Karakterisztikus függvény (valószínűségszámítás)

A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez, illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív, a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.

Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.

Definíció

Legyen $\mu$ véges mérték $(ℝ,ℬ(ℝ))$-en. Ekkor $\mu$ karakterisztikus függvénye egy

${\phi }_{\mu }:ℝ\to ℂ$

komplex értékű függvény:

${\phi }_{\mu }(t):=\underset{ℝ}{\int }\exp (\mathrm{i}tx)\mathrm{d}\mu (x)$

Ha $\mu =P$, akkor ugyanez a definíció érvényes. Ha $X$ valószínűségi változó, és eloszlása $P_X$, akkor karakterisztikus függvénye

${\phi }_X(t)=\mathrm{E}(\exp (\mathrm{i}tX))$.

Speciális esetek:

• Ha $P_X$-nek van sűrűségfüggvénye a Riemann-integrál szerint és sűrűségfüggvénye $f_X(x)$, akkor

${\phi }_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X(x)\exp (\mathrm{i}tx)\mathrm{d}x$.

• Ha $P_X$-nek van valószínűségi függvénye, és valószínűségi függvénye $p_X$, akkor

${\phi }_X(t)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\exp (\mathrm{i}t{x}_k)p_X(x_k)$.

Elemi példák

Ha $X$ Poisson-eloszlású, akkor $P_X$ valószínűségi függvénye

$p_{\lambda }(k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }\text{ha}k\in \mathbb{N}$.

A valószínűségi függvényt használó kifejezéssel

${\phi }_X(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\exp (\mathrm{i}tk)\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }={\mathrm{e}}^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(\lambda e^{it}\right)}^k}{k!}={\mathrm{e}}^{\lambda (e^{it}-1)}$

Ha $Y$ $\lambda$ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, $P_Y$ valószínűségi függvénye

$f_{\lambda }(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$

Ezzel

${\phi }_Y(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\mathrm{i}tx}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x=\lambda \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{x(\mathrm{i}t-\lambda )}\mathrm{d}x=\frac{\lambda }{\lambda -\mathrm{i}t}$

További példák majd táblázatban lesznek megadva.

Tulajdonságai

Egy (–1,1) szakaszon folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvénye a sinc függvény. Mivel ez az eloszlás szimmetrikus, azért karakterisztikus függvénye valós értékű. Nem szimmetrikus eloszlások esetén nem ez a helyzet.

Létezés

Minden véges mértéknek, így minden valószínűségi mértéknek és eloszlásnak van karakterisztikus függvénye. Az integrál mindig konvergens, mivel

$\left|e^{\mathrm{i}tx}\right|=1$.

Korlátosság

A karakterisztikus függvény mindig korlátos, teljesül, hogy

$|{\phi }_X(t)|\le {\phi }_X(0)=1$.

Szimmetria

A ${\phi }_X$ karakterisztikus függvény pontosan akkor valós, ha $X$ eloszlása szimmetrikus, különben hermitikus, azaz

${\phi }_X(-t)=\overline{{\phi }_X(t)}$.

Folytonosság

A karakterisztikus függvények egyenletesen folytonosak.

Jellemzése

Érdekes kérdés, hogy mely függvények lehetnek karakterisztikus függvények. Pólya tétele elégséges kritériumokat ad: Legyen az $f:ℝ\to ℂ$ függvény olyan, hogy:

• $f:ℝ\to [0,1]$
• konvex az $[0,\mathrm{\infty })$ félegyenesen, továbbá
• folytonos páros függvény,
• $f(0)=1$

Ekkor van valószínűségi mérték, aminek $f$ karakterisztikus függvénye.

Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos :$f:ℝ\to ℂ$ függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha $f$ pozitív szemidefinit és $f(0)=1$.

Kapcsolatok más függvényekkel

Lineáris transzformáció

${\phi }_{aX+b}(t)=e^{\mathrm{i}tb}{\phi }_X(at)$   minden valós $a,b\in ℝ.$ számra.

Sűrűségfüggvény

Ha ${\phi }_X$ integrálható, akkor $X$ sűrűségfüggvénye rekonstruálható, mint

$f_X(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\mathrm{i}tx}{\phi }_X(t)\mathrm{d}t.$

Momentumok

$\mathrm{E}(X^k)=\frac{{\phi }_X^{(k)}(0)}{{\mathrm{i}}^k}$   minden $k\in \mathbb{N}$ természetes számra, ha $\mathrm{E}(|X{|}^k)<\mathrm{\infty }$.

Speciálisan

$\mathrm{E}(X)=\frac{{{\phi }_X}^{\prime }(0)}{\mathrm{i}},$

$\mathrm{E}(X^2)=-{{\phi }_X}^{″}(0).$

Ha egy $n\in \mathbb{N}$ esetén az $\mathrm{E}(|X{|}^n)$ várható érték véges, akkor ${\phi }_X$ $n$-szer folytonosan differenciálható, és $0$ körül Taylor-sorba fehthető:

${\phi }_X(t)=\sum _{k=0}^n\frac{{\phi }_X^{(k)}(0)}{k!}{t}^k+R_{n+1}(t)=\sum _{k=0}^n\frac{(\mathrm{i}t{)}^k}{k!}\mathrm{E}(X^k)+R_{n+1}(t).$

Speciálisan, ha $\mathrm{E}(X)=0$ és $\mathrm{Var}(X)=1$:

${\phi }_X(t)=1-\frac{1}{2}{t}^2+R_3(t)\text{ahol}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to 0}\frac{R_3(t)}{t^2}=0.$

Sűrűségfüggvények konvolúciója

Ha $X_1$ és $X_2$ független valószínűségi változók, akkor $Y=X_1+X_2$ karakterisztikus függvénye

${\phi }_Y(t)={\phi }_{X_1}(t){\phi }_{X_2}(t),$

mivel a függetlenség miatt

${\phi }_Y(t)=\mathrm{E}\left(e^{\mathrm{i}t(X_1+X_2)}\right)=\mathrm{E}\left(e^{\mathrm{i}t{X}_1}{e}^{\mathrm{i}t{X}_2}\right)=\mathrm{E}\left(e^{\mathrm{i}t{X}_1}\right)\mathrm{E}\left(e^{\mathrm{i}t{X}_2}\right)={\phi }_{X_1}(t){\phi }_{X_2}(t).$

Ugyanolyan eloszlású, független valószínűségi változók

Legyenek $(X_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ független valószínűségi változók ugyanabból az eloszlásból, és $N$ szintén valószínűségi változó, aminek értékei ${\mathbb{N}}_0$-ból kerülnek ki, és minden $X_i$-től független, ekkor

$S:=\sum _{i=1}^N{X}_i$

az $N$ $m_N(t)$ valószínűséggeneráló függvényéből és $X_1$ karakterisztikus függvényéből számítható:

${\phi }_S(t)=m_N({\phi }_{X_1}(t))$.

Egyértelműség

Ha $X$, $Y$ valószínűségi változók, és ${\phi }_X(t)={\phi }_Y(t)$ minden $t\in ℝ$-re, akkor $X\stackrel{d}{=}Y$, azaz $X$ és $Y$ ugyanolyan eloszlású. Ezzel egyes eloszlások konvolúciója könnyebben meghatározható.

Ebből lehet következtetni Lévy folytonossági tételére: Az $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ valószínűségi változók sorozata pontosan akkor konvergens eloszlásban, ha $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{\phi }_{X_n}(t)={\phi }_X(t)$ minden $t\in ℝ$ esetén. Ezt a centrális határeloszlás tételéhez lehet felhasználni.

Példák

Eloszlás	${\phi }_X(t)$ karakterisztikus függvény
Diszkrét eloszlások
Binomiális eloszlás $X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$	${\phi }_X(t)={(p{e}^{\mathrm{i}t}+1-p)}^n$
Poisson-eloszlás $X\sim \mathrm{Poi}(\lambda )$	${\phi }_X(t)=e^{\lambda (e^{\mathrm{i}t}-1)}$
Negatív binomiális eloszlás $X\sim \mathrm{NegBin}(r,p)$	${\phi }_X(t)={\left(\frac{1-p{e}^{\mathrm{i}t}}{1-p}\right)}^{-r}$
Abszolút folytonos eloszlások
$X\sim N(0,1)$ Standard normális eloszlás	${\phi }_X(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}$
$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ Normális eloszlás	${\phi }_X(t)=e^{\mathrm{i}t\mu }{e}^{-\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}}$
$X\sim U(a,b)$ Folytonos egyenletes eloszlás	${\phi }_X(t)=\frac{e^{\mathrm{i}bt}-e^{\mathrm{i}at}}{\mathrm{i}(b-a)t}$
$X\sim C(0,1)$ Standard Cauchy-eloszlás	${\phi }_X(t)=e^{-|t|}$
$X\sim G(p,b)$ Gamma-eloszlás	${\phi }_X(t)={\left(\frac{b}{b-\mathrm{i}t}\right)}^p$

Általánosabb definíciók

Valószínűségi vektorváltozók

Valószínűségi vektorváltozókra is definiálható a karakterisztikus függvény. Legyen $𝐗=(X_1,\dots ,X_{\ell })$ $\ell$ dimenziós valószínűségi vektorváltozó. Ekkor

${\phi }_{𝐗}(t)={\phi }_{𝐗}(t_1,\dots ,t_l)=\mathrm{E}(e^{i⟨t,𝐗⟩})=\mathrm{E}\left(\prod _{j=1}^{\ell }{e}^{i{t}_j{X}_j}\right)$

az $𝐗=(X_1,\dots ,X_{\ell })$ karakterisztikus függvénye, ahol $⟨t,𝐗⟩=\sum _{j=1}^{\ell }{t}_j{X}_j$ a skaláris szorzás.

Tetszőleges mértékek

Tetszőleges mértékek esetén kompakt tartójú, korlátos, mérhető, valós értékű függvényekre értelmezhető a karakterisztikus függvény, mint

${\phi }_X(f)=\mathrm{E}(\exp (i\int f\mathrm{d}X))$

ahol $X$ a mérték. A mérték egyértelmű, az összes ilyen függvény karakterisztikus függvénye meghatározza.

Kapcsolat más generátorfüggvényekkel

A valószínűségszámítás további fontos generátorfüggvényei a valószínűséggeneráló függvény és a momentumgeneráló függvény.

Egy ${\mathbb{N}}_0$ értékű $X$ valószínűségi változó karakterisztikus függvénye $m_X(t)=\mathrm{E}(t^X)$. Emiatt $m_X(e^{it})={\phi }_X(t)$.

Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye $M_X(t):=\mathrm{E}(e^{tX})$. Eszerint, ha létezik a momentumgeneráló függvény, akkor $M_{iX}(t)=M_X(it)={\phi }_X(t)$. A karakterisztikus függvénnyel szemben ez nem mindig teljesül.

A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle származtatják a kumulánsokat.

Források

• Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), Sablon:ISBN
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, Sablon:ISBN