Harmonikus analízis

Innen: testwiki
A lap korábbi változatát látod, amilyen imported>Bean49Bot 2025. január 26., 18:34-kor történt szerkesztése után volt. (Bot: Láthatatlan {{wd}} sablonok törölve)
(eltér) ← Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A harmonikus analízis a matematikának egy olyan ága, amely egy függvény és annak frekvenciában való megjelenítése közötti összefüggések vizsgálatával, egyszerű függvények szuperpozíciójával történő előállíthatóságának kérdéseivel foglalkozik. A matematikának e területe a francia matematikus és fizikus, Jean-Baptiste Joseph Fourier által bizonyos fizikai jelenségek értelmezése során vizsgált trigonometrikus sorokkalSablon:WD[1] kapcsolatosan alakult ki. A huszadik század elején Riesz Frigyes, Fejér Lipót és Haar Alfréd magyar matematikusokat is foglalkoztatta a téma kutatása. A frekvencia-reprezentációt a Fourier-transzformáció segítségével találjuk meg a korlátlan tartományokon, például a teljes valós számegyenesen, vagy a Fourier-sorozatok segítségével a korlátos tartományokon, különösen a véges intervallumokon elhelyezkedő periodikus függvényekSablon:WD[2] esetében. Ezen transzformációk más tartományokra való általánosítását általában Fourier-analízisnek nevezik, bár ezt a kifejezést néha felcserélhetően használják a harmonikus analízissel. A harmonikus analízis hatalmas témává vált, és olyan változatos területeken alkalmazzák, mint a számelmélet, az ábrázoláselméletSablon:WD[3], a jelfeldolgozásSablon:WD, a kvantummechanika, az árapályelemzés és az idegtudomány.

Lord Kelvin harmonikus elemzője 1876, Hunterian MuseumSablon:WD, Glasgow

A "harmónia"Sablon:WD kifejezés az ógörög harmonikos szóból származik, ami azt jelenti, hogy "zenében jártas".[4] A fizikai sajátérték-problémákban olyan hullámokat kezdett jelenteni, amelyek frekvenciái egymás egész számú többszörösei, akárcsak a hangjegyek harmonikusainak frekvenciái, de a kifejezést az eredeti jelentésén túl általánosították.

Klasszikus harmonikus analízis

Történelmileg a harmonikus függvények a Laplace-egyenletSablon:WD megoldásai voltak,[5] ezt a fogalmat először speciális függvényekre,[6][7] majd általános elliptikus operátorokraSablon:WD[8][9] terjesztették ki, napjainkban pedig a harmonikus függvényeket a periodikus függvények általánosításának tekintik[10] a sokaságon meghatározott függvénytereken, például általános, nem feltétlenül elliptikus parciális differenciálegyenletekSablon:WD[11] megoldásaként, beleértve bizonyos peremfeltételeket, amelyek szimmetriát vagy periodicitástSablon:WD[12] eredményezhetnek.[13]

Fourier-analízis

A klasszikus Fourier-transzformáció az Rn-n még mindig folyamatban lévő kutatási terület, különös tekintettel az általánosabb objektumok Fourier-transzformációjára, mint például a temperált eloszlásokra. Például, ha bizonyos követelményeket támasztunk egy f eloszlásra, megpróbálhatjuk ezeket a követelményeket lefordítani f Fourier-transzformációjával. A Paley–Wiener-tétel egy példa erre. A Paley–Wiener-tételSablon:WD[14] azonnal azt jelenti, hogy ha f a kompakt támogatás nullától eltérő eloszlása (ezek közé tartoznak a kompakt támogatásSablon:WD[15] függvényei), akkor a Fourier-transzformációja soha nem támogatott kompaktan (vagyis ha egy jel korlátozott az egyik tartományban, akkor korlátlan a másikban). Ez a bizonytalansági elv nagyon elemi formája harmonikus elemzési környezetben. A Fourier-sorok kényelmesen tanulmányozhatók a Hilbert-terek kontextusában, amely kapcsolatot teremt a harmonikus analízis és a funkcionálanalízis között. A Fourier-transzformációnak négy változata létezik, a transzformáció által leképezett terektől függően:

Absztrakt harmonikus analízis

Az absztrakt harmonikus analízis elsősorban azzal foglalkozik, hogy a valós vagy komplex értékű függvények (gyakran nagyon általános tartományokon) hogyan tanulmányozhatók szimmetriák, például transzlációk vagy rotációk segítségével (például a Fourier-transzformáción és rokonain keresztül); ez a terület természetesen rokon a valós változós harmonikus analízissel, de szellemiségében talán közelebb áll az ábrázoláselmélethezSablon:WD[18] és a funkcionálanalízishez.[13]

A harmonikus analízis egyik legmodernebb ága, melynek gyökerei a XX. század közepére nyúlnak vissza, a topológiai csoportokSablon:WD[19] analíziséhez. Az alapvető motivációs ötletek a különféle Fourier-transzformációk, amelyek általánosíthatók HausdorffSablon:WD lokálisan kompaktSablon:WD[20] topológiai csoportokon meghatározott függvények transzformációjára.[21]

Az abeli lokálisan kompakt[20] csoportokra vonatkozó elméletet PontrjaginSablon:WD[22] kettősségnekSablon:WD nevezik.[23]

A harmonikus analízis ennek a kettősségnek és a Fourier-transzformációnak a tulajdonságait vizsgálja, és megpróbálja kiterjeszteni ezeket a jellemzőket különböző beállításokra, például a nem Abel-féleSablon:WD Lie-csoportok esetére.[24]

Az általános nem-abeli lokálisan kompakt csoportok esetében a harmonikus elemzés szorosan kapcsolódik az egységes csoportreprezentációk elméletéhez. Kompakt csoportokSablon:WD[25] esetében a Peter–Weyl-tételSablon:WD[26] megmagyarázza, hogyan kaphatunk harmonikusokat, ha minden reprezentáció ekvivalenciaosztályából választunk egy irreducibilis reprezentációtSablon:WD.[27] A felharmonikusoknak ez a megválasztása élvezi a klasszikus Fourier-transzformáció néhány hasznos tulajdonságát a konvolúciók pontszerű szorzatokba való átvitelében, vagy más módon az alapul szolgáló csoportstruktúraSablon:WD bizonyos megértésében. Lásd még: Nem kommutatív harmonikus elemzésSablon:WD.[28]

Ha a csoport sem nem Abel-féle, sem nem kompakt, akkor jelenleg nem ismert általános kielégítő elmélet (a „kielégítő” legalább olyan erős, mint a Plancherel-tételSablon:WD[29]). Sok konkrét esetet azonban elemeztek, például az SLn-t. Ebben az esetben a végtelen dimenziójú reprezentációkSablon:WD[30] döntő szerepet játszanak.

Alkalmazott harmonikus analízis

Basszusgitár időjel, nyitott húrú A hang (55 Hz)
A nyílt húrú A hang basszusgitár időjelének Fourier transzformációja (55 Hz)[31]

A harmonikus analízis számos tudományos és mérnöki alkalmazása abból az elképzelésből vagy hipotézisből indul ki, hogy egy jelenség vagy jel egyedi oszcillációs komponensek összegéből áll. Az óceán árapálya és a vibráló húrok gyakori és egyszerű példák. Az elméleti megközelítés gyakran az, hogy a rendszert differenciálegyenlettel vagy egyenletrendszerrel próbálják leírni, hogy megjósolják a lényeges jellemzőket, beleértve az oszcilláló komponensek amplitúdóját, frekvenciáját és fázisait. A konkrét egyenletek a területtől függenek, de az elméletek általában olyan egyenleteket próbálnak kiválasztani, amelyek az alkalmazható fő elveket képviselik.

A kísérleti megközelítés általában a jelenséget pontosan számszerűsítő adatok beszerzése. Például az árapályok tanulmányozása során a kísérletvezető mintákat vett a vízmélységről az idő függvényében, elég szoros időközönként ahhoz, hogy lássa az egyes oszcillációkat, és elég hosszú ideig ahhoz, hogy valószínűleg több oszcillációs periódus is beletartozzon. A rezgő húrokon végzett vizsgálat során gyakori, hogy a kísérletező a várt legmagasabb frekvencia legalább kétszeresével és a legalacsonyabb frekvencia várható periódusának sokszorosával mintavételezett hanghullámot kap.

Például a jobb oldali felső képen lévő jel egy basszusgitár hanghulláma, amely egy A hangnak megfelelő nyitott húron játszik 55 Hz-es alapfrekvenciával. A hullámforma oszcillálónak tűnik, de összetettebb, mint egy egyszerű szinuszhullám, ami további hullámok jelenlétét jelzi. A hanghoz hozzájáruló különböző hullámösszetevők feltárhatók a Fourier-transzformáció néven ismert matematikai elemzési technika alkalmazásával, melynek eredményét az alsó ábra mutatja. Vegye figyelembe, hogy van egy kiemelkedő csúcs 55 Hz-en, de vannak más csúcsok is 110 Hz-en, 165 Hz-en és más frekvenciákon, amelyek az 55 Hz egész számú többszöröseinek felelnek meg. Ebben az esetben az 55 Hz-et a húrrezgés alapfrekvenciájaként azonosítjuk, az egész többszöröseket pedig harmonikusoknakSablon:WD[32] nevezzük.

Egyéb ágak

Jegyzetek

Sablon:Jegyzetek

Lásd még

Fourier-analízis

Bibliográfia

Fordítás

Sablon:Portál

  1. ↑ A matematikában a 'trigonometrikus sorozat' egy végtelen sorozat
    12A0+∑n=1∞Ancos⁡nx+Bnsin⁡nx,
    alakú trigonometrikus polinomSablon:WD végtelen változata.
  2. ↑ A periodikus függvény olyan függvény, amely szabályos időközönként megismétli az értékeit. Például a trigonometrikus függvények, amelyek 2π Radián időközönként ismétlődnek, periodikus függvények. A periódusos függvényeket az egész tudományban használják az oszcillációk, hullámok és egyéb periodicitást mutató jelenségek leírására.
  3. ↑ Az ábrázoláselmélet a matematikának egy olyan ága, amely az absztrakt algebrai struktúrákatSablon:WD tanulmányozza úgy, hogy elemeiket vektorterek lineáris transzformációjaként ábrázolja, és modulusokat vizsgál ezeken az absztrakt algebrai struktúrákon.
  4. ↑ "harmonic". Online Etymology Dictionary.
  5. ↑ https://www.math.ru.nl/~burtscher/lecturenotes/2021PDEnotes.pdf
  6. ↑ A speciális függvények olyan különleges matematikai függvények, amelyeknek a matematikai analízisben, funkcionálanalízisben, geometriában, fizikában vagy más alkalmazásokban betöltött jelentőségük miatt többé-kevésbé bevett nevük és jelölésükSablon:WD van.
  7. ↑ Sablon:Cite book
  8. ↑ A parciális differenciálegyenletek elméletében az elliptikus operátorok olyan differenciáloperátorokSablon:WD, amelyek általánosítják a Laplace-operátort.
  9. ↑ Lásd még Atiyah-Singer index-tételSablon:WD
  10. ↑ Sablon:Cite web
  11. ↑ A másodrendű lineáris parciális differenciálegyenleteket elliptikusSablon:WD, hiperbolikusSablon:WD vagy parabolikusSablon:WD egyenletekbe sorolják.
  12. ↑ A periodicitás, ciklus vagy ismétlődés általában egy dolog vagy folyamat azon tulajdonságára utal, amely egy adott esemény bekövetkezése tekintetében rendszerességet mutat.
  13. ↑ 13,0 13,1 https://www.math.ucla.edu/~tao/247a.1.06f/notes0.pdf
  14. ↑ A matematikában a Paley–Wiener-tétel bármely olyan tétel, amely összefüggésbe hozza egy függvény vagy eloszlás végtelenben lévő bomlási tulajdonságait a Fourier-transzformációjának analitikusságával. A tétel Raymond PaleySablon:WD (1907–1933) és Norbert Wiener (1894–1964) nevét viseli.
  15. ↑ Az X Topologikus téren kompakt támogatású függvények azok, amelyek zárt támogatása X kompakt részhalmaza. X. Ha X a valós egyenes vagy n-dimenziós euklideszi tér, akkor egy függvénynek akkor és csak akkor van kompakt támogatása, ha korlátos, mivel az ℝn részhalmaza kompakt, ha és csak akkor, ha zárt és korlátos.
  16. ↑ A matematikában a diszkrét Fourier-transzformáció egy függvény egyenlő távolságú mintáinakSablon:WD véges sorozatát alakítja át a diszkrét idejű Fourier-transzformációSablon:WD egyenlő távolságú mintáinak azonos hosszúságú sorozatává, amely a frekvencia komplex értékű függvénye.
  17. ↑ A matematikában a diszkrét idejű Fourier-transzformáció, amelyet véges Fourier-transzformációnakSablon:WD is neveznek, a Fourier-analízis egyik formája, amely értéksorozatra alkalmazható.
  18. ↑ A reprezentációelmélet a matematikának egy olyan ága, amely absztrakt algebrai struktúrákatSablon:WD tanulmányoz úgy, hogy azok elemeit vektortér lineáris transzformációiként ábrázolja, és modulusokat vizsgál ezen absztrakt algebrai struktúrák felett.
  19. ↑ A topológiai csoportok logikailag csoportok és topológiai terek kombinációja, azaz egyszerre csoportok és topológiai terek, így a csoportműveletek folytonossági feltétele összekapcsolja ezt a két struktúrát, következésképpen nem függetlenek egymástól.
  20. ↑ 20,0 20,1 A matematikában a lokálisan kompakt csoport egy G topológiai csoportSablon:WD, amelynél az alapul szolgáló topológia lokálisan kompaktSablon:WD és Hausdorff. A lokálisan kompakt csoportok azért fontosak, mert a matematikában előforduló csoportok sok példája lokálisan kompakt, és ezeknek a csoportoknak van egy természetes mértéke, amelyet Haar-mértéknekSablon:WD neveznek. Ez lehetővé teszi a Borel-mértékSablon:WD függvény integrálok meghatározását G-n, így általánosíthatóak a szabványos elemzési fogalmak, mint például a Fourier-transzformáció és az Lp terekSablon:WD.
  21. ↑ Sablon:Cite book
  22. ↑ Lev Szemjonovics Pontrjagin (1908. szeptember 3. - 1988. május 3.) szovjet matematikus. A Fourier-transzformációk absztrakt elméletével foglalkozott, valamint bevezette a Pontrjagin osztályokSablon:WD fogalmát a topológiában.
  23. ↑ A matematikában a Pontryagin-dualitás a lokálisan kompakt Abel-csoportokSablon:WD kettősségeSablon:WD, amely lehetővé teszi a Fourier-transzformáció általánosítását az összes ilyen csoportra, beleértve a körcsoportotSablon:WD (egy modulusú komplex számok multiplikatív csoportja), a véges Abel-csoportokat (diszkrét topológiával), és az egész számok additív csoportjaSablon:WD (szintén diszkrét topológiávalSablon:WD), a valós számok és minden véges dimenziós vektortér a valós értékek vagy egy [[p-adikus számok|Sablon:Mvar-adikus]] mező felett.
  24. ↑ Sablon:Cite book
  25. ↑ A matematikában a kompakt (topológiai) csoport olyan topológiai csoportSablon:WD, amelynek a topológiája kompakt topológiai térként valósítja meg.
  26. ↑ A Peter–Weyl tétel a harmonikus analízis elméletének alapvetõ eredménye, amely kompakt, de nem feltétlenül Abel-féle topológiai csoportokra vonatkozik. Eredetileg Hermann Weyl és tanítványa, Fritz PeterSablon:WD bizonyította be egy kompakt G topológiai csoport beállításában (Peter & Weyl 1927).
  27. ↑ A matematikában, különösen a csoportok és algebrákSablon:WD reprezentációelméletébenSablon:WD, egy algebrai struktúraSablon:WD irreducibilis reprezentációja (ρ,V) vagy irrepje A egy nem nulla reprezentáció, amelynek nincs megfelelő nemtriviális részreprezentációja (ρ|W,W), ahol W⊂V részhalmaz zárva van a {ρ(a):a∈A} csoporthatásra.
  28. ↑ A matematikában a nem kommutatív harmonikus elemzés az a terület, ahol a Fourier-analízis eredményeit kiterjesztik a nem kommutatív topológiai csoportokraSablon:WD.
  29. ↑ A Plancherel-tétel (néha ParsevalSablon:WD–Plancherel azonosságnak nevezik) a harmonikus analízis eredménye, amelyet Michel PlancherelSablon:WD 1910-ben bizonyított. Kimondja, hogy egy függvény négyzetes modulusának integrálja egyenlő a frekvenciaspektruma négyzetes modulusának integráljával.
  30. ↑ A reprezentációelméletSablon:WD matematikai területén a csoportreprezentációk absztrakt csoportokat írnak le a vektortér önmaga bijektív lineáris transzformációi (vagyis vektortér automorfizmusok) szempontjából; különösen használhatók csoportelemek invertálható mátrixként való ábrázolására, így a csoportművelet mátrixszorzássalSablon:WD ábrázolható.
  31. ↑ Sablon:Cite web
  32. ↑ A harmonikus olyan hullám, amelynek frekvenciája az alapfrekvencia, az eredeti periodikus jel frekvenciájának pozitív egész számú többszöröse, például szinuszos hullám.
  33. ↑ A matematikai analízisban egy tartomány (domén) vagy régió egy nem üres összefüggőSablon:WD nyílt halmaz egy topológiai térben, különösen az Sablon:Math valós koordinátatérSablon:WD vagy a Sablon:Math komplex koordinátatérSablon:WD bármely nem üres összekapcsolt nyitott részhalmaza. A koordinátatér összekapcsolt nyílt részhalmazát gyakran használják egy függvény tartományáraSablon:WD, de általában a függvények olyan halmazokon is definiálhatók, amelyek nem topológiai terek.
  34. ↑ A matematikában a sokaság egy topológiai tér, amely lokálisan hasonlít az euklideszi térre az egyes pontok közelében. Pontosabban, egy n-dimenziós sokaság, vagy röviden n-sokaság, egy topológiai tér azzal a tulajdonsággal, hogy minden pontnak van egy szomszédsága, amely homeomorf az n-dimenziós euklideszi tér nyitott részhalmazával.
  35. ↑ A dob alakját hallani annyit tesz, mint a dobfej alakjára vonatkozó információkat a kibocsátott hangból, azaz a felhangok listájából következtetni matematikai elmélet segítségével.
  36. ↑ Sablon:Cite book
  37. ↑ A gömbharmonikusok a gömb felületén meghatározott speciális függvények.
  38. ↑ Komplex analízisben a Hardy-terek (vagy Hardy-osztályok) Hp holomorf függvények bizonyos tereiSablon:WD az egységkorongonSablon:WD vagy a felső félsíkonSablon:WD. Riesz Frigyes vezette be és G. H. Hardyról nevezte el őket. A valós analízisben a Hardy-terek a valós egyenes eloszlásának bizonyos terei, amelyek (eloszlások értelmében) a komplex Hardy-terek holomorf függvényeinek határértékei, és a funkcionálanalízis Lp-tereihezSablon:WD kapcsolódnak. 1 ≤ p < ∞ esetén ezek a valódi Hp Hardy-terek Lp bizonyos részhalmazai, míg p < 1 esetén az Lp-terek nemkívánatos tulajdonságokkal rendelkeznek, és a Hardy-terek sokkal jobban viselkednek.
  39. ↑ A harmonikus analízisben és a számelméletben az automorf forma egy jól viselkedő függvény egy G topológiai csoporttól a komplex számokig (vagy komplex vektortérig), amely invariáns a topológiai csoport Γ⊂G diszkrét alcsoportjának hatására.
  40. ↑ Az ábrázoláselméletben és az algebrai számelméletben a Langlands-program a számelmélet és a geometria közötti kapcsolatokra vonatkozó messzemenő és következetes feltevések hálózata.
  41. ↑ Számos tudományterületen egy rendszer szabadságfoka a rendszer azon paramétereinek száma, amelyek egymástól függetlenül változhatnak.
  42. ↑ Sablon:Cite book
A lap eredeti címe: „https://hu.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Harmonikus_analízis&oldid=4238”