Inverzió (matematika)

Az inverzió definíciója 2 dimenzióban egy kör vagy 3 dimenzióban egy gömb esetén, melynek M a középpontja és R a sugara:
$P\mapsto P^{\prime }:|\overline{M{P}^{\prime }}|\cdot |\overline{MP}|=R^2$

Az inverzió geometriai transzformáció, ami nem hasonlósági transzformáció, de az érintkezést megtartja.

Legyen kijelölve egy $G$ gömb az $E$ euklideszi térben; középpontját jelölje $O$, sugarát $r$. A $G$ gömbre vonatkozó inverzióban az $x$ pont képe megadható vektorosan: $\frac{x{r}^2}{|x{|}^2}.$ Másként: $x$ képe az a pont, ami az $Ox$ félegyenesen van, és a középponttól mért távolsága $r^2/|x|.$ Ekkor $G$ az inverzió alapgömbje. A $O$ pont az inverzió középpontja vagy pólusa, $r^2$ az inverzió hatványa.

Tulajdonságai

• Négyzete az identitás, azaz egy pont invertált képének invertált képe önmaga.
• Fixpontjai az alapgömbjének pontjai.
  • A középpontján átmenő hipersíkokat és az alapgömböt merőlegesen metsző gömböket önmagukba viszi.
• Megcseréli az alapgömb belsejét és külsejét.
• Nincs értelmezve a középpontjában. A végtelen távoli ponttal bővített térben a középpont a végtelenbe képződik.
• Gömb vagy hipersík képe gömb vagy hipersík.
• Szögtartó, érintkezéstartó a gömbök és hipersíkok körében.
• Az alacsonyabb dimenziós gömbök és alterek körében is szögtartó és érintkezéstartó.
  • A középpontban érintkező gömbök és hipersíkok képei párhuzamos hipersíkok.
• A metsző altérre vett leszűkítése is inverzió. Ennek alapgömbje az inverzió alapgömbjéből kimetszett alacsonyabb dimenziós gömb.
• Irányításváltó.

A komplex számsíkon

A piros alapkör középpontján át nem haladó (balra) és áthaladó körök (jobbra) inverzei

A 2-dimenziós, síkbeli inverzió tekinthető a komplex számokon értelmezett függvénynek. Különösen egyszerűen lehet tárgyalni az egységkörre vett inverziót:

A $z$ komplex szám inverze $w=\frac{1}{\overline{z}}.$

Így bizonyíthatók a síkbeli inverzió következő tulajdonságai:

• A középponton átmenő kör középponton át nem menő egyenesre képeződik
• Annak a körnek a képe, ami nem megy át a középponton, a középponton át nem menő kör
• Az inverzió nem reguláris függvény, mert megváltoztatja az irányítást. Másként: nem reguláris, mert előáll az $1/z$ és a konjugálás kompozíciójaként, és a konjugálás nem reguláris.

Források

• Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek – inverzió értelmezése magasabb dimenzióban is
• Halász Gábor: Komplex függvénytan – az egységkörre vett inverzió a komplex számsíkon
• Reiman István: Geometria és határterületei – inverzió a komplex síkon tulajdonságokkal