Reziduumtétel

A reziduumtétel a komplex függvénytan legfontosabb tételeinek egyike. A Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálformula közös általánosítása. Eszközt ad egy tartományon az izolált szingularitásait kivéve holomorf függvény görbe menti integráljának kiszámításához, ha ismerjük továbbá a következőket: a függvény pólusokbeli reziduumai, a tartomány által tartalmazott lánc, és annak körülfordulási száma. Nemcsak elméleti jelentősége van, hanem valós integrálok kiszámításához is felhasználható.

A tétel kimondása

Ha $D\subseteq ℂ$ tartomány, $D_f$ véges sok izolált pont halmaza $D$-ben, és $f:D\setminus D_f\to ℂ$ holomorf, akkor minden nullhomológ $\mathrm{\Gamma }\subset D$ ahol még $\mathrm{trace}\mathrm{\Gamma }\cap D_f=\mathrm{\varnothing }$ és $\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{\Gamma }}$ a görbe körülfordulási száma:

$\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f=\sum _{a\in D_f}{\mathrm{ind}}_{\mathrm{\Gamma }}(a){\mathrm{Res}}_{a}f$

A jobb oldal mindig véges, mivel $\mathrm{\Gamma }$ nullhomológ, tehát $\mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }$ relatív kompakt $D$-ben, így korlátos.

• Ha a $D_f$-beli pontokban a szingularitások megszüntethetők, akkor itt a reziduumok eltűnnek, és visszakapjuk Cauchy integráltételét:

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f=0.$

• Ha $f$ holomorf $D$-ben és $z\in D$, és $\zeta \mapsto \frac{f(\zeta )}{\zeta -z}$-nak elsőrendű pólusa van $z$-ben$f(z)$ reziduummal, akkor visszakapjuk a Cauchy-integrálformulát:

$\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta ={\mathrm{ind}}_{\mathrm{\Gamma }}(z)f(z).$

A nullhelyeket és a pólusokat számoló integrál

Ha $f\equiv ̸0$ meromorf $D$-ben, és $N$ f nullhelyeinek, $P$ pólusainak halmaza, és $\mathrm{trace}\mathrm{\Gamma }\cap (N\cup P)=\mathrm{\varnothing }$, akkor a reziduumtétel felhasználásával kapjuk:

$\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f^{\prime }}{f}=\sum _{a\in N\cup P}{\mathrm{ind}}_{\mathrm{\Gamma }}(a){\mathrm{ord}}_{a}f$

ahol

${\mathrm{ord}}_{a}f:=\{\begin{array}{cc}k,& \text{ ha }f\text{-nek }a\text{-ban }k\text{-adrendű nullhelye van }\\ -k,& \text{ ha }f\text{-nek }a\text{-ban }k\text{-adrendű pólusa van}\\ 0,& \text{különben}\end{array}$

$f$ null-, illetve pólushelyeinek rendje $a$-ban. A logaritmikus derivált reziduumának számítási szabályával

${\mathrm{ord}}_{a}f={\mathrm{Res}}_a\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}$.

Alkalmazásai

A reziduumtétellel valós improprius integrálok is számíthatók. Ehhez az integrációs tartományt egyre bővebb véges valós intervallumokkal közelítik, és ezeket az intervallumokat zárt görbévé egészítik ki a komplex síkon. A görbét úgy konstruálják, hogy a valós szakaszokon kívül eső részeken a görbe menti integrál a nullához tartson. A módszer használható úgy is, hogy a komplex síkot egy végtelen ponttal egészítik ki. Az elméleti fizikában ezt a módszert a reziduumok módszerének nevezik.

Törtracionális függvények

Ha $f=\frac{p}{q}$ a $\mathrm{deg}p+2\le \mathrm{deg}q$ és a $q(z)\ne 0$ polinomok hányadosa minden $z\in ℝ$-re, akkor

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(z)\mathrm{d}z=2\pi \mathrm{i}\sum _{a\in ℍ}{\mathrm{Res}}_{a}f(z)$,

ahol $ℍ:=\{z\in ℂ:\mathrm{Im}z>0\}$ a felső félsík, és egy elég nagy $R\in ℝ$-re és $\alpha :[0,\pi ]\to ℂ$-val és $t\mapsto R{e}^{\mathrm{i}t}$-val kiegészítve integrálunk a $\mathrm{\Gamma }:=[-R,R]\oplus \alpha$ zárt félkörön, és tekintjük az $R\to \mathrm{\infty }$ határátmenetet. $\left|\frac{p(z)}{q(z)}\right|\le \frac{c_p|z{|}^{\mathrm{deg}p}}{c_q|z{|}^{\mathrm{deg}q}}\le \frac{c}{|z{|}^2}$ miatt egy elég nagy $|z|$-re és a $c,c_p,c_q\in ℝ$-re a görbe menti integrálokra vonatkozó becsléssel

$\left|\underset{\alpha }{\int }f\right|\le L(\alpha )\cdot \underset{\zeta \in \mathrm{im}\alpha }{\max }|f(\zeta )|\le \pi R\cdot \frac{c}{R^2}\to 0(R\to \mathrm{\infty })$, tehát $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f\to {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(z)\mathrm{d}z(R\to \mathrm{\infty })$ és a fenti becslés miatt az utóbbi integrál is létezik.

Példa: Legyen $f:ℂ\setminus \{\pm \mathrm{i}\}\to ℂ$, $z\mapsto \frac{1}{z^2+1}$ első rendű pólussal $\pm \mathrm{i}$-ben. Ekkor ${\mathrm{Res}}_{\mathrm{i}}f(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}}$, és így ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(z)\mathrm{d}z=2\pi \mathrm{i}\cdot \frac{1}{2\mathrm{i}}=\pi$.

Törtracionális függvények exponenciális függvénnyel

Legyenek $P$ és $Q$ polinomok úgy, hogy $deg(P)+1\le deg(Q)$, ne legyenek a $Q$ polinomnak valós gyökei, és jelölje a felső félsíkban levő gyökeit (pozitív képzetes rész) $a_1,\dots ,a_k$. Ekkor minden $\alpha >0$ esetén

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{P(x)}{Q(x)}\exp (i\alpha x)\mathrm{d}x=2\pi \mathrm{i}\sum _{i=1}^k{\mathrm{Res}}_{a_i}f(z)$

ahol $f(z):=\frac{P(z)}{Q(z)}\exp (i\alpha z)$. Most a $\mathrm{\Gamma }$ zárt út $-R$-től $R$-ig megy, majd egy félkörív zárja le az óramutató járásával ellentétes irányban. Most rögzítsünk egy $r>R$ pozitív valós számot, és a félkört burkoljuk az óramutató járásával ellentétes irányban bejárt $-r,r,r+ir,-r+ir$ téglalappal. A függőleges szakaszokat felosztjuk úgy, hogy az osztópontokban $Im(z)=\sqrt{r}$, és ezután külön kezeljük a felső és az alsó részt. A jobb egyenes alsó részén $\underset{r}{\overset{r+i\sqrt{r}}{\int }}f(z)dz\le C\frac{\sqrt{r}}{r}$, ami nullához tart; hasonlóan nullához tart a bal egyenes alsó részén. Az $Im(z)>\sqrt{r}$ esetben $|\exp (i\alpha z)|\le \exp (-\alpha \sqrt{r})$. Ez azt jelenti, hogy a téglalap teljes felső részén nullához tart, és a fenti állítás igaz.

Példa: Legyen $\frac{x\exp (2ix)}{x^2+1}$, ami megfelel az összes fenti követelménynek, mivel gyökei $\pm i$ alakúak. Eszerint:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\exp 2ix}{(x+i)(x-i)}\mathrm{d}x=2\pi \mathrm{i}{\mathrm{Res}}_{i}f(z)=i\pi \exp (-2)$

Törtracionális függvény nem egész termmel

Legyenek $P$ és $Q$ polinomok, továbbá $\mathrm{deg}Q>\mathrm{deg}P+\lambda$, ahol $\lambda \in {ℝ}^{+}\mathrm{\setminus }\mathbb{Z}$, és ne legyenek a $Q$ polinomnak gyökei ${ℝ}^{+}$-ben, valamint $P/Q$-nak nullában. Ekkor:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\lambda -1}\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{\sin (\lambda \pi )}\sum _{p\in ℂ\mathrm{\setminus }{ℝ}^{\mathbb{+}}}{\mathrm{Res}}_p(-z{)}^{\lambda -1}\frac{P(z)}{Q(z)}$

Példa: $f(x)=\frac{x^{3/2-1}}{x^2+1}$, ekkor $\lambda =3/2$, a függvény pólusa van a $\pm i$ helyeken, ezzel a további követelmények is teljesülnek. Ekkor ${\mathrm{Res}}_{\pm i}f(z)=\frac{(\mp i{)}^{1/2}}{\pm 2i}$, tehát

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}\mathrm{d}x=-\pi (\frac{\sqrt{-i}}{2i}+\frac{\sqrt{i}}{-2i})=\frac{\pi }{\sqrt{2}}$

Trigonometrikus függvények

Legyen $r=\frac{p}{q}$ két polinom hányadosa, ahol $q(x,y)\ne 0$ minden $x,y\in ℂ$-re, továbbá $x^2+y^2=1$. Ekkor

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}r(\cos t,\sin t)\mathrm{d}t\\ =& \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}r(\frac{e^{\mathrm{i}t}+e^{-\mathrm{i}t}}{2},\frac{e^{\mathrm{i}t}-e^{-\mathrm{i}t}}{2\mathrm{i}})\mathrm{d}t\\ =& \underset{\partial 𝔼}{\int }\frac{1}{\mathrm{i}z}\cdot r(\frac{z+\frac{1}{z}}{2},\frac{z-\frac{1}{z}}{2\mathrm{i}})\mathrm{d}z\\ =& 2\pi \sum _{a\in 𝔼}{\mathrm{Res}}_a(\frac{1}{z}\cdot r(\frac{z+\frac{1}{z}}{2},\frac{z-\frac{1}{z}}{2\mathrm{i}})),\end{array}$

ahol $𝔼:=\{z\in ℂ:|z|<1\}$ az egységkörlap. Ekkor az egységkör körülfordulási száma az egységkörlap belsejében 1, és a feltevés szerint nincsenek szingularitások az egységkörvonalon.

Példa: Teljesül

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{2+\sin t}=2\underset{\partial 𝔼}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{z^2+4\mathrm{i}z-1}=4\pi \mathrm{i}\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}$,

mivel $z\mapsto \frac{1}{z^2+4\mathrm{i}z-1}$-nek elsőrendű pólusa van $(-2\pm \sqrt{3})\mathrm{i}$-ben, de csak a $(-2+\sqrt{3})\mathrm{i}$-ben levő pólusa fekszik $𝔼$-ben, és ott $f$ reziduuma $\frac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}}$.

Fourier-transzformált

Adva legyen egy $f\in C^{\mathrm{\infty }}(ℝ)\cap L^1(ℝ)$ függvény, továbbá az $a_1,...a_k\in ℍ$ pontok, ahol $f\in 𝕆(\{z,\mathrm{Im}z>-\epsilon \}\cap \{a_1,...a_k\})$, és $\epsilon >0$. Ekkor van két $C,\delta >0$ szám, hogy $|f(z)|\le C{\left|z\right|}^{-1-\delta }$ elég nagy $\left|z\right|$-re, ekkor minden $x>0$-re

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(y)e^{\mathrm{i}xy}\mathrm{d}y=2\pi \mathrm{i}\sum _{a\in ℍ}{\mathrm{Res}}_a(f(z)e^{\mathrm{i}xz}).$

Ugyanez a forma hasonlóan teljesül $x<0$-ra. Ezzel a módszerrel bonyolult Fourier-integrálok számíthatók. A felső félsíkon az integrál eltűnik a Jordan-lemma miatt.

Bizonyítása

A tétel az általános Cauchy-tétel felhasználásával bizonyítható.

Legyenek a $C_j$ körök $z_j$ középpontú körök, és sugaruk legyen akkora, hogy diszjunktak maradjanak, és benne maradjanak a $D$ tartományban. Vegyük ezeket a köröket a $\gamma$ lánchoz, és nevezzük az így kapott láncot ${\gamma }_1$-nek! Az általános Cauchy-tétellel

$\underset{{\gamma }_1}{\int }f(z)\mathrm{d}z=\underset{\gamma }{\int }f(z)\mathrm{d}z-\sum _{j}n(\gamma ,z_j)\underset{C_j}{\int }f(z)\mathrm{d}z$

Az $f$ függvény reziduumának integrálos alakja:

$a_{-1}^{(j)}=\frac{1}{2\pi i}\underset{C_j}{\int }f(z)\mathrm{d}z$

Ezt behelyettesítve a bizonyítás kész.

Általánosítása

A reziduumtétel kompakt Riemann-felületekre is kiterjeszthető. Egy ilyen felületen értelmezett 1-forma reziduumainak összege nulla.

Következményként adódik Liouville második tétele az elliptikus függvényekről.

Források

• Halász Gábor: Bevezetés a komplex függvénytanba
• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, Sablon:ISBN, S. 229.
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, Sablon:ISBN, S. 145, Satz 4.1.
• A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel Kiadó: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, Sablon:ISBN Online