Kvaterniócsoport

Kvaterniócsoportnak nevezzük (és rendszerint Q₈-cal jelöljük) azt a nyolcelemű csoportot, amelyet az alábbi generátorok és definiáló relációk határoznak meg:

$⟨i,j,k\mid i^2=j^2=k^2=ijk⟩$

Az egységelemet szokás szerint $1$ jelöli, $i^2=j^2=k^2=ijk$ szokásos jelölése $-1$, és az $i^3,j^3,k^3$ elemeket rendre a $-i,-j,-k$ szimbólumokkal jelöljük. (A kvaterniócsoportban nincs definiálva az összeadás, tehát a mínuszjelek itt nem az ellentettképzést jelölik, csak puszta szimbólumok. Azonban a csoport beágyazható a kvaterniók algebrájába (Q₈ a négy bázis-egységvektor által generált szorzáscsoport), és itt a mínuszjeles elemek éppen egybeesnek a bázis-egységvektorok ellentettjeivel.

A kvaterniócsoport tehát olyan nyolcelemű csoport, amelyet az $1,-1,i,-i,j,-j,k,-k$ elemek alkotnak, ahol 1 az egységelem, $(-1{)}^2=1$ és az összes többi elem a $-1$ négyzetgyöke. $(-1)i=-i,(-1)j=-j,(-1)k=-k$, továbbá $ij=k,ji=-k,jk=i,kj=-i,ki=j,ik=-j$. Nem kommutatív.

A kvaterniócsoportot William Rowan Hamilton fedezte fel a 19. században.

Cayley-táblázat

A kvaterniócsoport szorzótáblája a következő:

	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

Tekintve, hogy a kvaterniócsoport nem kommutatív, lényeges, hogy a fenti táblázatban a bal szélső oszlopban lévő elemmel szorzunk balról, és a legfelső sorban lévő elemmel szorzunk jobbról.

Alapvető tulajdonságok

A kvaterniócsoport

• nem kommutatív ($ij=k,ji=-k)$;
• centruma az {1, -1} kételemű csoport;
• feloldható (a négyelemű részcsoportok normálisak és ciklikusak, így maguk is feloldhatók);
• metaciklikus (${\mathbb{Z}}_4$-nek ${\mathbb{Z}}_2$-vel való bővítése);
• Frattini-részcsoportja ${\mathbb{Z}}_2$;
• Fibonacci-csoport;
• karaktertáblázata megegyezik a nyolcelemű diédercsoport karaktertáblájával.

Analógia a vektoriális szorzattal

A háromdimenziós euklideszi tér bázis-egységvektorait a szokásos módon i-vel, j-vel és k-val jelölve, ezek vektoriális szorzása analóg módon viselkedik a kvaterniócsoportban érvényes szorzási szabályokkal:

$\begin{array}{cccc}ij& =k,& ji& =-k,\\ jk& =i,& kj& =-i,\\ ki& =j,& ik& =-j.\end{array}$

Források

• Sablon:Cite web