Ortogonális mátrix

A ortogonális mátrix (jele általában Q) csakis valós számokkal kitöltött unitér mátrix.

Tulajdonságai

Ezekre a mátrixokra igaz, hogy transzponáltja egyben inverze is:

$Q^{T}Q=Q{Q}^T=E.$

Az ortogonális mátrix determinánsa +1 vagy −1.

Az ortogonális mátrix különleges esete a speciális ortogonális mátrix, ha determinánsa +1:

$\det Q=+1.$

Ha egy mátrix ortogonális és felcseréljük az oszlopvektorok sorrendjét, akkor az így kapott új mátrix is ortogonális lesz. Gyakorlati alkalmazás során előnyük, hogy a velük való szorzás megőrzi a hosszat, szögeket és a térfogatot.

Példák

A következőkben néhány ortogonális mátrix látható esetleges alkalmazásukkal.

• $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ (egységnyi transzformáció)

• $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$ (forgatás $\theta$ szöggel)

• $\left[\begin{array}{cc}\text{0,96}& \text{-0,28}\\ \text{0,28}& \text{0,96}\end{array}\right]$ (forgatás 16,26°-kal)

• $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ (tükrözés az x-tengelyre)

• $\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$ (tengelyek permutációja)

Források

• Wettl Ferenc: Ortogonalizáció – BME, 2016
• Simon Károly: Matematika MSc Építőmérnököknek (2011)