Hányadosszabály

A matematikában a hányadosszabály egy módszer arra, hogyan lehet egy függvény deriváltját megtalálni, ahol a függvény két másik deriválható függvény hányadosa.

Ha az $f(x)$ differenciálandó függvény felírható

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

alakban, ahol $h(x)=0$,

akkor a szabály szerint a $g(x)/h(x)$ deriváltja:

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}.$

Még pontosabban, ha egy nyílt halmazban minden x tartalmaz egy a számot, mely kielégíti a $h(x)=0$ feltételt, továbbá $g^{\prime }(a)$ és $h^{\prime }(a)$ létezik, akkor $f^{\prime }(a)$ is létezik, és

$f^{\prime }(a)=\frac{h(a)g^{\prime }(a)-h^{\prime }(a)g(a)}{[h(a){]}^2}.$

Ez kiterjeszthető a második deriváltra is (ez bizonyítható ha kétszer vesszük a $f(x)=g(x)(h(x){)}^{-1}$ deriváltját).

Az eredmény:

$f^{″}(x)=\frac{g^{″}(x)[h(x){]}^2-2g^{\prime }(x)h(x)h^{\prime }(x)+g(x)[2[h^{\prime }(x)]-h(x)h^{″}(x)]}{[h(x){]}^4}.$

A hányadosszabály levezethető a szorzatszabályból, és a láncszabályból.

Példák

$(4x-2)/(x^2+1)$ deriváltja:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\left[\frac{(4x-2)}{x^2+1}\right]& =\frac{(x^2+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^2+1{)}^2}\\ & =\frac{(4x^2+4)-(8x^2-4x)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-4x^2+4x+4}{(x^2+1{)}^2}\end{array}$.

A fenti példában:

$g(x)=4x-2$

$h(x)=x^2+1$

Hasonlóképpen a sin(x)/x² deriváltja (ha x ≠ 0):

$\frac{\cos (x)x^2-\sin (x)2x}{x^4}$

Korlátok

A hányados-szabály nem használható olyan pontokban, ahol a számláló, vagy a nevező nem differenciálható. Az lehetséges, hogy a hányados differenciálható ezekben a pontokban:

Például, tekintsük a következő függvényt:

$f(x)=\frac{|x|+1}{|x|+1},$

ahol |x|, x abszolút értéke.

A függvény értéke természetesen f(x) = 1, úgyhogy mindenhol differenciálható, és f'(0) = 0. Ha megpróbáljuk a hányados-szabályt alkalmazni a f'(0)-ra, akkor egy definiálhatatlan érték jönne ki, mivel |x| nem differenciálható x = 0-nál.

Bizonyítás

Algebrai bizonyítás

A tétel algebrai bizonyítása

Láncszabály alkalmazása

Tekintsük az alábbi egyenletet:

$\frac{u}{v}=\frac{1}{4}[{(u+\frac{1}{v})}^2-{(u-\frac{1}{v})}^2]$

majd:

$\frac{d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}=\frac{d}{dx}\frac{1}{4}[{(u+\frac{1}{v})}^2-{(u-\frac{1}{v})}^2]$

ez vezet a következő egyenlőségre:

$\frac{d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}=\frac{1}{4}[2(u+\frac{1}{v})(\frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx})-2(u-\frac{1}{v})(\frac{du}{dx}+\frac{dv}{v^{2}dx})]$.

A szorzások elvégzése után:

$\frac{d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}=\frac{1}{4}[\frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^2}\frac{dv}{dx}]$

végül közös nevezőre hozva megkapjuk az eredményt:

$\frac{d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}=\frac{[v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}]}{v^2}$

Szorzatszabály alkalmazása

A szorzatszabály szorzatok (2 vagy több függvény szorzatánál) deriváltjának kiszámítására használható. Legyen $y=\frac{u}{v}$.

Kissé átírva:

$y=\frac{u}{v}=u{v}^{-1}.$ A szorzatszabályt és a láncszabályt használva a differenciáláshoz:

$\frac{dy}{dx}=u^{\prime }{v}^{-1}-v^{-2}u{v}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{v}-\frac{u{v}^{\prime }}{v^2}$

Megszorozva az első tört számlálóját és nevezőjét $v$-vel, kapjuk:

$\frac{dy}{dx}=\frac{v{u}^{\prime }}{v^2}-\frac{u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{v{u}^{\prime }-u{v}^{\prime }}{v^2}$,

ami a hányadosszabály.

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Lánc-szabály
• Szorzatszabály
• Derivált
• Reciprokszabály