Körülfordulási szám

A körülfordulási szám, más néven index görbék topológiai invariánsa, ami a komplex analízisben is meghatározó.

Informálisan, a körülfordulási szám azt adja meg, hogy az adott görbe hányszor kerül meg egy adott pontot. A megkerülést előjelesen kell értelmezni, ahol az óramutató járásával ellentétes irány pozitív, az óramutató szerinti negatív.

Definíció

Komplex számsíkba ágyazott zárt görbe esetén a körülfordulási szám értelmezhető a következőképpen: Legyen $\gamma$ zárt görbe a $ℂ$ síkban, és $z_0$ komplex szám, ami nincs rajta a $\gamma$ görbén! Ekkor $\gamma$ $z_0$ körüli körülfordulási száma

${\mathrm{ind}}_{\gamma }(z_0)=n(\gamma ,z_0):=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\gamma }{\int }\frac{\mathrm{d}\zeta }{\zeta -z_0}\in \mathbb{Z}.$

A körülfordulási szám mindig egész, és értelmezhető topológiai eszközökkel is.

Körülfordulási szám = 1	Körülfordulási szám = -1	Körülfordulási szám = 0	Körülfordulási szám = 1	Körülfordulási szám = 2

Kiszámítása

Körülfordulási szám=2

Körülfordulási szám=0

Nem mindig alkalmazható az intuitív kiszámítási mód, hogy a pozitív forgásirányú körüljárások számából levonjuk a negatív forgásirányú körüljárások számát.

A képlet levezetéséhez tekintsük az egységkört!

$\gamma :[0,2\pi ]\to ℂ,t\mapsto e^{\mathrm{i}t}$

Jelölje $𝔼$ a körvonal belsejét! Ekkor intuitívan ${\mathrm{ind}}_{\gamma }(z)=1$ minden $z\in 𝔼$ és ${\mathrm{ind}}_{\gamma }(z)=0$ minden $z\in ℂ\setminus \overline{𝔼}$ komplex számra. Ez utóbbi a Cauchy-féle integráltétel és a definíció következménye. Most legyen

$f:𝔼\to ℂ,z\mapsto {\mathrm{ind}}_{\gamma }(z).$

Teljesül, hogy

${\mathrm{ind}}_{\gamma }(0)=f(0)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\gamma }{\int }\frac{\mathrm{d}\zeta }{\zeta }=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\mathrm{i}{e}^{\mathrm{i}t}}{e^{\mathrm{i}t}}\mathrm{d}t=1.$

A deriválás és az integrálás felcserélésével

$f^{\prime }(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\gamma }{\int }\frac{\mathrm{d}\zeta }{{(\zeta -z)}^2},$

és mivel az $\zeta \mapsto -\frac{1}{\zeta -z}$ az integrandus primitív függvénye, $f^{\prime }\equiv 0.$. Továbbá $𝔼$ összefüggősége miatt $f(z)={\mathrm{ind}}_{\gamma }(z)=1$ minden $z\in 𝔼$ esetén.

Alkalmazás a komplex analízisben

A körülfordulási számot legtöbbször görbe menti integrálok kiszámítására használják. Legyen

$f:ℂ\setminus \{a_1,\dots ,a_n\}\to ℂ$

meromorf, és szingularitásait jelölje $a_1,\dots ,a_n,$! Ekkor a reziduumtétel miatt $f$ integrálja egy, a szingularitásokat elkerülő $\gamma$ görbe menti integrálja

$\underset{\gamma }{\int }fdz=2\pi i\sum _{i=1}^n{\mathrm{ind}}_{\gamma }(a_i)Re{s}_{a_i}f$

Algoritmus

Az algoritmikus geometriában a körülfordulási számot arra használják, hogy eldöntsék, hogy egy pont egy nem egyszerű sokszögön belül van-e. Egyszerű sokszögek esetén az eljárás a páros-páratlan szabályra egyszerűsíthető.

Sokszögekre általános esetben a következő algoritmus alkalmazható:

1. Keresünk egy félegyenest, ami nem megy át a sokszög csúcsain.

2. Legyen $w=0.$

3. A félegyenes és a sokszögvonal összes metszéspontjára:

• Ha az elmetszett él jobbról balra van irányítva, azaz a pont az él bal oldalán van, akkor növeljük $w$-t eggyel.
• Ha az elmetszett él balról jobbra van irányítva, azaz a pont az él jobb oldalán van, akkor csökkentjük $w$-t eggyel.

4. Miután az összes elmetszett élt végignéztük, $w$ éppen a körülfordulási szám. Ha ez nulla, akkor a pont a sokszögön kívül van, különben belül.

Hasonlóan lehet nem egyenes szakaszokból álló zárt görbékre elvégezni a vizsgálatot, de ekkor nem adódik olyan triviálisan a metszéspontok vizsgálata.

Magasabb dimenziós sokaságokon

Magasabb dimenziós sokaságokra Nyikolaj Nyikolajevics Bogoljubov általánosította a körülfordulási számot. A Stokes-tétel alkalmazásával a $z_0=0$ pontra kapjuk, hogy

${\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\gamma }(0)=\frac{1}{n\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{(}\mathrm{B}\mathrm{)}}{\oint }_{\gamma }\frac{\overrightarrow{x}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}}{\Vert x{\Vert }^n}$

ahol $B$ egységgömb ${ℝ}^n$-ben, és $\gamma$ az $(n-1)$ dimenziós sokaság, amin integrálunk.

Források

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, Berlin, Sablon:ISBN