Adjungált (komplex algebra)

Sablon:Más Az $A$ komplex mátrix adjungáltján (vagy Hermite-féle transzponáltján) elemenkénti konjugáltjának transzponáltját értjük. Az $A$ adjungáltját $A^{*}$, vagy Hermite neve után $A^H$ jelöli, tehát $A^H={\overline{A}}^T$. Kvantummechanikában előfordul az $A^{†}$ jelölés is az adjungált mátrixra.

Érdemes megjegyezni, hogy az egyező név ellenére a fogalom nem analóg a klasszikus adjungálttal. A valós transzponálttal azonban igen, voltaképpen annak kiterjesztése.

Példa

Legyen $A$ a következő mátrix:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2-i& 5\\ 1+i& i& 4-2i\end{array}\right]$

Az adjungált kiszámolásához transzponálni kell a mátrixot, tehát

$A^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1+i\\ -2-i& i\\ 5& 4-2i\end{array}\right],$

majd pedig minden elemét komplex konjugálni:

$A^H=\left[\begin{array}{cc}1& 1-i\\ -2+i& -i\\ 5& 4+2i\end{array}\right].$

A transzponálás és konjugálás műveletét felcserélve is ugyanazt a mátrixot kapjuk végeredményül.

Az adjungált tulajdonságai

Legyenek $A$ és $B$ komplex mátrixok, $c$ komplex szám. Ekkor

• $(A^H{)}^H=A$
• $(A+B{)}^H=A^H+B^H$
• $(cA{)}^H=\bar{c}{A}^H$
• $(AB{)}^H=B^H{A}^H$.
• $(A^{-1}{)}^H=(A^H{)}^{-1}$, amennyiben $A$ invertálható
• $\det (A^H)=\overline{\det (A)}$, amennyiben $A$ négyzetes mátrix, ahol $\det$ a determinánst jelöli. Ebből következik, hogy az adjungált mátrix sajátértékei az eredeti mátrix sajátértékeinek komplex konjugáltjai.

Források

• Sablon:CitWeb
• Sablon:Cite book