Exponenciális eloszlás

Az X valószínűségi változó λ paraméterű exponenciális eloszlást követ – vagy rövidebben exponenciális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}& ,x\ge 0,\\ 0& ,x<0.\end{array}$

ahol λ > 0.

Az exponenciális eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

$F(x)=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\lambda x}& ,x\ge 0,\\ 0& ,x<0.\end{array}$

Karakterisztikus függvénye

$\phi (t)={(1-\frac{it}{\lambda })}^{-1}$

Az exponenciális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$𝐄(X)=\frac{1}{\lambda }$

Szórása

$𝐃(X)=\frac{1}{\lambda }$

Momentumai

$𝐄(X^k)=\frac{k!}{{\lambda }^k}$

Ferdesége

${\beta }_1(X)=2$

Lapultsága

${\beta }_2(X)=6$

Exponenciális eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

• Exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege Γ-eloszlású. Pontosabban ha X₁, X₂, … X_n független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X₁ + X₂ + … + X_n n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.
• Az exponenciális eloszlás rendelkezik az örökifjú tulajdonsággal, vagyis tetszőleges $x$ és $\mathrm{\Delta }x>0$ esetén teljesül, hogy:

$P(X\ge x+\mathrm{\Delta }x|X\ge x)=P(X\ge \mathrm{\Delta }x)$

Megjegyzés

Van, hogy exponenciális eloszlás alatt a valószínűségi eloszlások egy szélesebb csoportját értik. Ilyenkor bármilyen a ∈ R értékre X + a -t is exponenciális eloszlásúnak definiálják, ahol X egy, a fenti értelemben vett exponenciális eloszlású valószínűségi változó. (Lényegében a valós számmal való eltolásra nézve zárttá teszik az exponenciális eloszlások halmazát.)

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.