazva:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=-\mathrm{△}f=-(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}),$

azaz a $\mathrm{\nabla }$ operátor úgy hat, mint a Laplace-operátor négyzetgyöke.

Forgatások a háromdimenziós térben

Az egységkvaterniók elegáns módot kínálnak a forgatások leírására a háromdimenziós térben: rögzített q kvaternióra a

${\rho }_q:x\mapsto qx\overline{q}$

leképezés forgatás $\mathrm{I}\mathrm{m}ℍ$-ben.

Ha trigonometrikus alakba írjuk a q kvaterniót:

$q=\cos \alpha +v\cdot \sin \alpha$

ahol $0<\alpha <\pi$, és $v$ tiszta egységkvaternió, akkor a forgatás szöge $2\alpha$, és tengelye $v\in {ℝ}^3$.

Minden q egységkvaternió ugyanazt a forgatást definiálja, mint -q; például 1 és -1 is az identitásnak felel meg. Tehát az ortogonális mátrixokkal ellenben ez a megfeleltetés nem egy-egyértelmű: minden R forgatáshoz két egységkvaternió van, amire ${\rho }_q=R$.

Forgatások egymásutánja, más néven szorzata az egységkvaterniók szorzásának felel meg:

${\rho }_{q_1}\circ {\rho }_{q_2}={\rho }_{q_1\cdot q_2}.$

A forgásirány megfordítása a konjugálás megfelelője:

${\rho }_{\overline{q}}={\rho }_q^{-1},$

ami az egységkvaterniók körében ugyanaz, mint az invertálás.

Mindezek miatt ez a leképezés homomorfizmus, de nem izomorfizmus.

Kapcsolat az ortogonális mátrixokkal

A $q=w+x\cdot \mathrm{i}+y\cdot \mathrm{j}+z\cdot \mathrm{k},w^2+x^2+y^2+z^2=1,$ egységkvaterniónak megfelelő ortogonális mátrix

$\left(\begin{array}{ccc}{w}^2+x^2-y^2-z^2& -2wz+2xy& 2wy+2xz\\ 2wz+2xy& w^2-x^2+y^2-z^2& -2wx+2yz\\ -2wy+2xz& 2wx+2yz& w^2-x^2-y^2+z^2\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}1-2(y^2+z^2)& -2wz+2xy& 2wy+2xz\\ 2wz+2xy& 1-2(x^2+z^2)& -2wx+2yz\\ -2wy+2xz& 2wx+2yz& 1-2(x^2+y^2)\end{array}\right).$

A mátrixból a kvaterniók meghatározásához elég a forgatás tengelyét és szögét megadni, és a trigonometrikus képletbe behelyettesíteni.

Kapcsolat az Euler-szögekkel

Az Euler-szögekre különféle konvenciók vannak. Itt azokat a forgatásokat tekintjük, amik megkaphatók úgy, hogy először a z tengely körül $\mathrm{\Phi }$, utána az új x tengely körül $\mathrm{\Theta }$, végül az új z tengely körül $\mathrm{\Psi }$ szöggel forgatva kapunk. Az egyes forgatások rendre a

$\cos \frac{\mathrm{\Phi }}{2}+\mathrm{k}\cdot \sin \frac{\mathrm{\Phi }}{2},\cos \frac{\mathrm{\Theta }}{2}+\mathrm{i}\cdot \sin \frac{\mathrm{\Theta }}{2},\cos \frac{\mathrm{\Psi }}{2}+\mathrm{k}\cdot \sin \frac{\mathrm{\Psi }}{2},$

kvaternióknak felelnek meg.

Mivel az elforgatott tengelyt forgatjuk, a szorzás sorrendje fordított:

$(\cos \frac{\mathrm{\Phi }}{2}+\mathrm{k}\cdot \sin \frac{\mathrm{\Phi }}{2})(\cos \frac{\mathrm{\Theta }}{2}+\mathrm{i}\cdot \sin \frac{\mathrm{\Theta }}{2})(\cos \frac{\mathrm{\Psi }}{2}+\mathrm{k}\cdot \sin \frac{\mathrm{\Psi }}{2})$

$=\cos \frac{\mathrm{\Phi }}{2}\cos \frac{\mathrm{\Theta }}{2}\cos \frac{\mathrm{\Psi }}{2}-\sin \frac{\mathrm{\Phi }}{2}\cos \frac{\mathrm{\Theta }}{2}\sin \frac{\mathrm{\Psi }}{2}$

$+\mathrm{i}\cdot (\cos \frac{\mathrm{\Phi }}{2}\sin \frac{\mathrm{\Theta }}{2}\cos \frac{\mathrm{\Psi }}{2}+\sin \frac{\mathrm{\Phi }}{2}\sin \frac{\mathrm{\Theta }}{2}\sin \frac{\mathrm{\Psi }}{2})$

$+\mathrm{j}\cdot (-\cos \frac{\mathrm{\Phi }}{2}\sin \frac{\mathrm{\Theta }}{2}\sin \frac{\mathrm{\Psi }}{2}+\sin \frac{\mathrm{\Phi }}{2}\sin \frac{\mathrm{\Theta }}{2}\cos \frac{\mathrm{\Psi }}{2})$

$+\mathrm{k}\cdot (\sin \frac{\mathrm{\Phi }}{2}\cos \frac{\mathrm{\Theta }}{2}\cos \frac{\mathrm{\Psi }}{2}+\cos \frac{\mathrm{\Phi }}{2}\cos \frac{\mathrm{\Theta }}{2}\sin \frac{\mathrm{\Psi }}{2}).$

Hasonlók adódnak más konvenciók esetén is.

A forgáscsoport univerzális fedése

Az egységnyi kvaterniók:

$\begin{array}{cc}q& =w+𝐢x+𝐣y+𝐤z,\\ 1& =w^2+x^2+y^2+z^2,\end{array}$

csoportja izomorf a 2*2-es, unitér mátrixok - SU(2) - csoportjával, amiért az egységkvaterniókat azonosíthatjuk a SU(2) generátoraival:

$q=a\mathrm{1}+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}=\alpha +j\beta \leftrightarrow \left[\begin{array}{cc}\alpha & -\bar{\beta }\\ \beta & \bar{\alpha }\end{array}\right]=U,q\in ℍ,a,b,c,d\in ℝ,\alpha ,\beta \in ℂ,U\in \mathrm{S}\mathrm{U}(2).$

Másrészről találunk az egységnyi kvaterinók csoportjából egy 2:1 művelettartó leképezést (homomorfizmust) az SO(3) forgatáscsoportba, ugyanis q és -q ugyanahhoz a Q rotációs mátrixhoz tartozik. Általánosan a (x,y,z) vektor körül Sablon:Math szöggel forgató (ahol Sablon:Math és Sablon:Math) Q mátrix:

$Q=\left[\begin{array}{ccc}1-2y^2-2z^2& 2xy-2zw& 2xz+2yw\\ 2xy+2zw& 1-2x^2-2z^2& 2yz-2xw\\ 2xz-2yw& 2yz+2xw& 1-2x^2-2y^2\end{array}\right],Q\in \mathrm{S}\mathrm{O}(3).$

Ez egy kétrétegű fedés, aminek magja a $\{\pm 1\}$ centrum. A fedés univerzális, hiszen $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\cong S^3$ egyszeresen összefüggő. Spincsoportnak is nevezik, és $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(3)$-mal is jelölik, és szorosan kapcsolódik a fizikai spinhez. Az $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ → ${ℂ}^2$ leképezés egy úgynevezett spinorábrázolás, azaz egy olyan ábrázolás, amiben a négyzetes mátrixok mérete páros. Három báziskvaternió, i, j és k az SU(2) három hermitikus generáló mátrixának, a Pauli-mátrixoknak felel meg:

${\sigma }_x:=\left(\begin{array}{c}0,1\\ 1,0\end{array}\right)$ ,    ${\sigma }_y:=\left(\begin{array}{c}0,-i\\ +i,0\end{array}\right)$ ,    ${\sigma }_z:=\left(\begin{array}{c}+1,0\\ 0,-1\end{array}\right)$ 

Így függ össze a két alaptétel:

i = σ_x/i, j = σ_y/i és k = σ_z/i,

ahol i a komplex képzetes egység, így az elméleti fizikából ismert σ_xσ_y= iσ_z kapcsolat éppen az i $\cdot$ j=k relációnak felel meg. A σ-mátrixok hermitikus voltuk miatt mérhető mennyiségekként jöhetnek szóba a kvantummechanikában, ellentétben a i, j és a k báziskvaterniókkal, ami fontos a kvantummechanika matematikai modellezésében. Közelebbről $\mathrm{S}\mathrm{U}\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}\equiv \{\exp (i\frac{1}{2}\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\sigma })\}$, aminek valós vektorkoordinátái α_x, α_y és α_z. Az 1/2 szorzónak többek között az a hatása,hogy a spinorok a vektorokkal ellentétben nem kerülnek vissza alaphelyzetükbe 2π-vel  (=360 fokkal) elforgatva, hanem csak annak kétszerese után.

A négydimenziós tér ortogonális leképezései

A háromdimenziós esethez hasonlóan $ℍ$ minden irányítástartó hasonlósági transzformációja felírható, mint:

${\rho }_{a,b}:x\mapsto ax\overline{b}$

az $a,b$ egységkvaterniókkal.

Teljesül, hogy:

${\rho }_{a_1,b_1}\circ {\rho }_{a_2,b_2}={\rho }_{a_1{a}_2,b_1{b}_2}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}{\rho }_{\overline{a},\overline{b}}={\rho }_{a,b}^{-1}.$

Ez a konstrukció fedést ad:

$\mathrm{S}\mathrm{U}(2)\times \mathrm{S}\mathrm{U}(2)\to \mathrm{S}\mathrm{O}(4)$

aminek magja $\{(1,1),(-1,-1)\}$.

A kvaterniók algebrája

Izomorfia erejéig három véges dimenziós asszociatív algebra van a valós számok felett: saját maga, algebrai lezártja, és a felette vett kvaterniók.

$ℍ$ centruma $ℝ$, ezért definiálható rajta redukált norma és redukált nyom:

$\mathrm{N}\mathrm{r}\mathrm{d}(x)=|x{|}^2$és $\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{d}(x)=2\cdot \mathrm{R}\mathrm{e}x$

A valós számokról a komplex számokra áttérve a kvaterniók algebrája mátrixalgebrává válik:

$ℍ{\otimes }_{ℝ}ℂ\cong M_2(ℂ).$

A tenzorszorzat $ℂ$ faktorra vett komplex konjugáció involúciót szolgáltat a mátrixalgebrában, aminek invariánsai egy $ℍ$-val izomorf algebrát alkotnak.

Az

$A\mapsto w\overline{A}{w}^{-1},$ ahol az $w=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

involúció megfelel a kvaterniók fenti mátrixmodelljének.

A kvaterniók algebrája egy negatív definit szimmetrikus kvadratikus alakkal ellátott ${ℝ}^2$ Clifford-algebrájának tekinthető.

Alkalmazásai

A kvaterniók legfontosabb haszna, hogy a tisztán képzetes (azaz a valós része, az 'a' komponens 0) számokkal leírható a háromdimenziós vektortér. A kvaterniókat a háromdimenziós mozgásokkal való szoros kapcsolata miatt felhasználják robotok vezérlésénél.

A kvaterniókat CAD programok is felhasználják a térbeli elforgatások kezelésére és az elforgatás tengelyének és szögének tárolására, ugyanis egy kvaternióhoz csak 4 lebegőpontos adatot kell tárolni (a tengellyel együtt), szemben az elforgatási mátrix 3×3 elemével és az elforgatás tengelyéhez szükséges további 3 elemmel. A kvaternió könnyedén átalakítható elforgatási mátrix alakba, és a kvaterniókkal való számítások gyakran kevesebb műveletet igényelnek, mint a vektoros–mátrixos számítások. Kvaterniókat alkalmaz pl. a MicroStation CAD program.

Négynégyzetszám-tétel

Legyen

$x_1=a_1+b_1\cdot \mathrm{i}+c_1\cdot \mathrm{j}+d_1\cdot \mathrm{k}$ és $x_2=a_2+b_2\cdot \mathrm{i}+c_2\cdot \mathrm{j}+d_2\cdot \mathrm{k}$

Az

$|x_1{|}^2\cdot |x_2{|}^2=|x_1{x}_2{|}^2$

egyenlőségből adódik a tisztán valós azonosság:

$(a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2)(a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2)$

$=(a_1{a}_2-b_1{b}_2-c_1{c}_2-d_1{d}_2{)}^2+(a_1{b}_2+b_1{a}_2+c_1{d}_2-d_1{c}_2{)}^2$

$+(a_1{c}_2-b_1{d}_2+c_1{a}_2+d_1{b}_2{)}^2+(a_1{d}_2+b_1{c}_2-c_1{b}_2+d_1{a}_2{)}^2.$

Ha az összes szám egész, akkor ez az egyenlőség azt állítja, hogy két, négy négyzetszám összegeként felírható szám szorzata szintén felírható négy négyzetszám összegeként.

A négynégyzetszám-tétel szerint minden természetes szám felírható négy négyzetszám összegeként. Az előző állítás szerint elég a tételt a prímszámokra belátni. Ez alapján ezt az utóbbit is nevezik négynégyzetszám-tételnek.

Rokon témák

A kvaterniókhoz hasonló konstrukciókat hiperkomplex számoknak is nevezik. A Cayley-számok a kvaterniók nyolcdimenziós analogonjai. Az ő körükben a szorzás se nem kommutatív, se nem asszociatív. A Cayley-számok szorzása alternatív:

$a\cdot (a\cdot b)=(a\cdot a)\cdot b$ és $a\cdot (b\cdot b)=(a\cdot b)\cdot b$ minden a, b Cayley-számra.

Források

• Doing Physics with Quaternions (PDF; 563 kB)
• Serge Lang, Algebra. Springer-Verlag, New York 2002. Sablon:ISBN