Algebrai számelmélet

Az algebrai számelmélet a számelmélet és így a matematika egy részterülete.

Az algebrai számelmélet a racionális egész illetve racionális számok helyett számtestekkel, azaz a racionális számok testének véges bővítéseivel foglalkozik. Ha $K$ egy számtest, akkor vizsgálható a $K$-beli algebrai egészek ${𝒪}_K$ gyűrűje: ez $\mathbb{Z}$ egész lezártjaként áll elő. Konkrétan fogalmazva $x\in K$-ra

$x\in {𝒪}_K⟺x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0=0$,

valamely $n\ge 1$ és $a_i\in \mathbb{Z}$ mellett, azaz $x$ gyöke egy egész együtthatós (nem konstans 0) polinomnak. Az így kapott ${𝒪}_K$ gyűrű Dedekind-gyűrű, és mint ilyen, számos tekintetben $\mathbb{Z}$-hez hasonlóan viselkedik, ugyanakkor bizonyos tulajdonságok csak gyengébb formában érvényesek. Például Dedekind-gyűrűkben nem feltétlenül létezik az elemek prímelemekre való egyértelmű felbontása (azaz nem feltétlenül teljesül a számelmélet alaptétele), viszont az ideálok mindig egyértelműen felbonthatók prímideálok szorzatára (tehát az alaptétel ideálokra teljesül).

Számtestek helyett általánosabban beszélhetünk globális testekről is: ebben a fogalomba a számtestek mellett ${𝔽}_p(T)$ véges bővítéseit – az úgynevezett függvénytesteket – is beleértjük, ahol $p$ egy racionális prímszám. A számtestek és függvénytestek között alapvető különbség, hogy utóbbiak karakterisztikája véges. Ugyanakkor a globális testek két típusa között számos analógia is fennáll. Egy globális test közvetlen vizsgálata helyett gyakran eredményesebb a hozzá tartozó lokális testekkel foglalkozni, és az így kapott eredményekből a lokál–globál-elven keresztül eljutni egy a globális testre vonatkozó eredményhez. Ez az eljárás a racionális számok (mint globális test) esetében a p-adikus számok (mint lokális testek) vizsgálatát jelenti.

Alapvető fogalmak

Az egyértelmű prímfelbontás hiánya

Sablon:Lásd még Legyen $R$ egy integritási tartomány. Egy $p\in R$ elemet akkor mondunk prímnek, ha

$\mathrm{\forall }a,b\in R:p\mid ab⟹p\mid a$ vagy $p\mid b$.

Ez a definíció a racionális egészek gyűrűjében a prímszámokénál gyengébb definíciót ad: $\mathbb{Z}$ prímelemei pontosan a prímszámok és a prímszámok ellentettjei. Ez annak az általános állításnak a speciális esete, hogy ha $p\in R$ prímelem és $u\in R^{\times }$ egység, akkor $up$ is prímelem (a racionális egészek körében $\pm 1$ az egységek).

Egy $x\in R$ elemet irreducibilisnek (felbonthatatlannak) nevezünk, ha

$\mathrm{\forall }y,z\in R:x=yz⟹y\in R^{\times }$ vagy $z\in R^{\times }$,

azaz $x$-nek nincs nemtriviális faktorizációja. Általában minden prímelem irreducibilis, de a fordított irányú implikáció nem igaz.

Azt mondjuk, hogy $R$-ben teljesül a számelmélet alaptétele (azaz $R$ alaptételes gyűrű, illetve az angol unique factorisation domain rövidítéseként UFD), ha minden elem sorrend és egységszorzók erejéig felbontható irreducibilis elemek szorzatára. Például $\mathbb{Z}$ UFD, de általános esetben ${𝒪}_K$ nem az. UFD-ben a prím- és az irreducibilis elemek megegyeznek.

Például $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$-ben 3, $2+\sqrt{-5}$ és $2-\sqrt{-5}$ irreducibilis elemek, így

$9=3\cdot 3=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$

a 9 két különböző felbontása irreducibilis elemekre. Valóban, ha a két felbontás nem lenne különböző, akkor $2\pm \sqrt{-5}$ egységszerese lenne 3-nak, viszont $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$-ben a 3-mal osztható elemek $3a+3b\sqrt{-5}$ alakúak ($a,b,\in \mathbb{Z}$).

Ideálok felbontása prímideálok szorzatára

Sablon:Lásd még Ha $K$ egy számtest, akkor ${𝒪}_K$ Dedekind-gyűrű, következésképpen bármely $I\subseteq {𝒪}_K$ ideál sorrend erejéig egyértelműen felbontható prímideálok szorzatára. Másképp fogalmazva ${𝒪}_K$-ban a számelmélet alaptétele elemek helyett csak ideálokra teljesül.

Speciálisan ha ${𝒪}_K$ UFD, akkor minden prímideált egy prímelem generál. Következésképpen ${𝒪}_K$ akkor és csak akkor UFD, ha főideálgyűrű. (Általános esetben ez nem áll: ha egy integritási tartomány főideálgyűrű, akkor mindig UFD, de a megfordítás nem feltétlenül igaz.)

Osztálycsoport

Akkor és csak akkor nincs egyértelmű prímfelbontás, ha a gyűrűben vannak olyan prímideálok, amik nem főideálok. A prímideálok nem-főideálságát méri az osztálycsoport. Ahhoz, hogy csoportstruktúrát kapjunk, az algebrai egészek gyűrűjében vett ideálok helyett egy bővebb halmazzal, a törtideálokkal dolgozunk. A törtideál fogalma az ideálénál általánosabb: egy $J\subseteq K$ részhalmaz akkor törtideál, ha additív részcsoport és zárt az ${𝒪}_K$ elemeivel való szorzásra, azaz $x\in {𝒪}_K⟹xJ\subseteq J$. Minden ideál törtideál, és ha $I,J$ törtideálok, akkor az $IJ=\{ij\mid i\in I,j\in J\}$ szorzatuk is törtideál. A törtideálok ezzel a szorzással csoportot alkotnak, az egységelem ${𝒪}_K$, az inverz $J^{-1}=\{x\in K\mid xJ\subseteq {𝒪}_K\}$. Az osztálycsoport rendje az osztályszám.

Valós és komplex beágyazások

Bizonyos számtestek beágyazhatók a valós számtestbe; mások nem. Előbbire példa $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, utóbbira $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$. Egy ilyen beágyazás nem feltétlenül egyértelmű: a példánál maradva, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ kétféleképpen ágyazható be a valós számok testébe: a két beágyazást $\sqrt{2}\mapsto \sqrt{2}$ illetve $\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$ indukálja.

Mivel a komplex számok $ℂ$ teste a racionális számtest algebrai lezártja, minden $K$ számtest beágyazható a komplex számok testébe. A különböző beágyazások száma megegyezik a $(K:\mathbb{Q})$ fokszámmal. A beágyazások közül valósnak nevezzük azokat, amiknek képe $ℂ$-ben részhalmaza $ℝ$-nek; minden más beágyazást komplexnek nevezünk. A komplex beágyazások párokat alkotnak: ha $\sigma :K\hookrightarrow ℂ$ egy beágyazás, akkor a $\overline{\sigma }:K\hookrightarrow ℂ$ konjugált is az, ahol $\overline{\sigma }(x)=\overline{\sigma (x)}$, és a felülvonás komplex konjugálást jelöl.

A valós beágyazások számát $r_1$-gyel, a komplex konjugált beágyazáspárok számát $r_2$-vel szokás jelölni. Következik, hogy $r_1+2r_2=(K:\mathbb{Q})$.

Diszkrimináns

Azt mondjuk, hogy egy $K/\mathbb{Q}$ bővítésben az ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ elemek egész bázist alkotnak, ha

${𝒪}_K=\mathbb{Z}{\alpha }_1\oplus \dots \oplus \mathbb{Z}{\alpha }_n$.

Minden számtestben létezik egész bázis, és az ${𝒪}_K$ Abel-csoport $n$ rangja megegyezik a bővítés $(K:\mathbb{Q})$ fokával.Sablon:Refhely

Legyen ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ egy egész bázis, és legyenek ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n$ a beágyazások, azaz a ${\mathrm{Hom}}_K(K,ℂ)$ csoport elemei. Ekkor az $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ bázis diszkriminánsa

$d({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)=\det {\left({\left({\sigma }_i{\alpha }_j\right)}_{i,j}\right)}^2$.

Megmutatható, hogy ez nem függ az egész bázis választásától, így beszélhetünk a $K$ számtest diszkriminánsáról.Sablon:Refhely

A fentiekkel analóg módon definiálható számtestek egy $L/K$ bővítésének relatív diszkriminánsa. A diszkrimináns fontos szereppel bír az elágazáselméletben.

Elágazáselmélet

Tekintsük számtesteknek egy $L/K$ bővítését. Minden ${𝒪}_L$-beli $𝔓$ prímideál egy ${𝒪}_K$-beli $𝓅$ prímideál fölött helyezkedik el, azaz $𝔭=𝔓\cap {𝒪}_K$ egy prímideál. A megfordítás nem igaz: az ${𝒪}_K$ egy $𝓅$ prímideálja által generált $𝔭{𝒪}_L$ ideál nem feltétlenül prím. Amint az fentebb részletezve volt, ${𝒪}_L$ Dedekind-gyűrű, következésképpen az ideál egyértelműen felírható prímideálok szorzataként, azaz

$𝔭{𝒪}_L=\prod _{i=1}^g{𝔓}^{e_i}$

valamely ${𝔓}_i$ prímideálokra és $e_i\ge 1$ pozitív egészekre. Az $e_i$ kitevőt ekkor a ${𝔓}_i$ elágazási indexének nevezzük. Definiáljuk továbbá ${𝔓}_i$ inerciafokát: ez a $𝔓$ hányadostestének mint $𝔭$ hányadosteste feletti testbővítésnek a foka, azaz

$f_i=({𝒪}_L/𝔓:{𝒪}_K/𝔭)$.

Az ezekre vonatkozó fontos összefüggés a fundamentális egyenlet:

$(L:K)=\sum _{i=1}^g{e}_i{f}_i$

Azt mondjuk, hogy $𝔭$ elágazik az $L/K$ bővítésben, ha $e_i>1$ valamely $i$-re; máskülönben $𝔭$ el nem ágazó. Továbbá ha $e_i=f_i=1$ minden $i$-re, akkor azt mondjuk, hogy $𝔭$ teljesen felbomlik. Az elágazási viselkedés meghatározásában központi szereppel bír a diszkrimináns: pontosan azok a prímek ágaznak el, amelyek osztják a relatív diszkriminánst. Minkowski-elméleti eszközökkel megmutatható, hogy minden $K/\mathbb{Q}$ testbővítés diszkriminánsa 1-nél nagyobb; következésképpen $\mathbb{Q}$-nak nincsen elágazásmentes bővítése.

Ha az $L/K$ bővítés Galois, akkor a $𝔭$ fölötti prímideálok egymás Galois-konjugáltjai. Következésképpen valamennyiük az összes elágazási index megegyezik, és ugyanez igaz az inerciafokokra is.

Zetafüggvény

Egy számtest Dedekind-féle zetafüggvénye a Riemann-féle zéta-függvény általánosítása számtestekre. Ennek megfelelően a számtest prímideáljainak viselkedését írja le. Egy K számtest Dedekind-zetafüggvényét először azon $s$ komplex számokra definiáljuk, amelyeknek valós része 1-nél nagyobb. Ezekre a zetafüggvényt a következő Dirichlet-sor adja meg:

${\zeta }_K(s)=\sum _{I\subseteq {𝒪}_K}\frac{1}{({\mathrm{N}}_{K/\mathbb{Q}}(I){)}^s}$

Itt $I$ az ${𝒪}_K$ gyűrű nemnulla ideáljain fut végig, és $\mathrm{N}(I)=({𝒪}_K:I)$ az ideál abszolút normáját jelöli. Könnyen látható, hogy a $K=\mathbb{Q}$ speciális esetben a Riemann-féle zetafüggvényt kapjuk. A sor minden fenti $s$-re abszolút konvergál.

A Riemann-zetafüggvényhez hasonlóan ${\zeta }_K$ is Euler-szorzatalakba fejthető minden $\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>1$-re:

${\zeta }_K(s)=\prod _{P\subseteq {𝒪}_K}\frac{1}{1-{\mathrm{N}}_{K/\mathbb{Q}}(P{)}^{-s}},$

ahol $P$ az ${𝒪}_K$ prímideáljain fut végig. Az Euler-szorzatalak az ideálok prímideálok szorzatára való egyértelmű felbontásának egyenes következménye.

Hecke megmutatta, hogy ${\zeta }_K$ kiterjeszthető a komplex számsíkra meromorf függvényként, egyetlen egyszerű pólussal az $s=1$ pontban. Az ebben a pontban vett reziduumot az analitikus osztályszámképlet adja meg – ez az algebrai számelmélet egy központi eredménye.

Főbb eredmények

Az osztályszám végessége

Az algebrai számelmélet egyik klasszikus eredménye, hogy egy számtest osztálycsoportja véges. Az osztálycsoport rendjét a számtest osztályszámának nevezzük; ezt gyakran $h_K$-val jelölik.

Minkowski-elmélet

Az osztályszám végessége a Minkowski-féle rácselmélet felhasználásával látható be. Ennek felhasználásával egy ${𝒪}_K$-beli ideál felfogható egy ${ℝ}^{r_1+2r_2}$-beli ún. teljes rácsként, aminek a térfogata a diszkrimináns és az ideál indexének függvénye. A teljes rácsok térfogatáról szól Minkowski rácsponttétele, aminek felhasználásával az előbbi térfogatra adható egy egyenlőtlenség. Ez az egyenlőtlenség lehetővé teszi az osztályszám becslését, speciálisan a végesség bizonyítását.Sablon:Refhely

Dirichlet-féle egységtétel

A Dirichlet-féle egységtétel leírja az algebrai egészek ${𝒪}_K$ gyűrűjének ${𝒪}_K^{\times }$ egységcsoportját. A tétel szerint ${𝒪}_K^{\times }$ izomorf $\mu (K)\times {\mathbb{Z}}^{r_1+r_2-1}$-gyel, ahol $\mu (K)$ a $K$-beli egységgyökök csoportja, $r_1$ a $K\hookrightarrow ℝ$ valós beágyazások száma, $r_2$ pedig a $K\hookrightarrow C$ komplex beágyazások számának fele. Másként megfogalmazva, az egységcsoport egy végesen generált $r_1+r_2-1$ rangú Abel-csoport, amelynek torziócsoportja pontosan a $K$-beli egységgyökökből áll.

A tételt a Minkowski-elmélet eszközeivel lehet bizonyítani.

Regulátor

Legyenek ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_{r_1+r_2-1}\in {𝒪}_K^{\times }$ az ${𝒪}_K^{\times }$ szabad részének egy bázisa; ezek létezését a Dirichlet-féle egységtétel garantálja. Legyenek ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{r_1}$ a valós, ${\sigma }_{r_1+1},\overline{{\sigma }_{r_1+1}},\dots ,{\sigma }_{r_1+r_2},\overline{{\sigma }_{r_1+r_2}}$ a komplex beágyazások. Legyen ${\delta }_i=1$, ha $1\le i\le r_1$, azaz ha ${\sigma }_i$ valós, és ${\delta }_i=2$, ha $r_1+1\le i\le r_1+r_2$, azaz ha ${\sigma }_i$ komplex. Ekkor a $K$ számtest regulátora

$R_K=R_K({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_{r_1+r_2-1})=|\det \left({({\delta }_i\log |{\sigma }_i({\epsilon }_j)|)}_{1\le i,j\le r_1+r_2-1}\right)|$.

Vegyük észre, hogy a mátrixból kihagytuk az $r_1+r_2$-edik beágyazáshoz tartozó sort, és így kaptunk négyzetes mátrixot. A regulátor értéke független a kihagyott beágyazástól, valamint a beágyazások illetve az egységek sorrendjétől (a külső abszolútértéknek köszönhetően).Sablon:Refhely

A regulátor megközelíthető a Minkowski-elmélet felől is.Sablon:Refhely Ekkor az ${𝒪}_K^{\times }$ egységcsoport képe ${ℝ}^{r_1+2r_2}$-ben egy rács lesz, amelynek térfogata a regulátorral arányos. Következésképpen minél kisebb a regulátor, annál „több” egység van az ${𝒪}_K$ gyűrűben, azaz annál „sűrűbben” helyezkednek el az ${𝒪}_K^{\times }$-beli egységek képei az ${ℝ}^{r_1+2r_2}$ Minkowski-térben.

Analitikus osztályszámképlet

Az analitikus osztályszámképlet egy $K$ számtest ${\zeta }_K$ Dedekind-zetafüggvényének $s=1$ helyen vett reziduumát adja meg.

$\underset{s\to 1}{\lim }(s-1){\zeta }_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot (2\pi {)}^{r_2}\cdot R_K\cdot h_K}{w_K\cdot \sqrt{|D_K|}}$

A jobb oldalon szereplő számok a következők:

• $r_1$ a valós beágyazások száma,
• $r_2$ a komplex beágyazáspárok száma,
• Sablon:Math az osztályszám, azaz az osztálycsoport elemszáma,
• Sablon:Math a $K$ számtest regulátora,
• Sablon:Math a $K$-ban tartalmazott egységgyökök száma,
• Sablon:Math a $K/\mathbb{Q}$ bővítés diszkriminánsa.

Általánosságban az osztályszám kiszámítása nehéz kérdés; a fenti képlet részben azért jelentős, mert ezen keresztül az osztályszám meghatározása visszavezethető más invariánsok meghatározására. A bal oldalon álló reziduum kiszámításához egy lehetséges út lehet a számtest prímideáljainak leírása, majd a zetafüggvény Euler-szorzatalakon keresztüli felírása.Sablon:Refhely

A fenti képlet általánosan igaz valamennyi számtestre. Bizonyos speciális számtestek esetén ennél könnyebben kezelhető képletek is léteznek. Például kvadratikus számtestek (azaz a racionális számok másodfokú algebrai bővítései) esetén az osztályszám meghatározható a diszkrimináns és egy Dirichlet-karakter ismeretében; ez az úgynevezett Dirichlet-osztályszámképlet.Sablon:Refhely

Ennél nagyobb általánosságban is beszélhetünk „analitikus képletekről” az algebrai számelméletben és az aritmetikai geometriában. Ezek közös vonása, hogy a vizsgált objektum valamely aritmetikai invariánsa és egy analitikus függvény $s=1$ helyen vett értéke közötti összefüggést adnak meg, néhány további, jellemzően viszonylag egyszerű tényező erejéig. A fenti esetben a vizsgált objektum a $K$ számtest, az aritmetikai invariáns az osztályszám és a regulátor szorzata, az említett analitikus függvény ${\zeta }_K(s)$, a további tényezők pedig $w_K$, $D_K$ és $2^{r_1}\cdot (2\pi {)}^{r_2}$. Egy aritmetikai geometriai példa a Birch és Swinnerton-Dyer-sejtés. Abban a speciális esetben, amikor a Mordell–Weil-csoport véges, az aritmetikai invariáns a Tate–Safarevics-csoport rendje, az analitikus függvény pedig a Hasse–Weil-féle L-függvény lesz.Sablon:Refhely

Reciprocitási tételek és osztálytestelmélet

A kvadratikus reciprocitási tételhez analóg módon vizsgálható, hogy egy egész együtthatós, $\mathbb{Q}$ felett irreducibilis polinom mikor bomlik lineáris faktorokra a moduló Sablon:Math, vagyis a ${𝔽}_p[X]$ polinomgyűrűben. A kvadratikus reciprocitás esetében a vizsgált polinom $X^2-q$. Egy további példa a körosztási reciprocitási tétel:

A ${\mathrm{\Phi }}_n(X)$ körosztási polinom akkor és csak akkor bomlik lineáris faktorokra moduló Sablon:Math, ha $n\equiv 1modp$.

Az általános kérdést Abel-polinomok (olyan polinomok, amiknek Galois-csoportja Abel) esetében az osztálytestelmélet vizsgálja; a vonatkozó tétel Artin-reciprocitás néven ismert.Sablon:Refhely

Kronecker–Weber-tétel

A Kronecker–Weber-tétel szerint minden Abel-számtest beágyazható egy körosztási testbe. Pontosabban ha $K/\mathbb{Q}$ egy véges Galois-bővítés, amelynek Galois-csoportja egy Abel-csoport, akkor létezik egy olyan $m\ge 1$ egész, melyre $K\subseteq \mathbb{Q}({\mu }_m)$. Itt ${\mu }_m$ az $m$-edik egységgyökök csoportját jelöli, $\mathbb{Q}({\mu }_m)$ az $m$-edik körosztási test.Sablon:Refhely

A tétel arra mutat rá, hogy a $\mathbb{Q}$ feletti Abel-bővítések elméletében a körosztási testek játsszák az alapvető építőkövek szerepét. Ez azért hasznos, mert így a körosztási testek viszonylag részletesen ismert tulajdonságaiból lehet következtetni más Abel-bővítések tulajdonságaira.

A tételnek létezik egy lokális verziója is – sőt, a tétel egyik lehetséges bizonyításában először ezt a lokális verziót igazolják elágazáselméleti eszközökkel, majd a globális Kronecker–Weber-tétel bizonyítását visszavezetik a lokális esetre.Sablon:Refhely A lokális Kronecker–Weber-tétel állítása a következő: ha $K$ a p-adikus számok ${\mathbb{Q}}_p$ testének egy véges Galois-bővítése, amelynek Galois-csoportja egy Abel-csoport, akkor létezik egy olyan $m\ge 1$ egész, melyre $K\subseteq {\mathbb{Q}}_p({\mu }_m)$.Sablon:Refhely

A tétel az osztálytest-elméleten keresztül is bizonyítható.Sablon:Refhely

Források

• Sablon:Hely Sablon:CitLib
• Sablon:Hely Sablon:CitLib
• Sablon:Hely Sablon:CitLib
• Sablon:Hely Sablon:CitLib
• Sablon:Hely Sablon:CitPer
• Sablon:Hely Sablon:CitLib

Fordítás

• Sablon:Fordítás
• Sablon:Fordítás
• Sablon:Fordítás