Reziduum

A komplex függvénytanban a reziduum a Laurent-sorok mínusz egyedik együtthatója. Fontosságát a reziduumtételnek köszönheti, ami lehetővé teszi a komplex értékű függvények komplex síkbeli görbe menti integráljának kiszámítását. Ha a görbével valós intervallumot közelítünk, akkor valós integrálok számításához is hasznos eszközt kapunk.

Definíció

Komplex tartományon

Legyen $D\subseteq ℂ$ tartomány, $D_f$ izolált pont $D$-ben és $f:D\setminus D_f\to ℂ$ holomorf. Ekkor minden $a\in D_f$ pontnak van egy pontozott környezete, $U:=U_r(a)\setminus \{a\}\subset D$, ami relatív kompakt $D$-ben, ahol $f{|}_U$ holomorf. Ekkor $f$ Laurent-sorba fejthető $U$-ban: $f{|}_U(z)={\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$, és ekkor $f$ reziduuma $a$-ban

${\mathrm{Res}}_a(f):=c_{-1}=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\partial U}f(z)dz$.

Riemann-féle számgömb

A fenti definíció kiterjeszthető a ${\mathbb{P}}_1=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ Riemann-féle számgömbre is. Legyen ismét $D_f$ diszkrét halmaz ${\mathbb{P}}_1$-ben és $f:{\mathbb{P}}_1\setminus D_f\to ℂ$ holomorf függvény. Ekkor minden $a\in D_f$ mit $a\ne \mathrm{\infty }$-ra legyen ugyanaz a definíció, mint az előbb. Ha $a=\mathrm{\infty }\in D_f$, akkor a reziduumot a

${\mathrm{Res}}_{\mathrm{\infty }}(f):=-c_{-1}=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\gamma }f(z)dz$

helyettesítéssel definiáljuk, ahol $\gamma$ egy elég nagy sugarú, óramutató járása szerint irányított kör, és $c_{-1}$ a Laurent-sor mínusz egyedik együtthatója.

Tulajdonságok

• Legyen $D\subset ℂ$ tartomány, és $f:D\to ℂ$ holomorf függvény $a$-ban. Ekkor a Cauchy-integráltétel miatt $f$ reziduuma $a$-ban nulla.
• Az integrálos ábrázolás szerint az $f(z)\mathrm{d}z$ differenciálforma reziduumáról is beszélhetünk.
• Teljesül a reziduumtétel, hogy a zárt görbe menti integrál csak a görbén belül levő szingularitásoktól, az ottani reziduumoktól és az azok körüli körülfordulási számtól függ.

Példák

• Ha $f$ $a$ egy nyílt környezetében holomorf, akkor ${\mathrm{Res}}_{a}f=0$.
• Ha $f(z)=\frac{1}{z}$, akkor $f$-nek elsőrendű pólusa van $0$-ban, és ott ${\mathrm{Res}}_{0}f=1$.
• A logaritmikus derivált szabálya és a linearitás miatt ${\mathrm{Res}}_1\frac{z}{z^2-1}=\frac{1}{2}$, mivel $z\mapsto z^2-1$-nal elsőrendű nullhelye van $1$-ben.
• A gammafüggvénynek elsőrendű pólusa van $-n$-ben, ahol $n\in {\mathbb{N}}_0$ és ott a reziduuma ${\mathrm{Res}}_{-n}\mathrm{\Gamma }=\frac{(-1{)}^n}{n!}$.

Kiszámítása

A komplex értékű függvények reziduuma sokszor a definíciónál könnyebben is kiszámítható. Legyenek $f,g$ komplex függvények, és keressük a reziduumot a-ban!

• A reziduumképzés lineáris $ℂ$ mint alaptest fölött, vagyis minden $\lambda ,\mu \in ℂ$-re:

${\mathrm{Res}}_a(\lambda f+\mu g)=\lambda {\mathrm{Res}}_{a}f+\mu {\mathrm{Res}}_{a}g$

• Ha $f$-nek $a$-ban elsőrendű pólusa van, akkor:

${\mathrm{Res}}_{a}f=\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)$

• Ha $f$-nek elsőrendű pólusa van $a$-ban, és $g$ ugyanitt holomorf:

${\mathrm{Res}}_{a}gf=g(a){\mathrm{Res}}_{a}f$

• Ha $f$-nek $a$-ban elsőrendű nullhelye van:

${\mathrm{Res}}_a\frac{1}{f}=\frac{1}{f^{\prime }(a)}$

• Ha $f$-nek $a$-ban elsőrendű nullhelye van, és $g$ ugyanitt holomorf:

${\mathrm{Res}}_a\frac{g}{f}=\frac{g(a)}{f^{\prime }(a)}$

• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű pólusa van: :${\mathrm{Res}}_{a}f=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{{\partial }^{n-1}}{\partial z^{n-1}}[(z-a{)}^{n}f(z)]$
• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű nullhelye van: :${\mathrm{Res}}_a\frac{f^{\prime }}{f}=n$.
• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű nullhelye van, és $g$ ugyanitt holomorf:

${\mathrm{Res}}_{a}g\frac{f^{\prime }}{f}=g(a)n$.

• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű pólusa van: :${\mathrm{Res}}_a\frac{f^{\prime }}{f}=-n$.
• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű pólusa van és $g$ ugyanitt holomorf:

${\mathrm{Res}}_{a}g\frac{f^{\prime }}{f}=-g(a)n$.

• Ha a $\mathrm{\infty }$-beli reziduum kell, akkor:

${\mathrm{Res}}_{\mathrm{\infty }}f={\mathrm{Res}}_0(-\frac{1}{z^2}f(\frac{1}{z}))$. Ekkor a $w=\frac{1}{z}$ helyettesítéssel:

$f(w)\mathrm{d}w=f(\frac{1}{z})\mathrm{d}\frac{1}{z}=-\frac{1}{z^2}f(\frac{1}{z})\mathrm{d}z$

Az $\frac{f^{\prime }}{f}$ logaritmikus derivált az elméletben is kapcsolódik a reziduumtételhez.

Algebrája

Legyen $K$ test, és $X$ egy egyszerű összefüggő reguláris zárt görbe $K$ fölött! Ekkor minden $x\in X$ közrezárt elemhez létezik egy kanonikus leképezés:

${\mathrm{res}}_x:{\mathrm{\Omega }}_{K(X)/K}\to K,$

ami minden meromorf differenciálformához hozzárendeli az $x$-beli reziduumát.

Ha $x$ $K$-racionális elem és $t$ lokális uniformizálandó, akkor a reziduumleképezés explicit módon is megadható: Hogyha $\omega$ meromorf differenciálforma és $\omega =f\mathrm{d}t$ lokális ábrázolás, és még

$f=\sum _{k=-N}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{t}^k$

Laurent-sora $f$-nek, akkor

${\mathrm{res}}_x\omega =a_{-1}.$

Ez $K=ℂ$ esetén megegyezik a függvénytani definícióval.

A reziduumtétel analógja is teljesül: Minden $\omega$ meromorf differenciálformára a reziduumok összege nulla:

$\sum _{x\in X}{\mathrm{res}}_x\omega =0.$

Források

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
• A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, Sablon:ISBN Online
• John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4^e série, tome 1, n^o 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF