Örökifjú tulajdonság

Az örökifjú tulajdonság egy valószínűségszámításban használt fogalom.

A X valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú (vagy röviden örökifjú), ha minden $a\ge 0$ és $b\ge 0$ számra teljesül, hogy

$P(X>a+b\mid X>a)=P(X>b)$ vagy $P(X\ge a+b\mid X\ge a)=P(X\ge b)$. (A kettő megkülönböztetésének folytonos valószínűségi változóknál nincs jelentősége.)

Szemléletesen, ha például a valószínűségi változó egy eszköz élettartama, akkor az örökifjú tulajdonság azt jelenti, hogy a valamilyen életkorú eszköz ugyanakkora eséllyel nem romlik el még t ideig, amekkora eséllyel nem romolna el t ideig, ha új lenne.

Példák

Folytonos valószínűségi változó

Az exponenciális eloszlású valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú.

Bizonyítás:

Mivel $P(X<x)=1-e^{-\lambda x}$ minden $x\ge 0$ számra, ezért $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ minden $x\ge 0$ számra, és így

$P(X>a+b\mid X>a)=\frac{P(X>a+b\cap X>a)}{P(X>a)}=\frac{P(X>a+b)}{P(X>a)}=\frac{e^{-\lambda (a+b)}}{e^{-\lambda a}}=e^{-\lambda b}=P(X>b)$.

Megmutatható, hogy csak az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságú a folytonos eloszlások közül, vagyis ha egy folytonos valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú, akkor exponenciális eloszlást követ.

Diszkrét valószínűségi változó

A geometriai eloszlás is örökifjú tulajdonságú.

Ha $P(X=n)=p(1-p{)}^n$, abban az esetben $P(X\ge n)=(1-p{)}^n$, ugyanis

$P(X\ge n)=\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}p(1-p{)}^i=(1-p{)}^n\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}p(1-p{)}^i=(1-p{)}^n\frac{p}{1-(1-p)}=(1-p{)}^n$.

Ezért

$P(X\ge a+b\mid X\ge a)=\frac{P(X\ge a+b\cap X\ge a)}{P(X\ge a)}=\frac{P(X\ge a+b)}{P(X\ge a)}=\frac{(1-p{)}^{a+b}}{(1-p{)}^a}=(1-p{)}^b=P(X\ge b)$.

Ha pedig $P(X=n)=p(1-p{)}^{n-1}$, abban az esetben $P(X>n)=\sum _{i=n+1}^{\mathrm{\infty }}p(1-p{)}^{i-1}=\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}p(1-p{)}^i=(1-p{)}^n$, a fentihez hasonlóan. Ebből következően

$P(X>a+b\mid X>a)=\frac{P(X>a+b\cap X>a)}{P(X>a)}=\frac{P(X>a+b)}{P(X>a)}=\frac{(1-p{)}^{a+b}}{(1-p{)}^a}=(1-p{)}^b=P(X>b)$.

A diszkrét eloszlások közül a geometriai az egyetlen örökifjú tulajdonságú.

Források

• http://math.bme.hu/~morap/Gyakorlat7.pdf
• http://www.renyi.hu/~major/szeged/szeged1/eloadas8.pdf
• http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/GeometricF.pdf