Hatványsor

A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n.$

alakú végtelen összeg, ahol $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ tetszőleges valós vagy komplex számsorozat. Az $x_0$ szám a hatványsor középpontja; egy ekörüli körlapon konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet:

• egyedül a középpont
• valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap
• az egész $ℝ$ vagy $ℂ$.

A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz.

Konvergenciasugár

Az $x_0$ körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit $r$-rel jelölve a hatványsor minden $x$-re konvergens, amire $|x-x_0|<r$. Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.

A konvergenciasugár a Cauchy–Hadamard-képlettel számítható:

$r=\frac{1}{\mathrm{lim\; sup}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.$

Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|,$

hogyha a határérték létezik.

A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:

• $|x-x_0|<r$ esetén a hatványsor abszolút konvergens
• ha $|x-x_0|>r$, akkor divergens
• hogyha $|x-x_0|=r$, akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról
• ha pedig $|x-x_0|\le r^{\prime }<r$, akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden $x$-re, amire $|x-x_0|\le r^{\prime }$.

Műveletek

Összeadás és skalárral szorzás

Ha $f$ és $g$ hatványsorok,

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-x_0{)}^n$

c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,

akkor a $f+g$ és $cf$ hatványsorok is konvergensek r sugarú körben, és

$f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)(x-x_0{)}^n$

$cf(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(c{a}_n)(x-x_0{)}^n.$

Szorzás

Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és

$\begin{array}{cc}f(x)g(x)& =(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-x_0{)}^n)\\ & =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{b}_j(x-x_0{)}^{i+j}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}\right)(x-x_0{)}^n\end{array}$

ahol $m_n={\sum }_{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$ az $(a_n)$ és a $(b_n)$ sorozatok konvolúciója.

Deriválás és integrálás

Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}n{(x-x_0)}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(n+1){(x-x_0)}^n$

A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával

$f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{(n-k)!}{a}_n(x-x_0{)}^{n-k}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n+k)!}{n!}{a}_{n+k}(x-x_0{)}^n$

Hasonlóan számítható a primitív függvény:

$\int f(x)dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{(x-x_0)}^{n+1}}{n+1}+C=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n-1}{(x-x_0)}^n}{n}+C$

Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.

Példák

• A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
• Exponenciális függvény: $e^x=\exp (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \mathrm{h}\mathrm{a}x\in ℝ$,

a konvergenciasugár végtelen

• Logaritmus, $\ln (1+x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{x^k}{k}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots \mathrm{h}\mathrm{a}-1<x\le 1$.

A konvergenciasugár 1; $x=1$-ben konvergens, $x=-1$-re divergens

• Négyzetgyök, $\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2\cdot 4}{x}^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}{x}^3-\cdots \mathrm{h}\mathrm{a}-1\le x\le 1$,

a konvergenciasugár 1, és a sor $x=1$-ben és $x=-1$-ben is konvergál

• Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort

Lásd még

• Laurent-sor

Források

• Gonda János: Véges testek [compalg.inf.elte.hu/material/DOWNLOAD/vt.pdf]
• Halász Gábor: Komplex függvénytan
• Kurt Endl/Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1973, 7-te Auflage 1989, Sablon:ISBN, S. 85-89, 99
• E. D. Solomentsev: Power series in der Encyclopaedia of Mathematics