Körmozgás

Körmozgásról akkor beszélünk, ha egy elhanyagolható nagyságú test (tömegpont) vagy egy kiterjedt test egy pontja körpálya mentén mozog.

A körmozgás jellemzői

Egyenletes körmozgás

A körmozgás egyenletes, ha a körpályán egyenlő időközök alatt – bármilyen kicsinyek is ezek – egyenlő utakat tesz meg, mindig ugyanabban a körülfutási irányban. A t idő alatt megtett s út (ívhosszúság) tehát arányos az idővel:

$s=v\cdot t$,

ahol a v állandó a sebesség nagyságát jelenti. A v sebességvektor iránya a pálya érintőjének iránya, amely pontról pontra változik, és így a mozgás gyorsuló mozgás.

A gyorsulás definíciója szerint

$\mathrm{a}(t)=\dot{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}(t)}{\mathrm{d}t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{v}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{t}}\sim \underset{\mathrm{\Delta }\phi \to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{v}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{\phi }}=\underset{\mathrm{\Delta }\phi \to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{v}}_{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{v}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{\phi }}$,

vagyis a gyorsulásvektor iránya megegyezik a ${\mathrm{v}}_{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{v}}_{\mathrm{1}}$ vektoréval, azaz a körmozgás középpontja felé mutat.

Ez az állandó nagyságú, de folytonosan változó (egyfolytában a középpont felé mutató) irányú gyorsulás az ún. centripetális gyorsulás (más néven normális vagy radiális gyorsulás).

A körmozgást legegyszerűbb polárkoordináta-rendszerben vizsgálni, azaz a $\phi (t)$ szögelfordulás függvénnyel.

Az egyenletes körmozgást általában a szögsebességgel (jele $\omega$) szokták jellemezni. Ez megadja a helyvektor és a kezdeti helyvektor által bezárt szög ($\phi$) változását:

$\omega =\frac{d\phi }{dt}=\frac{2\pi }{T}$

A test érintőirányú (tangenciális) sebességét (kerületi sebességét) a következőképpen számíthatjuk ki:

$v_t=\frac{ds}{dt}=r\cdot \frac{d\phi }{dt}=r\cdot \omega =\frac{2\pi r}{T}$,

ahol az r a kör sugarát jelöli és $s=r\cdot \phi$ a körmozgást végző test útfüggvénye, továbbá

Periódusidő (jele: T), jelentése: egy kör megtételéhez szükséges idő.

Frekvencia (jele: f), fordulatszám (jele: n), jelentésük: az időegység alatt megtett körök száma; az egy kör megtételéhez szükséges idő (T) reciprok értéke (1/T), mértékegységeik: 1/s = Hz (Heinrich Hertz nevéből).

Az $\omega$ szögsebességet körfrekvenciának is szokták nevezni, mert az f frekvenciával a következő kapcsolatban áll: :$\omega =2\pi \cdot f$. Mértékegysége: radián/s

Nem egyenletes körmozgás

Az egyenletesen változó sebességű körmozgásnál a körmozgás változását leíró mennyiség a szöggyorsulás (jele $\mathit{\beta }$), ez a szögsebesség ($\omega$) időbeni változását fejezi ki:

$\beta =\frac{d\omega }{dt}$

A test érintőirányú (tangenciális) gyorsulását kiszámíthatjuk a szöggyorsulásból:

$a_t=\frac{dv}{dt}=\beta \cdot r$

A szöggyorsulás a körmozgásban több szempontból is analóg a lineáris gyorsulással. A $\beta$ – idő grafikonból a görbe alatti terület megadja a szögsebességet, $\omega$ – idő grafikonban a görbe tetszőleges pontjában húzott érintő meredeksége adja a pillanatnyi szöggyorsulást.

Források

• Sablon:TermTudLex

További információk

• Letölthető magyarított Java szimuláció a körmozgás tanulmányozásához a PhET-től. Tanári felügyeletet igényel, mert elég komplex.
• Egyszerű magyarított Flash szimuláció a függőleges körmozgásról. Szerző: David M. Harrison