Körosztási test

A körosztási testek a matematikában, azon belül az algebrai számelméletben a racionális számok testének egy egységgyökkel való bővítéseként előálló testek, azaz a $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ testek, ahol ${\zeta }_n$ egy primitív n-edik egységgyök. A körosztási testek a körosztási polinomok felbontási testeként állnak elő. Számos tulajdonságuk, például a diszkrimináns vagy az elágazási viselkedés explicit módszerekkel meghatározható.

A $\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$ bővítés Galois, és a Galois-csoport izomorf a $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$csoporttal, speciálisan Abel-csoport. Ennek az állításnak a megfordítása is igaz: ez a Kronecker–Weber-tétel, ami kimondja, hogy a racionális számok bármely véges Galois-bővítése beágyazható egy körosztási testbe, ha a Galois-csoport Abel. Emiatt a körosztási testek a számtestek elméletének alapvető építőköveiként szolgálnak.

A körosztási testek vizsgálata vezetett az Ivaszava Kenkicsi által elindított Iwasawa-elmélet megalkotásához: ebben az egyes körosztási testek külön-külön való tanulmányozása helyett a $\mathbb{Q}({\zeta }_{p^n})$ testeket egyidejűleg vizsgálják, ahol p egy rögzített prímszám, és n végigfut a pozitív egész számok halmazán.

Az ötödik egységgyökök a komplex számsíkon

A körosztási test elnevezés onnan ered, hogy a testet generáló n-edik egységgyökök a komplex számsíkon az egységkörön egy szabályos n-szög csúcsaiban helyezkednek el, így az egységkört n azonos hosszúságú ívre osztják. Szigorúan véve az előbbi állításnak csak úgy van értelme, ha rögzítünk egy $\mathbb{Q}({\zeta }_n)\hookrightarrow ℂ$ (nem kanonikus) beágyazást.

Tulajdonságok

Legyen p egy prímszám és n egy pozitív egész. A $\mathbb{Q}({\zeta }_{p^n})$ körosztási test diszkriminánsaSablon:Refhely

$d_{\mathbb{Q}({\zeta }_{p^n})}=\{\begin{array}{c}-p^{p^{n-1}(pn-n-1)}\text{ ha }p\equiv 3mod4\text{ vagy }{p}^n=4\\ +p^{p^{n-1}(pn-n-1)}\text{ egyébként }\end{array}$

Ha p és q különböző prímszámok, akkor a $\mathbb{Q}({\zeta }_{p^n})$ és $\mathbb{Q}({\zeta }_{q^m})$ testek diszjunktak $\mathbb{Q}$ fölött.Sablon:Refhely A két test kompozituma a $\mathbb{Q}({\zeta }_{p^n{q}^m})$ test, és a diszkrimináns a diszkriminánsok szorzata. A fentiek következménye a következő általános formula: ha n egy pozitív egész, akkor

$d_{\mathbb{Q}({\zeta }_n)}=(-1{)}^{\phi (n)/2}\frac{n^{\phi (n)}}{\prod _{p\mid n}{p}^{\phi (n)/(p-1)}}$,

ahol $\phi (n)$ az Euler-féle fí-függvény, a szorzat pedig végigfut az n összes prímosztóján.Sablon:Refhely Mivel egy testbővítésben pontosan azok a prímek ágaznak el, amik osztják a relatív diszkriminánst, ebből következik, hogy a $\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$ bővítésben pontosan az n-et osztó prímek ágaznak el.Sablon:Refhely

Minden körosztási test CM-test, azaz teljesen imaginárius másodfokú bővítése egy teljesen valós testnek. Valóban, a $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ test maximális teljesen valós részteste $\mathbb{Q}({\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1})$. A $\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}({\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1})$ bővítés elágazik minden archimédeszi helyen, és ha n a p prímszám egy hatványa, akkor a p fölötti nemarkhimédeszi helyeken is; minden más prím nem elágazó.Sablon:Refhely

A $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ test egészeinek gyűrűje $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$.Sablon:Refhely A $\mathbb{Q}({\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1})$ maximális teljesen valós résztest egészeinek gyűrűje $\mathbb{Z}[{\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1}]$.Sablon:Refhely

Források

• Sablon:Hely Sablon:CitLib
• Sablon:Hely Sablon:CitLib