Tehetetlenségi nyomaték

Fájl:25. Ротационен стол.ogv A tehetetlenségi nyomaték (SI egysége a kg×m²), a tömeggel analóg mennyiség forgómozgásnál. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensége. Szokásos jelölése $I$, $J$ vagy $\mathrm{\Theta }$.

Áttekintés

Egy merev test tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengely körül azt adja meg, hogy „mennyire nehéz” megváltoztatni a szögsebességét a tengely körül.

Analógia: A tehetetlenségi nyomaték egy forgást végző testnél ugyanazt jelenti, amit egy egyenes vonalon haladó testnél a tömeg jelent. Mégpedig azt, hogy mekkora energiát tárol adott test, adott mozgásállapotával. A tárolt energia és a tehetetlenségi nyomaték(vagy analógia esetében a tömeg) egyenes arányosságban áll egymással.

Szemléltetésként vegyünk egy A és egy B tárcsát, melyek tömege egyenlő. Az A tárcsa sugara legyen nagyobb, mint B sugara. Feltételezve, hogy a tárcsák anyaga homogén és vastagságuk azonos, nehezebb felgyorsítani (azaz a szögsebességét növelni) az A tárcsát, mivel tömege átlagosan távolabb van a tengelytől. Azt mondjuk, hogy A tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint B tehetetlenségi nyomatéka.

A tehetetlenségi nyomatéknak két alakja van, az egyiket, az $I$ skaláris alakot akkor használjuk, ha az $\widehat{𝐧}$ forgás tengelyét ismerjük, a másik, általánosabb $𝐈$ tenzor alakjához nem kell ismernünk a forgástengelyt. A skalár tehetetlenségi nyomatékot gyakran egyszerűen „tehetetlenségi nyomatéknak” nevezik. Nem szabad összetéveszteni a tehetetlenségi nyomatékot a (síkidomok) másodrendű nyomatékával, melyet azonos módon $I$-vel jelölnek. A legegyszerűbben a mértékegységek alapján lehet őket egymástól megkülönböztetni.

Hasonlóképpen a tehetetlenségi nyomatékot nem szabad összekeverni a poláris másodrendű nyomatékkal, mely egy rúd csavarással szembeni ellenállásának mértéke.

Definíció

Egy tengely körül forgó tömegpont skalár tehetetlenségi nyomatékát az

$I=m{r}^2$

definiálja, ahol

$m$ a tömege és

$r$ a forgástengelytől mért távolsága

A tehetetlenségi nyomaték additív, így egy $N$ darab $m_i$ tömegű, a forgástengelytől egyenként $r_i$ sugáron elhelyezett tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével

$I=\sum _{i=1}^N{m}_i{r}_i^2$

Folytonos $\rho$ sűrűségű merev test ismert forgástengelyre vett tehetetlenségi nyomatékát a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékának integrálásával számíthatjuk ki:

$I=\underset{V}{\int }{r}^2(m)dm=\underset{V}{\iiint }{r}^2(v)\rho (v)dv=\underset{V}{\iiint }{r}^2(x,y,z)\rho (x,y,z)dxdydz$

ahol

$V$ a test térfogata,

$r$ a forgástengelytől mért távolság,

$m$ a tömeg,

$v$ a térfogat,

$\rho$ a test pontszerű sűrűségének függvénye és

$x$, $y$, $z$ a derékszögű koordináták.

Közelítő képletek

Egyes nem pontszerű testek tehetetlenségi nyomatékát közelíteni lehet a következő egyszerű képlettel:

$I\approx k\cdot M\cdot R^2$

ahol

$k$ a testre jellemző tényező,

$M$ a test tömege és

$R$ a test sugara a forgástengelytől mérve.

A $k$ tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az $R$ sugár pedig a test legtávolabbi pontjának távolsága a forgástengelytől. Például:

• $k=1$ – vékony gyűrű vagy vékony falú henger geometriai tengelye körül forgatva
• $k=2/5$ – tömör gömb geometriai tengelye körül forgatva

Más nem pontszerű testeknél a képlet:

$I\approx k\cdot M\cdot L^2$

ahol

$k$ a testre jellemző tényező,

$M$ a test tömege és

$L$ a test átmérője.

A $k$ tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az $L$ átmérő pedig a test két legtávolabbi pontjának távolsága. Például:

• $k=1/12$ – vékony rúd a súlypontján átmenő, a hosszára merőleges tengely körül forgatva
• $k=1/3$ – vékony rúd egyik végpontján átmenő tengely körül forgatva

Ezek alapján néhány homogén test tehetetlenségi nyomatéka

Test	Tengely	$\theta$
Körhenger	szimmetriatengely	$\frac{1}{2}m{R}^2$
	erre merőleges tengely	$\frac{1}{4}m{R}^2+\frac{1}{12}m{h}^2$
Üres körhenger	szimmetriatengely	$\frac{1}{2}m(R_1^2-R_2^2)$
Derékszögű egyenes hasáb	a c éllel párhuzamos tengely	$\frac{1}{12}m(a^2+b^2)$
Kocka	súlyponttengely	$\frac{1}{6}m{a}^2$
Gömb	súlyponttengely	$\frac{2}{5}m{R}^2$
Gömbhéj	súlyponttengely	$\frac{2}{3}m{R}^2$
Ellipszoid	c tengely	$\frac{1}{5}m(a^2+b^2)$
Egyenes körkúp	szimmetriatengely	$\frac{3}{10}m{R}^2$

Párhuzamos tengelyek tétele

Ha a tehetetlenségi nyomaték egy, a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozólag ismert, akkor ezzel párhuzamos tengelyre könnyen kiszámítható. Ha az új tengely $R$ távolságra van a tömegközépponton átmenő tengelytől (például egy tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a palástjára illeszkedő tengely körül), az erre számított tehetetlenségi nyomaték:

$I_{\mathrm{1}}=I_{\mathrm{s}}+M{R}^2$

ahol

$M$ a merev test tömege,

$I_1$ az új tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték,

$I_s$ a tömegközépponton áthaladó tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték és

$R$ a tengely távolsága a tömegközépponton átmenő tengelytől.

Ezt a tételt Steiner-tételnek, vagy az angolszász irodalomban Huygens-Steiner-tételnek is nevezik.

Mozgási energia

A rendszer mozgási energiáját a tehetetlenségével lehet kifejezni. $N$ számú, egyenként $m_i$ tömeggel rendelkező, $v_i$ sebességű pont $E_k$ mozgási energiája egyenlő:

$E_k=\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2$

Egy merev testre, mely $\omega$ szögsebességgel forog, a sebességek így írhatók:

$v_i=\omega r_i$ (omega dimenziója: rad/sec)

ahol ismét $r_i$ a tömegpont tengelytől mért távolsága. Ezzel a mozgási energia így írható:

$E_k=\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}{m}_i{\omega }^2{r}_i^2=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

És végül a végképletre írható:

$E_k=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

Impulzusmomentum és nyomaték

Egy tömegpontokból álló rendszer $𝐋$ impulzusmomentumát a $p_i$ impulzusából és a tömegpontnak a forgástengelytől számított $r_i$ távolságából a következőképpen lehet kiszámítani:

$𝐋=\sum _{i=1}^N{𝐫}_i\times {𝐩}_i=\sum _{i=1}^N{m}_i{𝐫}_i\times {𝐯}_i$

Az $\widehat{𝐧}$ egységvektorral jellemzett forgástengely körül $\omega$ szögsebességgel forgó merev test tetszőleges pontjának ${𝐯}_i$ sebességvektorára írható a következő vektoriális szorzat:

${𝐯}_i=\omega \widehat{𝐧}\times {𝐫}_i\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\mathit{\omega }\times {𝐫}_i$

ahol

a szögsebességvektor $\mathit{\omega }=\omega \widehat{𝐧}$ és

${𝐫}_i$ a forgástengelyt a tömegponttal összekötő legrövidebb vektor.

Behelyettesítve a ${𝐯}_i$ összefüggését az $𝐋$ definíciójába:

$𝐋=\sum _{i=1}^N{m}_i{𝐫}_i\times (\mathit{\omega }\times {𝐫}_i)=\mathit{\omega }\sum _{i=1}^N{m}_i{r}_i^2=I\omega \widehat{𝐧}$

ahol felhasználtuk azt, hogy az ${𝐫}_i$ vektorok merőlegesek a forgástengelyre (például egy lendkeréknél): $\mathit{\omega }\cdot {𝐫}_i=0$.

Az $𝐍$ nyomaték az $𝐋$ impulzusmomentum változási sebessége:

$𝐍=\frac{d𝐋}{dt}$

Ha az $I$ tehetetlenségi nyomaték állandó (vagy azért, mert a fő tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek vagy azért, mert a nyomaték az $\widehat{𝐧}$ forgástengely körül forgatja a testet és így $\mathrm{I}$ nem változik), írható:

$𝐍=I\frac{d\omega }{dt}\widehat{𝐧}=I\alpha \widehat{𝐧}$

ahol

$\alpha$ az úgynevezett szöggyorsulás az $\widehat{𝐧}$ tengely körül.

Megjegyezzük, ha $I$ nem állandó a külső koordináta-rendszerben (vagyis a szabad tengellyel rendelkező rendszer fő tehetetlenségi nyomatékai nem egyenlőek), a tehetetlenségi nyomatékot nem lehet a deriváltból kiemelni. Ez az eset a nyomatékmentes szabad precesszió.

Tehetetlenségi nyomaték tenzor

Ugyanannak a testnek a különböző tengelyekre vett tehetetlenségi nyomatéka különböző. Például a három derékszöget bezáró ($x$, $y$ és $z$) koordinátatengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka

$I_{xx}=$ az $x$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

$I_{yy}=$ az $y$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

$I_{zz}=$ a $z$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

nem biztos, hogy egyenlőek, hacsak a test nem szimmetrikus minden tengelyre. A tehetetlenségi nyomaték tenzor segítségével kényelmesen foglalhatjuk egy mennyiségbe egy test összes tehetetlenségi nyomatékát.

Definíció

Egy merev test $N$ darab $m_i$ tömegpontjának tehetetlenségi tenzora az alábbi alakú:

$𝐈=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& I_{xy}& I_{xz}\\ I_{yx}& I_{yy}& I_{yz}\\ I_{zx}& I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]$.

Elemei az alábbiak szerint definiálhatók:

$I_{xx}=\sum _{i=1}^N{m}_i(y_i^2+z_i^2)$,

$I_{yy}=\sum _{i=1}^N{m}_i(x_i^2+z_i^2)$,

$I_{zz}=\sum _{i=1}^N{m}_i(x_i^2+y_i^2)$,

$I_{xy}=I_{yx}=-\sum _{i=1}^N{m}_i{x}_i{y}_i$,

$I_{xz}=I_{zx}=-\sum _{i=1}^N{m}_i{x}_i{z}_i$ és

$I_{yz}=I_{zy}=-\sum _{i=1}^N{m}_i{y}_i{z}_i$

derékszögű $(x_i,y_i,z_i)$ koordinátákra, ahol az origó a test súlypontjában van. Itt $I_{xx}$ jelöli az $x$-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az $x$-tengely körül forog, $I_{xy}$ jelöli az $y$-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az $x$-tengely körül forog, és így tovább.

Ezeket a mennyiségeket általánosítani lehet folytonos tömegeloszlású testekre is, hasonlóan a skalár tehetetlenségi nyomatékhoz. Írható:

$𝐈=\underset{V}{\int }[(𝐫\cdot 𝐫)\mathit{\delta }-𝐫\otimes 𝐫]dm$

ahol ${(𝐫\otimes 𝐫)}_{i,j}={𝐫}_i{𝐫}_j$ és $\mathit{\delta }$ a 3 x 3 egységmátrix.

Redukció skalár alakra

Az $I$ skalár bármely $\widehat{𝐧}$ tengelyre a $𝐈$ tenzorból számítható kétszeres skalárszorzat segítségével:

$I=\widehat{𝐧}\cdot 𝐈\cdot \widehat{𝐧}=\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{n}_j{I}_{jk}{n}_k$

ahol az összegezés a három derékszögű koordinátára terjed ki.

Fő tehetetlenségi nyomatékok

Mivel a tenzor valós, szimmetrikus mátrix, található olyan derékszögű koordináta-rendszer, melyben diagonálmátrix lesz, vagyis ilyen alakú:

$𝐈=\left[\begin{array}{ccc}{I}_1& 0& 0\\ 0& I_2& 0\\ 0& 0& I_3\end{array}\right]$

ahol a koordinátatengelyeket tehetetlenségi főtengelynek hívják és a $I_1$, $I_2$ és $I_3$ állandókat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak és általában növekvő sorrendbe rendezik:

$I_1\le I_2\le I_3$

A főtengelyek irányába eső egységvektorokat általában így jelölik: $({𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3)$.

Ha mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, akkor bármilyen irányú súlyponton átfektetett tengely tehetetlenségi főtengely.

A főtengelyek gyakran esnek a test szimmetriatengelyeire.

Ha egy merev test egy tengelyre $m$-ed rendű szimmetriával rendelkezik, vagyis szimmetrikus $360^{\circ }/m$ forgatások alatt egy tengelyre, a szimmetriatengely főtengely. Ha $m>2$, akkor két fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő. Ha a merev testnek van legalább két szimmetriatengelye, mely nem merőleges egymásra, akkor mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, például a kocka ilyen (vagy bármely más szabályos test).

Steiner-tétel

Ha a tehetetlenségi tenzor ismert a súlypontra, hasznos módszer a Steiner-tétellel kiszámítani a súlyponttól eltérő tengelyekre. Ha a forgástengelyt $𝐑$ helyvektorral eltoljuk a súlyponti tengelytől, az új tehetetlenségi tenzor egyenlő:

${𝐈}_{jk}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{d}}={𝐈}_{jk}^{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{d}}+M[{\delta }_{jk}𝐑\cdot 𝐑-R_j{R}_k]$

ahol $M$ a merev test tömege és ${\delta }_{jk}$ a Kronecker-delta-függvény.

Más mechanikai mennyiségek

A $𝐈$ tenzor segítségével a mozgási energia kétszeres skalárszorzatként írható:

$E_k=\frac{1}{2}\mathit{\omega }\cdot 𝐈\cdot \mathit{\omega }=\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_1^2+\frac{1}{2}{I}_2{\omega }_2^2+\frac{1}{2}{I}_3{\omega }_3^2$

az impulzusmomentum pedig egyszeres skalár szorzatként:

$𝐋=𝐈\cdot \mathit{\omega }={\omega }_1{I}_1{𝐞}_1+{\omega }_2{I}_2{𝐞}_2+{\omega }_3{I}_3{𝐞}_3$

A fentiek segítségével a mozgási energia az impulzusmomentum függvényében írható fel a főtengelyek koordináta-rendszerében:

$E_k=\frac{L_1^2}{2I_1}+\frac{L_2^2}{2I_2}+\frac{L_3^2}{2I_3}$

ahol $L_k=I_k{\omega }_k$

$k=1,2,3$-re.

Meghatározása méréssel

A műszaki gyakorlatban néha szükség van ismeretlen tömegeloszlású testek tehetetlenségi nyomatékának meghatározására. Ehhez először meg kell határozni a merev test tömegközéppontjának helyét. Ezután a testet fel kell függeszteni és ki kell mozdítani nyugalmi helyzetéből. A test fizikai ingaként lengésbe jön. A $T$ lengésidőből, a tömegközéppontnak a felfüggesztési ponttól mért $d$ távolságából és a test $m$ tömegéből a tehetetlenségi nyomaték kiszámítható:

$I=mgd\frac{T^2}{4{\pi }^2}$

Lásd még

• Tehetetlenségi nyomatékok listája
• Tehetetlenségi tenzorok listája
• Nyomaték
• Forgási energia
• Merev test
• Merev forgórész

Források

• Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957.
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. Sablon:ISBN (hardcover) and Sablon:ISBN (softcover).
• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. Sablon:ISBN
• Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. Sablon:ISBN

Külső hivatkozások

• Mechanika
• Tehetetlenségi nyomatékok táblázata (angol)
• Tehetetlenségi nyomaték és perdület a sulineten
• A tehetetlenségi tenzor (angol)