Forgómozgás

A szimmetriatengelye körül forgó gömb

A forgás olyan mozgás, amikor a test minden pontja egy körpályán mozog a testhez rögzített egyenes körül, amelyet a test forgástengelyének nevezünk. Ha tér helyett csak síkban vagyunk, akkor egy pont körül történik a forgás, ezt hívjuk a forgás középpontjának.

Leírása

Sablon:Fő A forgás sebességét a szögsebesség (mértékegysége: rad/s) segítségével adhatjuk meg. Az egységnyi ismétlődést a frekvencia (mértékegysége: 1 (ismétlődés)/s, 1 (ismétlődés)/min) vagy a periódusidő (mértékegysége: másodperc, nap…) jellemzi. A periódusidő megmutatja, hogy mennyi idő alatt játszódik le egy mozgásszakasz ismétlődése. Nemzetközileg a nagy T a jele. A frekvencia a periódusidő reciproka: azt a mennyiséget, amely megmutatja az egységnyi idő alatt bekövetkező ismétlődő mozgásszakaszok számát, frekvenciának nevezzük. Jele a kis f.

A szögsebesség vektor magába foglalja a forgástengely és a forgás irányát is a forgás nagysága mellett. A jobbkéz-szabály szerint az óramutató járásával ellenkező forgáshoz a megfigyelő felé mutató vektort rendelünk, az ellentétes forgáshoz pedig ellentéteset.

A szögsebesség változási gyorsasága a szöggyorsulás (2π/s²), amely forgatónyomaték hatására jön létre. A kettő hányadosát – azt, hogy milyen nehéz elindítani, megállítani vagy másképpen megváltoztatni a forgást – a tehetetlenségi nyomaték jellemzi (mértékegysége: m²kg). Jele a θ.

Merev test forgásegyenlete

Merev test rögzített tengely körüli forgásánál az impulzusnyomaték a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzata (perdülettétel), ezért a perdület időbeli deriváltja a következő alakban is felírható:

$M=\frac{dN}{dt}=\frac{d(\theta \cdot \omega )}{dt}=\theta \frac{d\omega }{dt}=\theta \cdot \beta$

ahol $\beta$ a test forgásához tartozó szöggyorsulás. Ezt forgásegyenletnek is szokás nevezni.

Ha a forgatónyomaték állandó, akkor a szöggyorsulás is állandó:

$\frac{d^2\phi }{d{t}^2}=\frac{M}{\theta }\equiv \beta =const.$

Az ilyen mozgást gyorsuló forgásnak nevezzük. Ha t=0 időpillanatban a szögsebesség is és a szög is zérus, akkor a szögelfordulás függvénye:

$\phi =\frac{1}{2}\beta t^2=\frac{1}{2}\frac{M}{\theta }{t}^2$

Ha a forgatónyomatékok eredője zérus, akkor a szöggyorsulás is zérus, azaz a merev test állandó szögsebességgel forog:$M=0\to \beta =\frac{d\omega }{dt}=0\to \omega =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}$$\phi =\omega t$

Forgó merev test kinetikai energiája

$E_{kin}=\frac{1}{2}\theta {\omega }^2$

Ezt a mennyiséget forgási energiának nevezzük.

A tehetetlenségi nyomaték

A rögzített tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:

$\theta =\underset{V}{\int }\rho l^{2}dV=\sum _i{m}_i{l}_i^2$

Néhány jellegzetesebb alakú homogén test tehetetlenségi nyomatéka

Test	Tengely	$\theta$
Körhenger	szimmetriatengely	$\frac{1}{2}m{R}^2$
	erre merőleges tengely	$\frac{1}{4}m{R}^2+\frac{1}{12}m{h}^2$
Üres körhenger	szimmetriatengely	$\frac{1}{2}m(R_1^2+R_2^2)$
Derékszögű egyenes hasáb	éllel párhuzamos tengely	$\frac{1}{12}m(a^2+b^2)$
Kocka	súlyponttengely	$\frac{1}{6}m{a}^2$
Gömb	súlyponttengely	$\frac{2}{5}m{R}^2$
Gömbhéj	súlyponttengely	$\frac{2}{3}m{R}^2$
Ellipszoid	c tengely	$\frac{1}{5}m(a^2+b^2)$
Egyenes körkúp	szimmetriatengely	$\frac{3}{10}m{R}^2$

Megfeleltetés a haladó és forgó mozgások között

	haladó		forgó
út	$x$	koordináta	$\phi$	szögelfordulás
sebesség	$v=\frac{dx}{dt}$		$\omega =\frac{d\phi }{dt}$	szögsebesség
gyorsulás	$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$		$\beta =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\phi }{d{t}^2}$	szöggyorsulás
tömeg	$m$		$\theta =\sum _i{m}_i{l}_i^2$	tehetetlenségi nyomaték
erő	$F$		$M$	forgatónyomaték
	$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=F$	mozgásegyenlet	$\theta \frac{d^2\phi }{d{t}^2}=M$
impulzus	$p=mv$		$N=\theta \omega$	impulzusnyomaték
impulzustétel	$\frac{dp}{dt}=F$		$\frac{dN}{dt}=M$	impulzusmomentum-tétel
erőlökés	$\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}Fdt$		$\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}Mdt$	forgólökés
	$\mathrm{\Delta }W=F\mathrm{\Delta }x$	elemi munka	$\mathrm{\Delta }W=M\mathrm{\Delta }\phi$
	$P=Fv$	teljesítmény	$P=M\omega$
	$E_{kin}=\frac{1}{2}m{v}^2$	kinetikai energia	$E_{kin}=\frac{1}{2}\theta {\omega }^2$
lineáris erőtörvény	$F=-Dx$		$M=-D^{*}\phi$	lineáris forgatónyomaték-törvény
	$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}$	lengésidő	$T=2\pi \sqrt{\frac{\theta }{D}*}$

Csillagászat

A csillagászat területén a forgás gyakori mozgásforma. A csillagok, a bolygók és hasonló égitestek forognak a saját tengelyük körül. A forgó rendszerből nézve ez centrifugális gyorsulást okoz, amely némileg módosítja a gravitáció hatását; mennél közelebb vagyunk az egyenlítőhöz és mennél gyorsabb a forgás, annál jobban. Ennek egyik következménye, hogy az egyenlítőn lévő testek súlya kisebb (kevésbé nyomják az alátámasztást), mintha nem forogna az égitest, a másik, hogy a nagyobb forgó égitestek nem szabályos gömb alakot vesznek fel, hanem lapultat.

Egy másik következménye a forgásnak a precesszió. Ahogy a pörgettyű esetén is, ha rá külső erőhatás (pontosabban forgatónyomaték) hat, akkor a pörgettyű tengelye egy kúpfelületet ír le. Ilyen hatással a Földre elsősorban a Nap és a Hold van.