Euler-szorzat

A számelméletben az Euler-szorzat a Dirichlet-sor prímszámokkal indexelt kiterjesztése a végtelenbe. Az elnevezés abból ered, hogy a Riemann-féle zéta-függvény esetét Euler tanulmányozta, és ő bizonyította be annak végtelen szorzat reprezentációját.

Definíció

Általában, ha az a függvény multiplikatív, akkor a

$\sum _{n}a(n)n^{-s}$

Dirichlet-sor egyenlő a következővel:

$\prod _{p}P(p,s)$

ahol a szorzatot a prímek fölött veszik, és $P(p,s)$ éppen az

$1+a(p)p^{-s}+a(p^2)p^{-2s}+\cdots .$

összeg.

Hogyha ezeket formális generátorfüggvénynek tekintjük, akkor adódik, hogy egy efféle formális Euler-szorzat kiterjesztése szükséges és elégséges feltétele az a függvény multiplikativitásának. Eszerint $a(n)$ azoknak a különböző $a(p^k)$ értékeknek szorzata, ahol p prímosztója n-nek, és n prímtényezős felbontásában p éppen k-szor szerepel.

Speciálisan, ha $a(n)$ teljesen multiplikatív, akkor $P(p,s)$ egy mértani sor. Ekkor

$P(p,s)=\frac{1}{1-a(p)p^{-s}},$

mint a Riemann-féle zéta-függvény esete, és általánosabban, a Dirichlet-karakterek esetén.

Konvergencia

A gyakorlatban a végtelen soroknak azok a speciális esetei érdekesek, amikor a sor abszolút konvergens. Ezen a tartományon a sor összege nem lehet nulla, így itt a tényezők sem lehetnek nullák.

A moduláris formák tétele szerint tipikus, hogy itt a nevezők másodfokú polinomok. Az általános Langlands-elmélet tartalmaz egy hasonló fejtegetést az m-edfokú polinomokkal kapcsolatban, és a reprezentációelmélet is hasonlót mond GL_m-ről.

Példák

A Riemann-féle zéta-függvényhez kapcsolódó Euler-szorzat a mértani sor összegének felhasználásával

$\prod _p(1-p^{-s}{)}^{-1}=\prod _p(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}^{-ns})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\zeta (s)$.

A $\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}$ Liouville-függvényre

$\prod _p(1+p^{-s}{)}^{-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}=\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}$

Reciprokaikat felhasználva a $\mu (n)$ Möbius-függvény két Euler-szorzata

$\prod _p(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}$

és

$\prod _p(1+p^{-s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}=\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}$

A kettő hányadosa:

$\prod _p\left(\frac{1+p^{-s}}{1-p^{-s}}\right)=\prod _p\left(\frac{p^s+1}{p^s-1}\right)=\frac{\zeta (s{)}^2}{\zeta (2s)}$

Mivel páros számokra a Riemann-féle zéta-függvény értéke ${\pi }^s$ és egy racionális szám szorzata, ez a végtelen szorzat racionális számot ad értékül páros hatványokra. Például, mivel $\zeta (2)={\pi }^2/6$, $\zeta (4)={\pi }^4/90$, és $\zeta (8)={\pi }^8/9450$,

$\prod _p\left(\frac{p^2+1}{p^2-1}\right)=\frac{5}{2}$

$\prod _p\left(\frac{p^4+1}{p^4-1}\right)=\frac{7}{6}$

és így tovább, ami Ramanudzsan első eredménye. Ez a végtelen szorzat a következővel is ekvivalens:

$\prod _p(1+2p^{-s}+2p^{-2s}+\cdots )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{\omega (n)}{n}^{-s}=\frac{\zeta (s{)}^2}{\zeta (2s)}$

ahol $\omega (n)$ az n különböző prímosztóinak számát jelöli. és $2^{\omega (n)}$ a négyzetmentes osztók száma.

Hogyha $\chi (n)$ az N konduktor Dirichlet-karaktere, akkor $\chi$ teljesen multiplikatív, és $\chi (n)$ csak n maradékosztályától függ modulo N, és $\chi (n)=0$ akkor és csak akkor, ha n nem relatív prím. Ekkor

$\prod _p(1-\chi (p)p^{-s}{)}^{-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\chi (n)n^{-s}$.

Itt kényelmesebb elhagyni az N konduktor prímosztóit a szorzatból. Ramanudzsan megpróbálta általánosítani az Euler-szorzatot a zéta-függvényre:

$\prod _p(x-p^{-s})\approx \frac{1}{{\mathrm{Li}}_s(x)}$

minden $s>1$-re, ahol ${\mathrm{Li}}_s(x)$ a polilogaritmus. $x=1$-re a fenti szorzat nem más, mint $1/\zeta (s).$

Ismert konstansok

Sok ismert konstansnak van Euler-szorzatos kifejtése:

A Leibniz-formula a π-re:

$\pi /4=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots ,$

értelmezhető Dirichlet-sorként az egyetlen modulo 4 Dirichlet-karakter segítségével, és szuperpartikuláris arányok Dirichlet-szorzatává alakítható:

$\pi /4=\left(\prod _{p\equiv 1(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p-1}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p+1}\right)=\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{7}{8}\cdot \frac{11}{12}\cdot \frac{13}{12}\cdots ,$

ahol minden számláló prím, és a nevező a legközelebbi néggyel osztható szám.

További Euler-szorzatok:

Ikerprím-konstans:

$\prod _{p>2}(1-\frac{1}{(p-1{)}^2})=0,660161...$

Landau-Ramanudzsan-konstans:

$\frac{\pi }{4}\prod _{p=1\text{mod}4}(1-\frac{1}{p^2}{)}^{1/2}=0,764223...$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\prod _{p=3\text{mod}4}(1-\frac{1}{p^2}{)}^{-1/2}=0,764223...$

Murata-konstans Sablon:OEIS:

$\prod _p(1+\frac{1}{(p-1{)}^2})=2,826419...$

Erősen gondtalan konstans $\times \zeta (2{)}^2$ Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{(p+1{)}^2})=0,775883...$

Artin-konstans Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{p(p-1)})=0,373955...$

Landau-konstans Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{1}{p(p-1)})=\frac{315}{2{\pi }^4}\zeta (3)=1,943596...$

Gondtalan konstans $\times \zeta (2)$ Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{p(p+1)})=0,704442...$

Reciproka Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{1}{p^2+p-1})=1,419562...$

Feller-Tornier-konstans Sablon:OEIS2C:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\prod _p(1-\frac{2}{p^2})=0,661317...$

Kvadratikus osztályszám konstans Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{p^2(p+1)})=0,881513...$

Totient összegzési konstans Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{1}{p^2(p-1)})=1,339784...$

Gondtalan konstans Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{2p-1}{p^3})=0,428249...$

Erősen gondtalan konstans Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{3p-2}{p^3})=0,286747...$

Stephens-konstans: Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{p}{p^3-1})=0,575959...$

Barban-konstans: Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{3p^2-1}{p(p+1)(p^2-1)})=2,596536...$

Heath-Brown–Moroz-konstans Sablon:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{p}{)}^7(1+\frac{7p+1}{p^2})=0,0013176...$

Források

• G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, Sablon:ISBN* G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) Sablon:ISBN (Chapter 17 gives further examples.)
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), Sablon:ISBN
• G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"