Laurent-sor

A Laurent-sor egy hatványsorhoz hasonló sor, aminek negatív indexű tagjai is lehetnek. Egy c középpontú, x változójú Laurent-sor alakja:

$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n$

ahol a_n és c többnyire komplex számok; ekkor azonban megszokottabb a változót z-vel jelölni.

Nem minden Laurent-sor tartalmaz mindkét irányban végtelen sok tagot. Ha valamettől kezdve az összes együttható nulla, akkor azokat a tagokat nem számítják a sorhoz.

A negatív kitevős együtthatók által alkotott sor a szinguláris vagy főrész. Ha a szinguláris rész nulla, akkor a Laurent-sor hatványsor. Ha véges sok együttható nem nulla, akkor a sor Laurent-polinom. Ha a sor hatványsor és Laurent-polinom is, akkor polinom.

Példa

Legyen $K\in \{ℝ,ℂ\}$, $f:K\to K:x\mapsto \{\begin{array}{cc}\exp (-\frac{1}{x^2}),& x\ne 0\\ 0,& \text{különben}\end{array}$.

$K=ℝ$-re $f$ akárhányszor differenciálható, $K=ℂ$-re viszont nem komplex differenciálható $x=0$-ban, ott lényeges a szingularitása.

Ha $-\frac{1}{x^2}$-et behelyettesítjük az exponenciális függvény hatványsorába, akkor f Laurent-sorát kapjuk 0 középponttal:

$f(x)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^j\frac{x^{-2j}}{j!}$

Ez a sor minden x komplex számra konvergál, kivéve a $x=0$-ra, ahol maguk az összeadandók sincsenek értelmezve.

A Laurent-sor közelítése különböző $n$-ekre

Az ábra azt mutatja, hogyan közelíti a

$f_n(x)=\sum _{j=0}^n(-1{)}^j\frac{x^{-2j}}{j!}$

sor a függvényt (az $n=\mathrm{\infty }$ görbe f grafikonja).

Konvergencia

A Laurent-sorok a függvénytan fontos segédeszközei, különösen a szingularitások vizsgálatában. A Laurent-sorok olyan függvényeket írnak le, amelyek körgyűrűn holomorfak. Speciálisan, a hatványsorok körlapon holomorf függvényeket írnak le.

Legyen $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-c{)}^n$ z változós, c körüli Laurent sor az a_n komplex együtthatókkal. Ekkor egyértelműen vannak r és R számok, hogy a sor konvegrens az r sugarú körív és az R sugarú körív által határolt nyílt körgyűrűn. Sőt, a konvergencia abszolút $A:=\{z:r<|z-c|<R\}$-n, és lokálisan egyenletes is minden, a körgyűrű által tartalmazott kompakt részhalmazon. Ez azt jelenti, hogy a sor mindkét része konvergens a megfelelő módon. A Laurent-sor holomorf függvényt definiál a körgyűrűn. A sor nem konvergál azokon a komplex számokon, amelyekre $\{z:r>|z-c|\vee |z-c|>R\}$. Ennek az az oka, hogy a két rész valamelyike divergál. A határpontokban a konvergenciát külön kell vizsgálni. Általános érvénnyel csak azt lehet tudni, hogy a belső és a külső körön is van olyan pont, ahol a sor nem folytatható.

A két sugár, r és R nagysága lehet akár 0, de lehet végtelen is. Lehet az is, hogy a két sugár egyenlő, a konvergencia egy körvonalra korlátozódik. A sugarak a Cauchy-Hadamard-képlettel számíthatók:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|a_{-n}{|}^{1/n}$

$R=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|a_n{|}^{1/n}}$

ahol a képletekben $\frac{1}{0}=\mathrm{\infty }$ és $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$.

Megfordítva, ha van egy holomorf függvény a $A:=\{z:r<|z-c|<R\}$ tartományon, akkor a függvény Laurent-sorba fejthető a tartomány középpontjában, és ez a sor a teljes A tartományon konvergál. Az együtthatók így határozhatók meg:

$a_n=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U_{\varrho }(c)}\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -c)}^{n+1}}\mathrm{d}\zeta$

minden $n\in \mathbb{Z}$-re és egy $\varrho \in (r,R)$-ra, ahol is az utóbbi választása lényegtelen a Cauchy-integráltétel miatt.

Különösen érdekes a meromorf függvények és szingularitásaik esete. Ekkor a szingularitás körül sorba fejtett függvény -1 indexű együtthatója, a reziduum különös jelentőséggel bír az integrálszámításban a reziduumtétel szerint.

Formális Laurent-sorok

Ha eltekintünk a konvergencia kérdésétől, akkor formális Laurent-sorokat kapunk. Ezekben a határozatlant általában x-szel jelölik. Ekkor a sor együtthatói egy bizonyos kommutatív gyűrűből származnak, ennek jele többnyire R. Középpontnak a gyűrű nullelemét szokás venni. A szinguláris részt minden elemnél véges sok tagra korlátozzák, mert ekkor a szorzat együtthatói konvolúcióval számíthatók. Összeadáskor a megfelelő együtthatókat összegezzük. Mindezek a műveletek megfelelnek a Laurent-sorokkal való számolásnak. Két formális Laurent-sort akkor tekintünk egyenlőnek, ha a megfelelő együtthatói egyenlőek.

Ezekkel a műveletekkel a formális Laurent-sorok gyűrűt alkotnak. Ha az alapgyűrű test, akkor ez a gyűrű integritási tartomány. Hányadosteste izomorf a test feletti Laurent-sorok gyűrűjével.

Források

• Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, Sablon:ISBN