Generátorfüggvény

Sablon:Nincs bevezető A matematikában az $r_0,r_1,\dots ,r_i,\dots$ sorozat generátorfüggvénye az $R(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{r}_i{x}^i$ hatványsor.

Több alkalmazása is lehetséges. Segítségével a sorozat további jellemzői deríthetők ki, illetve egyes jellemző mennyiségek számítását is megkönnyíti. A generátorfüggvényt használjuk a matematikai rekurzív sorozatok n-edik tagjának meghatározására, mint például a Fibonacci-számoknál.

A statisztikában és a valószínűségszámításban a diszkrét valószínűségi változók számára a sorozatokhoz hasonlóan definiálnak generátorfüggvényt:

$G_{\chi }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k{z}^k$ (itt χ jelöli a valószínűségi változót, $p_k$ pedig a $P(\chi =k)$ valószínűséget).

A valószínűségszámításban a valószínűséggeneráló függvény segítségével meghatározhatók az eloszlás és a valószínűségi változó különféle jellemzői, illetve megkönnyíti bizonyos műveletek (független valószínűségi változók összegének jellemzése, konvolúció, összeg kiszámítása).

Tulajdonságai

• Kapcsolat a várható értékkel: $G_{\chi }(z)=𝐄z^{\chi }$
• A generátorfüggvény hatványsora abszolút konvergens a |z|<1 körben. Ebben a körben a generátorfüggvény differenciálható, a deriválás tagonként elvégezhető, és a derivált hatványsor is konvergens ezen a körön belül.
• A generátorfüggvény és az eloszlás kölcsönösen meghatározza egymást. Ez a kapcsolat folytonos. A generátorfüggvény k-adik deriváltjával:

$p_k=\frac{G_{\chi }(x{)}^{(k)}(0)}{k!}$

• Ha a hatványsor nagyobb körben is konvergál, akkor:

$G{\text{'}}_{\chi }(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{p}_k{z}^{k-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k{p}_k{z}^{k-1}$

$G{\text{'}}_{\chi }(1)=𝐄\chi$

• Tetszőleges r-re:

$G_{\chi }^{(r)}(z)=\sum _{k=r}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)\dots (k-r+1)p_k{z}^{k-r}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)\dots (k-r+1)p_k{z}^{k-r}$

• Ha r=2:

$G_{\chi }^{(2)}(z)=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)p_k{z}^{k-2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)p_k{z}^{k-2}$

$G_{\chi }^{(2)}(1)=𝐄{\chi }^2-𝐄\chi$

• A generátorfüggvény r-szeri deriválhatósága balról x=1-ben ekvivalens az összes momentum létezésével egészen az r-edik momentumig.
• A generátorfüggvény és a konvolúció kapcsolata:

$G_{\chi +\eta }(z)=G_{\chi }(z)G_{\eta }(z)$

Nevezetes eloszlások generátorfüggvénye

• Az (n, p) paraméterű binomiális eloszlás generátorfüggvénye:

$G(z)=(1-p+pz{)}^n$

• A λ paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvénye:

$G_{\chi }(z)=e^{\lambda (z-1)}$

• A p paraméterű geometriai eloszlás generátorfüggvénye:

$G_{\chi }(z)=\frac{p}{1-(1-p)z}=\frac{p}{1-qz}$ (ahol $q=1-p$)

• Az (r, p) paraméterű negatív binomiális eloszlás generátorfüggvénye:

$G_{\chi }(z)={\left(\frac{p}{1-(1-p)z}\right)}^r={\left(\frac{1-q}{1-qz}\right)}^r$ (ahol $q=1-p$)

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen. [1]