Másodrendű nyomaték

A másodrendű nyomaték vagy inercianyomaték a síkidom jellemzője, melyet az ilyen keresztmetszetű rúd hajlítással szembeni ellenállásának és lehajlásának számítására használnak. Hasonló a szerepe hajlításnál, mint csavarásnál a poláris másodrendű nyomatéknak.

A másodrendű nyomaték nem tévesztendő össze a tehetetlenségi nyomatékkal, melyet dinamikai számításoknál használnak. Mérnökök sokszor tehetetlenségi nyomaték nevet használnak másodrendű nyomaték helyett, ami zavaró lehet. Hogy melyik fogalomról van szó, azt a mértékegységből könnyen meg lehet állapítani.

Definíció

A tengelyre számított másodrendű nyomaték(más szóval ekvatoriális másodrendű nyomaték):

I_{x} = \int y^{2} d A

ahol

$I_{x}$ = a másodrendű nyomaték az $x$ tengely körül
$d A$ = egy elemi terület
$y$ = $d A$ elem távolsága az $x$ tengelytől

Mértékegysége

A másodrendű nyomaték SI egysége méter a negyedik hatványon (m⁴).

Különböző keresztmetszetek másodrendű nyomatéka (Lásd még Másodrendű nyomatékok listája más keresztmetszetekre.)

Téglalap keresztmetszet (x és y tengelyek a súlyponton mennek át)

I_{x} = \frac{b h^{3}}{12}

$b$ = szélesség (x-irányban),
$h$ = magasság (y-irányban)

I_{y} = \frac{h b^{3}}{12}

$b$ = szélesség (x-irányban),
$h$ = magasság (y-irányban)

Körkeresztmetszet

I_{0} = \frac{π r^{4}}{2}

$r$ = sugár
$d$ = átmérő

Steiner-tétel

A Steiner-tétel segítségével egy síkidom másodrendű nyomatéka határozható meg tetszőleges tengelyre, ha a súlyponti, vele párhuzamos tengelyre ismert a másodrendű nyomaték és a tengelynek a súlyponti tengelytől való távolsága.

I_{z} = I_{C G} + A d^{2}

$I_{z}$ = másodrendű nyomaték a z-tengelyre,
$I_{C G}$ = másodrendű nyomaték a z tengellyel párhuzamos súlyponti tengelyre, (egybeesik a semleges tengellyel),
$A$ = a síkidom területe,
$d$ = a két tengely közötti távolság

Összetett keresztmetszetek

Gyakran egyszerűbb egy síkidomot részekre bontani, egyenként kiszámítani saját súlyponti tengelyükre a másodrendű nyomatékot, majd a Steiner-tétel segítségével összegezni.

I_{x} = \sum (y^{2} A + I_{l o c a l})

I_{y} = \sum (x^{2} A + I_{l o c a l})

$y$ = távolság az x-tengelytől
$x$ = távolság az y-tengelytől
$A$ = a rész területe
$I_{l o c a l}$ a rész tehetetlenségi nyomatéka a megfelelő irányban (azaz $I_{x}$ illetve $I_{y}$ ).

"I-tartó" keresztmetszet

Az I-tartót vagy három téglalap összegeként vagy egy nagy téglalap és két kis téglalap különbségeként lehet számítani.

$b$ = szélesség (x-irányban),
$h$ = magasság (y-irányban)
$t_{w}$ = a gerinc szélessége
$h_{1}$ = a két szalag távolsága

A következő képlet a nagy téglalapból kivonva a kis téglalapokat módszert használja. Az x-tengelyre vett másodrendű nyomaték:

I_{x} = \frac{b h^{3} - 2 \frac{b - t_{w}}{2} {h_{1}}^{3}}{12}

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomaték számításánál figyelembe kell venni, hogy az eltávolítandó részek másodrendű nyomatékát a Steiner-tétellel kell számítani:

I_{y} = \frac{h b^{3}}{12} - 2 (\frac{h_{1} {(\frac{b - t_{w}}{2})}^{3}}{12} + A x^{2})

$A = h_{1} \frac{b - t_{w}}{2}$ = a levonandó részek területe,
$x = \frac{b + t_{w}}{4}$ = a levonandó részek súlypontjának távolsága az y-tengelytől.

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomatékot egyszerűbben lehet kiszámítani, ha az I-tartót három téglalap összegére bontjuk, mert akkor mindegyik rész súlypontja a tengelyre esik:

I_{y} = \frac{h_{1} {t_{w}}^{3}}{12} + 2 \frac{\frac{h - h_{1}}{2} b^{3}}{12}

Centrifugális másodrendű nyomaték

Az I_xy centrifugális másodrendű nyomaték definíciós képlete:

I_{x y} = - \int x y d A

$d A$ = elemi terület,
$x$ = az elemi $d A$ terület távolsága az y tengelytől,
$y$ = az elemi $d A$ terület távolsága az x tengelytől.

A centrifugális másodrendű nyomaték ismeretére akkor van szükség, ha aszimmetrikus keresztmetszetű rúd hajlításakor ébredő feszültségeket számítjuk. A másodrendű nyomatéktól eltérően a centrifugális másodrendű nyomaték értéke pozitív és negatív is lehet. Azokat az egymásra merőleges tengelyeket, melyekre a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értéke zéró, a keresztmetszet főtengelyeinek hívjuk. Szimmetriatengelyek mindig főtengelyek.

A centrifugális másodrendű nyomaték használható az eredeti koordináta-rendszerhez képest elforgatott rendszerben vett másodrendű nyomatékok számításához:

{I_{x}}^{*} = \frac{I_{x} + I_{y}}{2} + \frac{I_{x} - I_{y}}{2} \cos (2 φ) + I_{x y} \sin (2 φ)

{I_{y}}^{*} = \frac{I_{x} + I_{y}}{2} - \frac{I_{x} - I_{y}}{2} \cos (2 φ) - I_{x y} \sin (2 φ)

{I_{x y}}^{*} = - \frac{I_{x} - I_{y}}{2} \sin (2 φ) + I_{x y} \cos (2 φ)

$φ$ = az elfordulás szöge
$I_{x}$ , $I_{y}$ és $I_{z}$ = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az eredeti koordináta-rendszerben,
${I_{x}}^{*}$ , ${I_{y}}^{*}$ és ${I_{x y}}^{*}$ = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az elforgatott koordináta-rendszerben.

Az a $φ$ szög, mellyel el kell fordítani a koordináta-rendszert, hogy a centrifugális nyomaték zéró legyen:

φ = \frac{1}{2} \arctan \frac{2 I_{x y}}{I_{x} - I_{y}}

Ez a szög az, amit az eredeti koordináta-rendszer tengelyei a főtengelyekkel bezárnak.

Steiner-tétel centrifugális másodrendű nyomaték esetén

A centrifugális másodrendű nyomatékokra is létezik Steiner-tétel, ám ekkor a Steiner-tag más. Egy síkidom tetszőleges helyzetű centrifugális másodrendű nyomatékát megkapjuk, ha a velük párhuzamos súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékhoz hozzáadjuk az előjeles súlypont-koordinátáknak és a síkidom területének szorzatát.

I_{x y} = I_{u v} + x_{s} y_{s} A

$I_{x y}$ = centrifugális másodrendű nyomaték a xy-tengelyre,
$I_{u v}$ =centrifugális másodrendű nyomaték az xy tengelyekkel párhuzamos súlyponti tengelyekre,,
$A$ = a síkidom területe,
$x_{s}, y_{s}$ = síkidom súlypontjának koordinátái az xy koordinátarendszerben

Bizonyítás:

Mivel a koordináták közötti összefüggések:

x = u + x_{s}

y = v + y_{s}

így fel tudjuk írni az x,y tengelypárra számított centrifugális másodrendű nyomatékokat a következő alakban is

I_{x y} = \int x y d A = \int (u + x_{s}) (v + y_{s}) d A =

\int u v d A + y_{s} \int u d A + x_{s} \int v d A + x_{s} y_{s} \int d A =

I_{u v} + y_{s} S_{v} + x_{s} S_{u} + x_{s} y_{s} A,

Ahol

$S_{u}$ = u súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték
$S_{v}$ =v súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték

Az u,v súlyponti tengelyekre a statikai (elsőrendű) nyomatékok zérus értékűek, ezért adódik, hogy

I_{x y} = I_{u v} + x_{s} y_{s} A

.

A hajlított tartó feszültségei

A hajlított tartóban ébredő feszültség általános esetben:

σ = - \frac{M_{y} I_{x} + M_{x} I_{x y}}{I_{x} I_{y} - {I_{x y}}^{2}} x + \frac{M_{x} I_{y} + M_{y} I_{x y}}{I_{x} I_{y} - {I_{x y}}^{2}} y

$σ$ a hajlítófeszültség
$x$ = az y-tengelytől mért távolság
$y$ = az x-tengelytől mért távolság
$M_{y}$ = hajlítónyomaték az y-tengely körül
$M_{x}$ = hajlítónyomaték az x-tengely körül
$I_{x}$ = másodrendű nyomaték az x-tengelyre
$I_{y}$ = másodrendű nyomaték az y-tengelyre
$I_{x y}$ = centrifugális nyomaték

Tehetetlenségi főtengelyek esetében

σ = - \frac{M_{y}}{I_{y}} x + \frac{M_{x}}{I_{x}} y

Ha csak egyik tengely körül ébred hajlítónyomaték:

σ = \frac{M y}{I_{x}}

Kapcsolódó szócikkek

Források

Mechanics of solids and structures, Benham, P.P. Sablon:ISBN
Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. Sablon:ISBN

Fordítás

Sablon:Fordítás

Sablon:Portál

Másodrendű nyomaték

Tartalomjegyzék

Definíció

Mértékegysége

Körkeresztmetszet

Steiner-tétel

Összetett keresztmetszetek

"I-tartó" keresztmetszet

Centrifugális másodrendű nyomaték

Steiner-tétel centrifugális másodrendű nyomaték esetén

A hajlított tartó feszültségei

Kapcsolódó szócikkek

Források

Fordítás

Navigációs menü

Másodrendű nyomaték

Definíció

Mértékegysége

Körkeresztmetszet

Steiner-tétel

Összetett keresztmetszetek

"I-tartó" keresztmetszet

Centrifugális másodrendű nyomaték

Steiner-tétel centrifugális másodrendű nyomaték esetén

A hajlított tartó feszültségei

Kapcsolódó szócikkek

Források

Fordítás

Navigációs menü

Keresés