Lineáris differenciálegyenlet

A közönséges lineáris differenciálegyenlet és a közönséges lineáris differenciálegyenlet-rendszer a közönséges differenciálegyenletek fontos osztálya.

Definíció

Adva legyen az $I\subset ℝ$ intervallum, a rajta értelmezett $f:I\times ({ℝ}^m{)}^n\to {ℝ}^m$ és $g:I\to {ℝ}^m$ valós értékű függvény. Ekkor az

$y^{(n)}=f(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})+g(x)$

egyenlet, ahol $x\in I,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)}\in {ℝ}^m$, n-edrendű, m egyenlőséget tartalmazó (közönséges) lineáris differenciálegyenlet-rendszer, ha minden rögzített $x\in I$-re az

$({ℝ}^m{)}^n\to {ℝ}^m,(a_0,\dots ,a_{n-1})\mapsto f(x,a_0,\dots ,a_{n-1})$

leképezés lineáris.

Ha m=1, akkor (közönséges) lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Homogén, ha g(x) azonosan nulla, egyébként inhomogén.

A következőkben f(x)-et és g(x)-et folytonosnak tételezzük fel. Ekkor a $y:I\to {ℝ}^m$ n-szer differenciálható függvény az egyenletrendszer megoldása, ha

$y^{(n)}(x)=f(x,y(x),\dots ,y^{(n-1)}(x))+g(x)$

teljesül minden $x\in I$-re. Ha $f$ nem függ az első változótól, akkor az egyenletrendszer állandó együtthatós.

Speciális esetei

Fontos speciális esetei:

• az m egyenletből álló elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszer:

$y^{\prime }=A(x)y+b(x),$

ahol $A:I\to {ℝ}^{m\times m}$ és $b:I\to {ℝ}^m$ folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenletrendszer

$y^{\prime }=A(x)y.$

• az n-edrendű lineáris differenciálegyenlet:

$\sum _{i=0}^n{a}_i(x)y^{(i)}=b(x),$

ahol $a_i,b:I\to ℝ$ folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenlet

$\sum _{i=0}^n{a}_i(x)y^{(i)}=0.$

Ide tartoznak a további példák:

• Airy-féle differenciálegyenlet: $y^{″}-\lambda xy=0$.
• Bessel-féle differenciálegyenlet: $x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-n^2)y=0,n\in ℝ$.
• Csebisev-féle differenciálegyenlet: $(1-x^2)y^{″}-x{y}^{\prime }+n^{2}y=0$.
• Euler-féle differenciálegyenlet: $\sum _{i=0}^n{b}_i(cx+d{)}^i{y}^{(i)}(x)=0$.
• Hermite-féle differenciálegyenlet: $y^{″}-2x{y}^{\prime }+2ny=0,n\in \mathbb{Z}$.
• hipergeometrikus differenciálegyenlet: $x(x-1)y^{″}+((\alpha +\beta +1)x-\gamma )y^{\prime }+\alpha \beta y=0,\alpha ,\beta ,\gamma \in ℝ$.
• Laguerre-féle differenciálegyenlet: $x{y}^{″}+(1-x)y^{\prime }+ny=0,n\in {\mathbb{N}}_0$.
• Legendre-féle differenciálegyenlet: $(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+n(n+1)y=0$.

Globális létezés és egyértelműség

Jelöljünk ki egy tetszőles $x_0\in I$ és egy $y_0,\dots ,y_{n-1}\in {ℝ}^m$ pontot. Kezdetiérték-feladatnak nevezzük azt a feladatot, ami a differenciálegyenlet egy olyan megoldását keresi, ami átmegy ezen a ponton.

Az

$\{\begin{array}{c}{y}^{(n)}=f(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})+g(x)\\ y^{(i)}(x_0)=y_i,i=0,\dots ,n-1\end{array}$ kezdetiérték-feladatnak létezik egy, és csakis egy $y:I\to {ℝ}^m$ megoldása a Picard–Lindelöf-tételek szerint.

A megoldások struktúrája

Homogén rendszerek

A homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásai vektorteret alkotnak. Ez azt jelenti, hogy két megoldás lineáris kombinációja szintén megoldás. Az n-edrendű homogén lineáris differenciálegyenlet és az n egyenletből álló elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásainak vektortere n dimenziós. A megoldások vektorterének tetszőleges bázisát alaprendszernek nevezzük. Egy alaprendszert oszlopokként mátrixba téve kapjuk a Vronszkij-determinánst.

Inhomogén rendszerek

Az inhomogén rendszerhez tartozó homogén rendszer egy alaprendszerének és az inhomogén rendszer egy y_p megoldásnak ismeretében az inhomogén rendszer összes megoldása kifejezhető:

$\{y=y_h+y_p|y_h$ a homogén rendszer megoldása $\}$

Ezt az y_p megoldást partikuláris megoldásnak nevezzük.

Ha már megvan az alaprendszer, akkor tehát elég egy partikuláris megoldást találni. Egy általános módszer a konstans variációja, de speciális esetekben más módszerekkel hamarabb célt érünk. A megoldások hatványsor alakjában is kereshetők.

A megoldást megkönnyítheti egy alkalmasan választott transzformáció. Ha például ismert az inhomogén tag Laplace-transzformáltja, akkor abból meg lehet kapni a megoldás Laplace-transzformáltját. Ebből inverz transzformációval visszakapható az inhomogén rendszer partikuláris megoldása.

Ha az elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer állandó együtthatós, akkor az egyenletrendszer alaprendszere megkapható a mátrix exponenciálisával, ami a Jordan-normálalakkal számítható.

Periodikus rendszerek

Legyen ω az $A:ℝ\to {ℝ}^{m\times m}$ együtthatómátrix és a $b:ℝ\to {ℝ}^m$ tag közös periódusa. Keressük az $y^{\prime }=A(x)y+b(x)$ rendszer ω szerint periodikus megoldását. Általában nem tudunk explicit alaprendszert konstruálni, de struktúráját ismerjük Floquet tételéből:

Az $y^{\prime }(x)=A(x)y(x)$ rendszer Φ alaprendszere $\mathrm{\Phi }(x)=P(x)\exp (xR)$ alakú, ahol $P:ℝ\to GL(m;ℂ)$ folytonosan differenciálható, és ω szerint periodikus, és a $R\in {ℂ}^{m\times m}$ mátrix konstans.

Már csak az a kérdés, hogy léteznek-e ω szerint periodikus megoldások. Jelölje $L_{\omega }:=\{y\in C^1(ℝ;{ℝ}^m)|y^{\prime }(x)=A(x)y(x)\text{und}y\omega \text{-periodisch}\}$ a homogén egyenlet ω szerint periodikus megoldásainak halmazát!

Ha Φ a homogén $y^{\prime }=A(x)y$ rendszer alaprendszere, akkor $\mathrm{\Phi }(\omega )\mathrm{\Phi }(0{)}^{-1}$ sajátértékei a homogén rendszer karakterisztikus multiplikátorai. A karakterisztikus multiplikátorok nem függnek az alaprendszer választásától. Egy tétel szerint a homogén $y^{\prime }=A(x)y$ rendszernek akkor és csak akkor vannak nem triviális ω szerint periodikus megoldásai, ha 1 karakterisztikus multiplikátora a homogén rendszernek.

Inhomogén esetben tekintjük a $y^{\prime }=-A(x{)}^{T}y$ egyenlet ω szerint periodikus megoldásait:

$L_{\omega }^{\star }:=\{y\in C^1(ℝ;{ℝ}^m)|y^{\prime }(x)=-A(x{)}^{T}y(x)\text{und}y\omega \text{-periodisch}\}.$

Ekkor a $y^{\prime }=A(x)y+b(x)$ rendszernek akkor és csak akkor van ω szerint periodikus nem triviális megoldása, ha $\underset{0}{\overset{\omega }{\int }}⟨y(s),b(s)⟩\mathrm{d}s=0$ teljesül minden $y\in L_{\omega }^{\star }$-ra.

Belátható, hogy $\dim L_{\omega }=\dim L_{\omega }^{\star }$. A $y^{\prime }=A(x)y+b(x)$ rendszernek tehát minden b-re van ω szerint periodikus megoldása, függetlenül $y^{\prime }=A(x)y$ karakterisztikus multiplikátoraitól.

Források

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin/New York 1995, Sablon:ISBN.
• Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag 2006, Sablon:ISBN.

Kapcsolódó szócikk

• George William Hill