Logaritmikus derivált

A logaritmikus derivált egy függvény logaritmusának deriváltját jelenti, definíció szerint $\frac{f^{\prime }}{f}$, ahol f ′ az f függvény deriváltja

Ha f a valós x változó f(x) függvénye, és valós, szigorúan pozitív értékeket vesz fel, akkor egyenlő az ln(f) deriváltjával, vagy az f természetes logaritmusának a deriváltjával. Ez a láncszabályból következik.

Alapvető tulajdonságok

Lényeges tulajdonsága, hogy nem függ f értékeinek mértékegységétől.

Közgazdaságtanban ezt rugalmasságnak szokás nevezni.

A valós logaritmus több tulajdonsága is vonatkozik a logaritmikus deriváltra, még abban az esetben is, amikor a függvény értékei nem pozitív valós számok.

Például, egy szorzat logaritmusa, az egyes tagok logaritmusának az összege, kapjuk:

$(\log uv{)}^{\prime }=(\log u+\log v{)}^{\prime }=(\log u{)}^{\prime }+(\log v{)}^{\prime }.$

Az általánosított Leibniz-törvényt is alkalmazhatjuk egy szorzat deriváltjára:

$\frac{(uv{)}^{\prime }}{uv}=\frac{u^{\prime }v+u{v}^{\prime }}{uv}=\frac{u^{\prime }}{u}+\frac{v^{\prime }}{v}.$

Így bármely függvényre igaz, hogy egy szorzat logaritmikus deriváltja az egyes tagok logaritmikus deriváltjának az összege (ha azok definiáltak). Hasonlóan (valójában ez az előbbiekből következik), egy függvény reciprokának a logaritmikus deriváltja a függvény logaritmikus deriváltjának a negáltja:

$\frac{(1/u{)}^{\prime }}{1/u}=\frac{-u^{\prime }/u^2}{1/u}=-\frac{u^{\prime }}{u},$

mivel egy pozitív valós szám reciprokának a logaritmusa, a szám logaritmusának a negáltja. Még általánosabban, egy hányados logaritmikus deriváltja, az osztandó és az osztó logaritmikus deriváltjainak a különbsége:

$\frac{(u/v{)}^{\prime }}{u/v}=\frac{(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2}{u/v}=\frac{u^{\prime }}{u}-\frac{v^{\prime }}{v},$

Egy másik irányban általánosítva, egy hatvány logaritmusa (valós, állandó kitevővel) az alap logaritmikus deriváltjának és az exponens szorzata: $\frac{(u^k{)}^{\prime }}{u^k}=\frac{k{u}^{k-1}{u}^{\prime }}{u^k}=k\frac{u^{\prime }}{u},$ Összefoglalva, mind a deriváltnak, mind a logaritmusnak van szorzatszabálya, reciprokszabálya, hányadosszabálya, és kitevőszabálya; mindegyik szabály kapcsolódik a logaritmikus deriválthoz.

Derivált számítás logaritmikus deriválttal

A logaritmikus derivált alkalmazása leegyszerűsítheti a derivált számítást, ahol szükség van a szorzatszabályra. A folyamat a következő: tegyük fel, hogy Sablon:Nowrap, és szeretnénk kiszámolni Sablon:Nowrap-et. Ahelyett, hogy közvetlenül számolnánk, a logaritmikus deriválttal számolunk:

$\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{u^{\prime }}{u}+\frac{v^{\prime }}{v}.$

ƒ-fel végigszorozva, lesz Sablon:Nowrap:

$f^{\prime }=f(\frac{u^{\prime }}{u}+\frac{v^{\prime }}{v}).$

Ez a technika akkor nagyon hasznos, a ƒ sok tényező szorzata. Ez a technika lehetővé teszi Sablon:Nowrap kiszámítását, minden egyes tényező logaritmikus deriváltjának összegezésével, és megszorozva ƒ-fel.

Példák

• Az exponenciális növekedés és az exponenciális csökkenés, mind olyan folyamatok, ahol a logaritmikus derivált konstans.
• Pénzügyi matematikában, a görög  λ a derivatív ár logaritmikus deriváltja.

Irodalom

• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Derivált
• Szorzatszabály
• Reciprokszabály
• Hányadosszabály
• Kitevőszabály
• Exponenciális növekedés
• Exponenciális csökkenés
• http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/logdiffdirectory/LogDiff.html
• http://ltcconline.net/greenl/courses/116/explog/logderivative.htm