Lie-csoport

Sablon:Matematika A matematikában a Lie-csoport egy olyan csoport, amely egyszerre egy sima sokaság, és a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható.

Egy sokaság (mint például a kör vagy a tórusz) egy olyan topologikus tér, amely lokálisan egy euklidészi térre hasonlít, a csoport pedig egy olyan struktúra, mely magában foglal egy halmazt és egy, a halmazon definiált kétváltozós műveletet, amely asszociatív (átzárójelezhető) és invertálható, azaz minden csoportelemnek van egy inverz eleme.

A Lie-csoportok alkalmasak a folytonos szimmetriák modellezésére, így a modern matematikában és fizikában rendkívüli fontossággal bírnak.

A Lie-csoportokat a norvég Sophus Lie után nevezték el, aki a folytonos transzformációcsoportok elméletének alapjait fektette le. Először ilyen struktúrákat olyan mátrixcsoportok tanulmányozásával találtak, amelyek az $n\times n$ invertálható mátrixok csoportjának ($\mathrm{GL}(n,ℝ)$ vagy $\mathrm{GL}(n,ℂ)$) részcsoportjai. Ezeket a csoportokat azóta klasszikus csoportoknak hívják, a Lie-csoportok elmélete pedig a matematika számos más területére is kiterjedt.

Minden Lie-csoport automatikusan egy topologikus csoport, mivel a csoportműveletek (az inverziót beleértve) folytonosak. Következtetésképp, mivel minden (nem feltétlenül Hausdorff) differenciálható sokaság teljesíti az első szétválaszhatósági axiómát (T₁), minden Lie-csoport automatikusan Hausdorff.

Definíció

Lie-csoportnak nevezünk egy olyan $G$ csoportot, amely egyidejűleg egy sima sokaság, és a kétváltozós asszociatív csoportművelet (szorzás)

$\mu :G\times G\to G,\mu (x,y)=xy$

tetszőlegesen sokszor differenciálható. Az inverzfüggvény-tétel következményeképp minden Lie-csoport inverzió művelete:

$\nu :G\to G,\nu (x)=x^{-1}$

is tetszőlegesen sokszor differenciálható.

Példák

A körcsoport a Lie-csoportok egyik legegyszerűbb példája. Az ábrán látható, hogy $z,w\in {𝕊}^1$ esetén $z\cdot w\in {𝕊}^1$.

Általános példák

• A valós vagy komplex számok halmaza összeadással ($(ℝ,+)$ vagy $(ℂ,+)$) egy Lie-csoport.
• A komplex fázisok, azaz olyan komplex számok, melyek abszolút értéke egy, a szorzással együtt összefüggő Lie-csoportot (${𝕊}^1$) alkotnak, más néven körcsoportnak hívjuk.
• A 2x2-es valós invertálható mátrixok halmaza:

$\mathrm{GL}(2,ℝ)=\{A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):\det A=ad-bc\ne 0\}$

a mátrixszorzással együtt egy olyan négydimenziós Lie-csoportot alkot, amely nem kompakt és nem összefüggő.

• A forgatást reprezentáló mátrixok csoportját a következőképp lehet egy $\phi$ forgásszöggel parametrizálni:

$\mathrm{SO}(2,ℝ)=\{\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right):\phi \in ℝ/2\pi \mathbb{Z}\}.$

Ez a csoport a $\mathrm{GL}(2,ℝ)$ részcsoportja, továbbá egy kompakt, összefüggő egydimenziós Lie-csoport, amely diffeomorf a körhöz.

• A speciális relativitáselméletben hasznos Minkowski- és Poincaré-csoport is Lie-csoport.

Konstrukciók

Már ismert Lie-csoportok segítségével további Lie-csoportok találhatóak:

• Két Lie-csoport Descartes-szorzata egy Lie-csoport
• Egy adott Lie-csoport bármely részcsoportja, amely topológiai értelemben egy zárt halmaz, Cartan tétele szerint egy Lie-csoport.
• Egy adott Lie-csoport egy zárt normálosztójával vett faktorhalmaza automatikusan egy Lie-csoport.
• Egy összefüggő Lie-csoport univerzális fedése egy Lie-csoport. Fontos megjegyezni, hogy egy adott differenciálható sokaság minden fedése egyaránt egy differenciálható sokaság, viszont azzal, hogy az univerzális fedést választjuk, így a csoportaxiómák teljesülésének is eleget teszünk.

Lie-csoportok Lie-algebrája

Lie-algebrának nevezünk egy $𝔤$ vektorteret egy olyan kétváltozós művelettel $[.,.]:𝔤\times 𝔤\to 𝔤$, amely bilineáris, antikommutatív és a Jakobi-azonosságnak eleget tesz.

Adott $G$ Lie-csoport $e$ neutrális elemében vett tangens tere egy vektortér, általános jelölése pedig $𝔤:=T_{e}G$. A balról szorzás $L_g:G\to G,h\mapsto gh$ tangens leképezése a neutrális elemben $T_e{L}_g:𝔤\to T_{g}G$ egy lineáris izomorfizmus, mivel a balról szorzás egy Lie-csoportban egy diffeomorfizmus. Legyen adott $g\in G$, akkor bármely $v\in 𝔤$ vektorra a következőképp definiált leképezés:

$L^v:G\to TG,L^v(g)=T_e{L}_g(v)$

egy sima vektormező. Mivel a vektormezőkön definiált Lie-zárójel (azaz $[.,.]$) automatikusan teljesíti a szükséges tulajdonságokat, ezért a $G$ Lie-csoport Lie-algebrája a $𝔤=T_{e}G$ vektortér a következő művelettel minden $v,w\in 𝔤$ vektorra:

$[v,w]:=[L^v,L^w](e)$.

Egy Lie-csoport Lie-algebrája a neutrális elem környezetében teljes mértékben meghatározza a csoport struktúráját. Régebbi elnevezések "infinidezimális csoport"ként utalnak rá, ugyanis elemei a Lie-csoport olyan elemeinek felelnek meg, amelyek "infinidezimálisan közel" vannak a neutrális elemhez.

Exponenciális leképezés

A $\mathrm{GL}(n,ℂ)$ Lie-csoport Lie-algebrája a mátrixalgebra $\mathrm{M}(n,ℂ)$, ahol az exponenciális leképezés a következőképp van definiálva adott $X$ mátrixra:

$\exp (X)=1+X+\frac{X^2}{2!}+\frac{X^3}{3!}+\cdots$.

Amennyiben egy $G$ csoport a $\mathrm{GL}(n,ℂ)$ zárt részcsoportja, akkor $G$ automatikusan egy Lie-csoport, melynek Lie-algebrája a következő:

$𝔤=\{X\in M(n;ℂ)\mid e^{tX}\in G\mathrm{\forall }t\in ℝ\}.$

Az exponenciális leképezés ezen definíciója viszont nem alkalmazható olyan Lie-csoportokra, melyek nem mátrixcsoportok, így egy általánosabb konstrukcióra van szükség.

Egy adott $G$ Lie-csoport $𝔤$ Lie-algebráján bármely $v$ vektorra bizonyítható egy egyedi egyparaméteres részcsoport $c:ℝ\to G$ létezése, amelyre $c^{\prime }(0)=v$. Egyparaméteres részcsoport alatt egy olyan sima leképezést értünk, melyre igaz a következő:

$c(s+t)=c(s)c(t)$

minden valós $s$-re és $t$-re, ahol az egyenlet jobb oldalán található szorzás a Lie-csoport csoportművelete. Az általánosított exponenciális leképezést pedig a következőképpen definiáljuk:

$\exp :𝔤\to G,\exp (v)=c(1)$.

Az exponenciális leképezés ezáltal tetszőlegesen sokszor differenciálható és egy diffeomorfizmus a Lie-algebrában a $0\in 𝔤$ egy környezete és a $e\in G$ egy környezete között. Ez a leképezés a valós számok halmazán is használt exponenciális függvény általánosítása.

Egy Lie-csoportban létezik az egységelemnek egy olyan környezete, melyen a csoportművelet (szorzás) teljes mértékben meghatározható a csoporthoz tartozó Lie-algebra Lie-zárójelével. Ezt az exponenciális leképezés segítségével a Baker-Campbell-Hausdorff formula adja meg: létezik a Lie-algebra neutrális elemének egy olyan környezete, melyben bármely $X$-re és $Y$-ra igaz:

$\exp (X)\exp (Y)=\exp (X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[[X,Y],Y]-\frac{1}{12}[[X,Y],X]-\cdots ).$

Amennyiben a $X$ és $Y$ kommutál, a képlet egyszerűbb alakot ölt: $\exp (X)\exp (Y)=\exp (X+Y)$.

A Baker-Campbell-Hausdorff formula segítségével bizonyítható, hogy bármely kétszer differenciálható Lie-csoport automatikusan valós analitikus, tehát létrehozható egy olyan sima struktúra, melyen bármely $x$ és $y$ térképre a $y\circ x^{-1}$ leképezés valós analitikus.

Homomorfizmusok, izomorfizmusok és Lie fundamentális tételei

Amennyiben $G$ és $H$ Lie-csoportok, minden sima $\phi :G\to H$ csoporthomomorfizmust Lie-csoport homomorfizmusnak nevezünk. Csoporthomomorfizmus alatt azt értjük, hogy a leképezés megtartja a csoportművelet szerkezetét, azaz minden $g,h\in G$ csoportelemre igaz $\phi (gh)=\phi (g)\phi (h)$. Az exponenciális leképezés tulajdonságaiból kiindulva bizonyítható, hogy bármely két Lie-csoport közötti folytonos csoporthomomorfizmus automatikusan sima.

Bármely Lie-csoport homomorfizmus neutrális elemben vett tangense egy Lie-algebra homomorfizmus, tehát egy olyan lineáris leképezés, amely megtartja a Lie-zárójelet.

Két Lie-csoportot izomorfnak nevezünk, amennyiben létezik közöttük egy bijektív homomorfizmus, melynek inverze is egy Lie-csoport homomorfizmus, tehát egy olyan diffeomorfizmus, mely egyszerre egy csoporthomomorfizmus. Az eddig említettek következménye, hogy egy folytonos bijektív csoporthomomorfizmus két Lie-csoport között akkor diffeomorfizmus (tehát Lie-csoport izomorfizmus), ha az értelmezési tartomány szeparálható.

Lokális Lie-csoport homomorfizmusnak nevezünk egy olyan sima leképezést, mely két Lie-csoport neutrális elemének környezete között definiált és ezekben a környezetekben ugyanúgy megtartja a csoportműveletet. Két Lie-csoport lokálisan izomorfnak nevezünk, ha létezik közöttük egy olyan lokális Lie-csoport homomorfizmus, ami ezen felül egy diffeomorfizmus és az inverze is egy Lie-csoport homomorfizmus.

Lie első tétele azt mondja ki, hogy két lokálisan izomorf Lie-csoport Lie-algebrái izomorfak, míg Lie második tétele szerint két izomorf Lie-algebrához tartozó Lie-csoport lokálisan izomorf. Ezen tételek szerint egy Lie-csoport globális struktúráját általánosságban nem határozza meg a Lie-algebra. A fizikában ismert egy fontos példa Lie fundamentális tételei kapcsán, ugyanis az SU(2) és SO(3) Lie-csoportok Lie-algebrái izomorfak, viszont a Lie-csoportok maguk nem izomorfak, ugyanis SU(2) egyszerűen összefüggő (azaz minden hurok folytonosan összehúzható egy pontba), míg SO(3) nem.

Ado tétele kimondja, hogy bármely véges dimenziós valós Lie-algebra izomorf egy Lie-mátrixalgebrához. Ennek következménye Lie harmadik fundamentális tétele, miszerint minden véges dimenziós valós Lie-algebra egy lineáris Lie-csoport Lie-algebrája.

Ábrázolásai

Fontos kutatási terület Lie-csoportoknak úgy nevezett ábrázolásait (más néven reprezentációit) vizsgálni, melyek azt fejezik ki, hogy egy adott Lie-csoport hogyan hat egy vektortérre. Egy $n$-dimenziós $V$ vektortér esetén a $G$ Lie-csoport komplex ábrázolása egy Lie-csoport homomorfizmus $\mathrm{\Pi }:G\to \mathrm{GL}(V)$, ahol $\mathrm{GL}(V)$ identifikálható $\mathrm{GL}(n,ℂ)$-vel. Sok esetben az egyszerűség kedvéért $V$-t nevezik ábrázolásnak.

Az ábrázoláselméletnek a fizikában is nagy jelentősége van: a hidrogénatom (vagy bármely olyan atom vagy ion, melynek egy vegyértékelektronja van) esetében az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet megoldása egy háromdimenziós problémából egydimenziós problémává egyszerűsíthető, amennyiben felismerjük, hogy a rendszer Hamilton-operátora forgásszimmetrikus (tehát $\mathrm{SO}(3)$-szimmetrikus). Ez önmagában nem jelenti azt, hogy az operátor sajátállapotai forgásszimmetrikusak lennének, csupán azt, hogy a Schrödinger-egyenlet fix energiájú megoldásainak tere forgásszimmetrikus, melyre ezáltal az $\mathrm{SO}(3)$ Lie-csoport ábrázolásaként lehet tekinteni.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite web