Frattini-részcsoport

A csoportelméletben Frattini-részcsoport a neve egy csoport maximális részcsoportjai metszetének. A $G$ csoport Frattini-részcsoportját hagyományosan $\mathrm{\Phi }(G)$-vel jelöljük. Ezt a részcsoportot Giovanni Frattini olasz matematikus definiálta először 1885-ben egy a témával foglalkozó cikkben. A kommutatív gyűrűk Jacobson-radikáljának analógja.

Definíció

Egy $G$ csoport $M$ valódi részcsoportját maximális részcsoportnak nevezzük, ha nincs $G$-ben olyan $L$ részcsoport, hogy $M<L<G$. Jelölje $\mathrm{\Phi }(G)$ az összes $M_i$ maximális részcsoport $\bigcap M_i$ metszetét. Akkor $\mathrm{\Phi }(G)$, mint részcsoportok metszete, maga is részcsoport, és ezt nevezzük $G$ Frattini-részcsoportjának.

Példák

$Z_{49}$-nek, a 49 elemű ciklikus csoportnak a hetedrendű elemek által generált $Z_7$ csoport a Frattini-részcsoportja, hiszen ebben a csoportban csak ez az egy maximális részcsoport van.

A Klein-csoportban három maximális részcsoport van; ezek mindhárman kételeműek, és így metszetük csak a triviális csoport lehet. A Klein-csoport Frattini-részcsoportja tehát az egyelemű csoport.

Az egész számok additív csoportjában tetszőleges $p$ prímszámra maximális részcsoportot alkotnak $p$ többszörösei. Ezek metszete egyelemű (csak a 0-t tartalmazza), így ennek a csoportnak is triviális a Frattini-részcsoportja.

Tulajdonságai

Mivel az automorfizmusok a maximális részcsoportokat maximális részcsoportokba viszik, a Frattini-részcsoportot magát helyben hagyják, és így $\mathrm{\Phi }(G)$ karakterisztikus részcsoportja $G$-nek, és így persze $\mathrm{\Phi }(G)$ normálosztó is.

Ha $G$ véges, akkor $\mathrm{\Phi }(G)$ nilpotens csoport.

A $G$ véges p-csoport Frattini-csoportja megkapható a p-edik hatványok részcsoportjának és a kommutátor-részcsoportnak a komplexusszorzataként.

Ha egy véges csoport Frattini-részcsoportja triviális, akkor a csoport centrumának az indexe legfeljebb akkora, mint a kommutátor-részcsoport rendjének a négyzete.

Nyitott kérdés, hogy két csoport direkt szorzatának Frattini-részcsoportja megegyezik-e a Frattini-részcsoportjaik direkt szorzatával.

Nemgenerátorok

A $G$ csoport $S$ részhalmaza generátorhalmaz, ha $G$ minden eleme előáll $S$ elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. Valamely $x$ elemet nemgenerátornak hívunk, ha minden $x$-et tartalmazó $S$ generátorhalmaz az $x$ elem nélkül is generálja a csoportot. Az egységelem például minden csoportban nemgenerátor. Egy csoport nemgenerátorai maguk is csoportot alkotnak, és ez a csoport éppen a Frattini-részcsoport.