Osztálytestelmélet

Az osztálytestelmélet a matematika, azon belül az algebrai számelmélet egyik részterülete, ami bizonyos testek Abel-bővítéseinek leírásával foglalkozik. (Egy Abel-bővítés olyan Galois-bővítés, aminek a Galois-csoportja Abel-csoport.) A racionális számok esetében az Abel-bővítéseket a Kronecker–Weber-tétel írja le; az osztálytestelmélet egyik motivációja ennek kiterjesztése minden számtestre, azaz a racionális számok véges bővítéseire. Az elmélet részét képezik továbbá bizonyos reciprocitási tételek, amiket a kvadratikus reciprocitási tétel általánosításaiként is fel lehet fogni, bár az előbbi és utóbbi közötti kapcsolat elsőre nem magától értetődő.Sablon:Refhely

A lokális osztálytestelmélet lokális testek Abel-bővítéseit vizsgálja; ebből a lokál-globál elven keresztül lehet eljutni a globális testek bővítéseit leíró globális osztálytestelmélethez. Ez a két eset, tehát a lokális illetve globális elmélet klasszikusnak tekinthető. Az elmélet bizonyos elemei kiterjeszthetők magasabb dimenziós lokális testekre: ez a magasabb osztálytestelmélet. Léteznek továbbá algebrai geometriai megfelelők is, ezekkel a geometriai osztálytestelmélet foglalkozik. Nem feltétlenül Abel-bővítések esetében az elmélet jelentősen bonyolultabbá válik: részben ezzel a kérdéssel foglalkozik a Langlands-elmélet.

Lokális osztálytestelmélet

A lokális osztálytestelmélet lokális testek Abel-bővítéseinek leírásával foglalkozik. Két fő tétele a reciprocitási tétel és az egzisztenciatétel. Ezek bizonyítása történhet az adott lokális test Tate-kohomológiájának vizsgálatán vagy a Lubin–Tate formális csoportok elméletén keresztül; ez a két bizonyítási mód egymástól független. A kohomologikus megközelítés előnye az absztrakt tárgyalásmód, a Lubin–Tate-féle megközelítés pedig valamivel explicitebb konstrukciót tesz lehetővé.

Reciprocitási tétel. Ha K egy lokális test, és L/K egy Abel-bővítés, akkor létezik egy

1 \to N_{L / K} (L^{\times}) \to K^{\times} \overset{(-, L / K)}{\to} G a l (L / K) \to 1

rövid egzakt sorozat, ahol $N_{L / K}$ a norma, $(-, L / K)$ pedig az úgynevezett norma-maradékszimbólum.Sablon:Refhely A norma-maradékszimbólum funktoriális.Sablon:Refhely

A reciprocitási tétel tehát megad egy izomorfizmust az $L / K$ Abel-bővítés Galois-csoportja és a $K^{\times} / N_{L / K} (L^{\times})$ faktorcsoport között. Ezzel részben leírja a K lokális test Abel-bővítéseit, ugyanakkor nem válaszolja meg azt a kérdést, hogy mely csoportok állnak így elő. Erről szól a következő tétel:

Egzisztenciatétel. Az $L \mapsto N_{L / K} (L^{\times})$ leképezés egy tartalmazásváltó izomorfizmus a K lokális test Abel-bővítései és a K-beli normacsoportok hálói között.Sablon:Refhely (A normacsoportok a $K^{\times}$ multiplikatív csoport azon részcsoportjai, amelyek $N_{F / K} (F^{\times})$ alakúak valamely $F / K$ normális bővítésre.)Sablon:Refhely Egy normacsoportot tartalmazó részcsoport is normacsoport, és $K^{\times}$ normacsoportjai pontosan a véges indexű nyílt részcsoportok.Sablon:Refhely

Globális osztálytestelmélet

A globális osztálytestelmélet a globális testek Abel-bővítéseit írja le. Az elmélet állításait technikai szempontból természetes a test idèle-eire vonatkozóan megfogalmazni. Emellett létezik az elméletnek egy klasszikus ideálelméleti megfogalmazása is: ez ugyan kevésbé természetes, viszont elemibb tárgyalásmódot tesz lehetővé.

Idèle-elméleti megközelítés

Ehhez a tárgyalásmódhoz először szükséges bevezetni az idèle osztálycsoport fogalmát. Ha K egy globális test és v a K egy helye, akkor jelölje K_v a v-nél vett teljessé tételt. Jelölje U_v a K_v egységcsoportját: nemarchimédeszi v esetén ez az értékelésgyűrű egységeinek $𝒪_{K_{v}}^{\times}$ csoportja, arkhimédeszi v-re pedig $K_{v}^{\times}$ . A K test idèlecsoportja a következő:

J_{K} = {(\dots, x_{v}, \dots) \in \prod_{v} K_{v}^{\times} : x_{v} \in U_{v} majdnem minden v -re}

,

azaz J_K a $K_{v}^{\times}$ csoportok megszorított direkt szorzata az $U_{v}$ csoportokra nézve. A $K^{\times} ↪ K_{v} \times$ beágyazások indukálnak egy $K^{\times} ↪ J_{K}$ beágyazást; ennek képe a főidèlecsoportja. A C_K idèle osztálycsoport az ezzel vett hányadoscsoport, azaz $C_{K} = J_{K} / K^{\times}$ .Sablon:Refhely

Reciprocitási tétel. Ha L/K globális testek egy Abel-bővítése, akkor az

1 \to N_{L / K} (C_{L}) \to C_{K} \overset{(-, L / K)}{\to} G a l (L / K) \to 1

sorozat rövid egzakt, ahol $C_{L}$ illetve $C_{K}$ az L illetve K idèle osztálycsoportja.Sablon:Refhely Az $(-, L / K)$ norma-maradékszimbólum funktoriális,Sablon:Refhely és érvényes rá a Hasse-elv, azaz egyértelműen megfelel az L/K globális bővítéshez tartozó lokális bővítésekhez rendelt norma-maradékszimbólumok kollekciójának.Sablon:Refhely

Egzisztenciatétel. Az $L \mapsto N_{L / K} (C_{L})$ egy tartalmazásváltó izomorfizmus a K globális test Abel-bővítései és a $C_{K}$ -beli normacsoportok hálói között.Sablon:Refhely Az idèle osztálycsoport normacsoportjai pontosan a véges indexű zárt részcsoportok.Sablon:Refhely

Ideálelméleti megközelítés

Ez a megközelítés a számtestek divizorainak fogalmát használja. A K számtest egy divizora egy egész ideál és arkhimédeszi helyek egy négyzetmentes szorzatának formális szorzata, azaz egy $𝔐 = \prod 𝔭_{i}^{e_{i}} \cdot \prod w_{j}$ szorzat, ahol $𝔭_{i}$ prímideálok, e_i nemnegatív egészek és w_j különböző végtelen helyek; az egyes szorzatok akár üresek is lehetnek.Sablon:Refhely

Egy $𝔐$ divizor általánosított osztálycsoportja az $I_{𝔐} / P_{𝔐}$ hányadoscsoport. Itt $I_{𝔐}$ az $𝔐$ -hez relatív prím törtideálok Abel-csoportja,

P_{𝔐} = {α 𝒪_{K} : \forall i : α - 1 \in 𝔭_{i}^{e_{i}}, \forall w_{j} valós : α > 0}

,

azaz $P_{𝔐}$ azon $α 𝒪_{K}$ törtideálokból álló részcsoport, amik kongruensek 1-gyel moduló $𝔭_{i}^{e_{i}}$ , és $α$ pozitív minden valós w_j-hez tartozó beágyazás alatt.Sablon:Refhely

Reciprocitási tétel. Ha $L / K$ egy véges Abel-bővítés, akkor létezik a K testnek egy $𝔣$ divizora (a minimális ilyen $𝔣$ -et a bővítés kondoktorának nevezik), hogy

Egy véges vagy végtelen prím akkor és csak akkor ágazik el $L / K$ -ban, ha osztja $𝔣$ -et.
Ha $𝔐$ a K egy divizora és $𝔣 ∣ 𝔐$ , akkor létezik $I_{𝔐}$ -nek egy H részcsoportja úgy, hogy $P_{𝔐} \subseteq H \subseteq I_{𝔐}$ és $I_{𝔐} / H ≃ G a l (L / K)$ , ahol az izomorfizmust az úgynevezett Artin-leképezés adja meg. Sőt H konkrétan megadható mint $H = P_{𝔐} N_{L / K} (I_{𝔐} (L))$ .Sablon:Refhely

Egzisztenciatétel. Ha $𝔐$ a K egy divizora és H az $I_{𝔐}$ egy részcsoportja úgy, hogy $P_{𝔐} \subseteq H \subseteq I_{𝔐}$ , akkor egyértelműen létezik egy $L / K$ Abel-bővítés, ami legfeljebb az $𝔐$ -et osztó prímekben ágazik el, $H = P_{𝔐} N_{L / K} (I_{𝔐} (L))$ és $I_{𝔐} / H ≃ G a l (L / K)$ .Sablon:Refhely

Magasabb osztálytestelmélet

A lokális test fogalma általánosítható a következőképpen. Emlékeztetőül, egy lokális test olyan diszkréten értékelt teljes test, aminek a maradékteste véges. Ezt az 1-dimenziós esetnek tekintve, a fogalom induktív módon általánosítható: egy n-dimenziós lokális test olyan diszkréten értékelt teljes test, aminek a maradékteste egy $n - 1$ dimenziós lokális test. (Speciálisan a véges testek tekinthetők nulla dimenziós lokális testnek.)Sablon:Refhely

A magasabb lokális osztálytestelméletben a test multiplikatív csoportjának szerepét az n-edik Milnor K-csoport veszi át. (Ez valóban kiterjeszti az egydimenziós esetet, mert egy test első Milnor K-csoportja a test multiplikatív csoportja.) Megfogalmazható mind a reciprocitási, mind az egzisztenciatétel általánosítása erre az esetre.Sablon:Refhely Az elmélet alapjait egymástól függetlenül Kato és Parsin fektették le az 1970-es években.Sablon:Refhely

Jegyzetek

Sablon:Jegyzetek

Források

Osztálytestelmélet

Tartalomjegyzék

Lokális osztálytestelmélet

Globális osztálytestelmélet

Idèle-elméleti megközelítés

Ideálelméleti megközelítés

Magasabb osztálytestelmélet

Jegyzetek

Források

Navigációs menü

Osztálytestelmélet

Lokális osztálytestelmélet

Globális osztálytestelmélet

Idèle-elméleti megközelítés

Ideálelméleti megközelítés

Magasabb osztálytestelmélet

Jegyzetek

Források

Navigációs menü

Keresés