Geometriai eloszlás

A geometriai eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás független Bernoulli-kísérletek esetére. Két változata létezik:

A változat

A siker eléréséhez szükséges Bernoulli-kísérletek $X$ számának a valószínűségi eloszlása. Ez az eloszlás a $\{1,2,3,\dots \}$ halmazon értelmezett.

B változat

A siker előtti sikertelen kísérletek $Y$ számának az eloszlása. Ez az eloszlás a $\{0,1,2,\dots \}$ halmazon értelmezett.

A két változat összefüggése $X=Y+1$.

A geometriai eloszlás felhasználható:

• egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél például a készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása = a várakozási idő az első meghibásodásig
• a gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között; alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata, biztosítási matematika, adatátvitel hibaarányának meghatározása

Meghatározás

Egy kísérlet két lehetséges kimenetele közül egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöljük $p$ -vel. Ekkor az ellentett esemény valószínűsége $q=1-p$.

Akkor beszélünk geometriai eloszlásról, ha

A változat

annak a valószínűsége, hogy az első sikerhez pontosan $n$ kísérletre van szükség,

$\mathrm{P}(X=n)=p(1-p{)}^{n-1}=p{q}^{n-1}(n=1,2,\dots )$

B változat

annak a valószínűsége, hogy az első siker előtt pontosan $n$ sikertelen kísérlet legyen

$\mathrm{P}(Y=n)=p(1-p{)}^n=p{q}^n(n=0,1,2,\dots )$

A geometriai eloszlást jellemző számok

Várható értéke:

A változat:

$\mathrm{E}(X)=\frac{1}{p}$

B változat:

$\mathrm{E}(Y)=\mathrm{E}(X)-1=\frac{1-p}{p}$.

Szórása:

Mindkét változat szórása:

$𝐃(X)=\sqrt{\frac{1-p}{p^2}}$.

Ferdesége:

$\mathrm{v}(X)=\mathrm{v}(Y)=\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}$.

Lapultsága:

${\beta }_2=\frac{p^2-6p+6}{1-p}$.

Tulajdonságok

• A geometriai eloszlás örökifjú, azaz a várt esemény valószínűsége nem függ az addig eltelt várakozási időtől, és ez az egyetlen ilyen diszkrét eloszlás.

A változat:

$\mathrm{P}(X=n+k|X>n)=\mathrm{P}(X=k)n,k=1,2,\dots$

B változat:

$\mathrm{P}(Y=n+k|Y\ge n)=\mathrm{P}(Y=k)n,k=0,1,2,\dots$

• A geometrikus eloszlás nem stabil, vagyis, ha U, V geometriai eloszlású valószínűségi változók, akkor $\frac{U+V-a}{b}$ nem biztos, hogy újra geometrikus eloszlású lesz. A centrális határeloszlás-tétel miatt az egyetlen véges szórású stabil eloszláscsalád a normális eloszlások családja.
• Az $X_1,\dots ,X_k,$ független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege

$X=\sum _{i=1}^k{X}_i,$

amennyiben mindegyiknek ugyanaz a p a paramétere, negatív binomiális eloszlású.

• A geometriai eloszlások karakterisztikus függvényei:

A változat:

${\varphi }_X(s)=\frac{p{e}^{is}}{1-(1-p)e^{is}}$.

B változat:

${\varphi }_Y(s)=\frac{p}{1-(1-p)e^{is}}$.

• A geometriai eloszlások generátorfüggvényei:

A változat:

$m_X(s)=\frac{p{e}^s}{1-(1-p)e^s}$

B változat:

$m_Y(s)=\frac{p}{1-(1-p)e^s}$.

Kapcsolat más eloszlásokkal

Negatív binomiális eloszlás

A negatív binomiális eloszlás a geometrikus eloszlás általánosítása több sikeres kísérletre. Ezt kétféleképpen fogalmazzák be: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.

A geometrikus eloszlás éppen az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás.

Exponenciális eloszlás

Legyenek az $X_1,X_2,X_3\dots$ geometrikus valószínűségi változók paraméterei $p_1,p_2,p_3\dots$, és legyen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{p}_n=\lambda$ egy pozitív λ konstansra. Ekkor a $\frac{X_n}{n}$ sorozat tart egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változóhoz.

A folytonos exponenciális eloszlás a diszkrét geometriai eloszláshoz hasonlóan egy ritka, Poisson-eloszlású eseményre vár. Az exponenciális eloszlás így a geometriai eloszlás folytonos analógja.

Levezetések

A várható érték levezetése

A geometriai eloszlás várható értéke többféleképpen is kiszámítható:

• $\mathrm{E}(X)=p\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k(1-p{)}^{k-1}=p\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(1-p)}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^k=-p\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^k)=-p\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\left(\frac{1}{p}\right)=\frac{1}{p}$.

• $\mathrm{E}(X)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}kp(1-p{)}^{k-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+1)p(1-p{)}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}kp(1-p{)}^k+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}p(1-p{)}^{k-1}=(1-p)\mathrm{E}(X)+1\Rightarrow \mathrm{E}(X)=\frac{1}{p}$

ahol $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}p(1-p{)}^{k-1}=1$, mivel az eloszlásfüggvény $p(1-p{)}^{k-1}$.

• Az $\mathrm{E}(X)$ várható érték az örökifjú tulajdonság miatt esetszétválasztással is számítható. p valószínűséggel az első esemény sikeres lesz, ezzel X=1 valósul meg, különben X>1 lesz 1-p valószínűséggel. Az örökifjú tulajdonság miatt a szükséges kísérletek száma megint $\mathrm{E}(X)$. Ezzel :$\mathrm{E}(X)=p\cdot 1+(1-p)\cdot (1+\mathrm{E}(X))=1+(1-p)\cdot \mathrm{E}(X)$, tehát $\mathrm{E}(X)=\frac{1}{p}$.
• n kísérletből várhatóan $n\cdot p$ lesz sikeres. Így a két sikeres kísérlet közötti várakozási idő

$\frac{n}{n\cdot p}$, vagyis $\mathrm{E}(X)=\frac{1}{p}$.

A szórás levezetése

A szórás helyett célszerűbb a szórásnégyzettel számolni.

${\mathrm{\sigma }}^{\mathrm{2}}(X)$	$=E(X^2)-E(X{)}^2=p\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^2(1-p{)}^{k-1}-\frac{1}{p^2}$
	$=p\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k(k+1)(1-p{)}^{k-1}-p\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k(1-p{)}^{k-1}-\frac{1}{p^2}$
	$=p\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{p}^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^{k+1}+p\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^k-\frac{1}{p^2}$
	$=p\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{p}^2}(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^k\cdot (1-p{)}^2)+p\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^k\cdot (1-p))-\frac{1}{p^2}$
	$=p\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{p}^2}(\frac{1}{1-(1-p)}\cdot (1-p{)}^2)+p\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}(\frac{1}{1-(1-p)}\cdot (1-p))-\frac{1}{p^2}$
	$=p\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{p}^2}\left(\frac{(1-p{)}^2}{p}\right)+p\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\left(\frac{1-p}{p}\right)-\frac{1}{p^2}$
	$=p\cdot \frac{2}{p^3}-p\cdot \frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{2}{p^2}-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}$.

Források

• A geometriai eloszlás a MathWorldön
• A geometriai eloszlás a PlanetMathen
• Geometriai eloszlás kalkulátor