Részhalmaz

A részhalmaza B-nek, azaz B tartalmazza A-t.

A halmazelméletben egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az így értelmezett részhalmaz fogalma a halmazelmélet egyik alapvető fogalma.

Definíció

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy $A$ részhalmaza a $B$ halmaznak, és így jelöljük $A\subseteq B$, ha az a $A$ halmaz összes elemét tartalmazza a $B$ halmaz, azaz $\mathrm{\forall }a\in A:a\in B$.
Ha $A\subseteq B$, de $A\ne B$, azaz $B$-nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme $A$-nak, akkor azt mondjuk, hogy $A$ valódi részhalmaza $B$-nek, és ezt így jelöljük: $A\subset B$.

Jelölések

A részhalmazok mai jelölését először Ernst Schröder használta 1890-ben „Algebra der Logik“ című művében.

A patkó jelölést fordított irányban is szokták használni. A patkó a tartalmazó halmaz irányába nyitott. Mivel a halmazelméleti tartalmazás kapcsolódik a logikai implikációhoz, azért a patkót az implikáció jelölésére is használják. Néhány szerző a $\subseteq$ és $\supseteq$ jelek helyett a $\subset$ és $\supset$ jeleket használja, és nem vezet be külön jelölést a valódi részhalmazra; sőt, nem is használja a valódi részhalmaz fogalmat.

A legtöbb szerző rendre a $\subset$ és $\supset$ jeleket használja a valódi részhalmaz és a valódi tartalmazó halmaz számára $⊊$ és $⊋$ helyett. Ez hasonló a $\le$ és $<$ jelekhez. Mivel ezeket akkor használják, ha ez a különbségtétel fontos, az $⊊$ és $⊋$ jelek ritkán kerülnek elő.

A $⊊$ jel változatai $⊊$, $⫋$ és $⫋$. Hogyha $A$ nem részhalmaza $B$-nek, akkor használható $A⊈B:⟺\mathrm{\neg }(A\subseteq B)$ is. Megfelelői $⊋$ és $⊋$, $⫌$ és $⫌$, illetve $⊋$, és $A⊉B$ a nem tartalmazó halmazra.

A megfelelő Unicode szimbólumok: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇, ⊄, ⊅, ⊈, ⊉, ⊊, ⊋.

Tulajdonságok

• Minden halmaz önmagának részhalmaza (de nem valódi részhalmaza), azaz tetszőleges $A$ halmazra teljesül, hogy $A\subseteq A$.
• Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza (de nem valódi részhalmaza), azaz tetszőleges $A$ halmazra teljesül, hogy $\mathrm{\varnothing }\subseteq A$.
• Ha $A\subseteq B$ és $B\subseteq A$, akkor $A=B$.
• Ha $A\subseteq B$ és $B\subseteq C$, akkor $A\subseteq C$.
• $A\subseteq B$ pontosan akkor áll fenn, ha $A\cup B=B$.
• $A\subseteq B$ pontosan akkor áll fenn, ha $A=A\cap B$.
• $A\subseteq B$ pontosan akkor áll fenn, ha $A\mathrm{\setminus }B=\mathrm{\varnothing }$.
• A karakterisztikus függvényre:

$A\subseteq B\iff {\chi }_A\le {\chi }_B$

• Két halmaz megegyezik, ha mindkettő része a másiknak:

$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$

Ezt gyakran használják két halmaz egyenlőségének belátására.

• A komplementerképzés megfordítja a tartalmazást:

$A\subseteq B\Rightarrow A^{\mathrm{c}}\supseteq B^{\mathrm{c}}$

Példák

A {dob, kártya} része a {gitár, kártya, digitális kamera, dob} halmaznak

A szabályos sokszögek a sokszögek részhalmaza

• {1, 2} valódi részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
• {1, 2, 3} nem valódi részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
• {1, 2, 3, 4} nem részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
• {1, 2, 3} nem részhalmaza az {2, 3, 4} halmaznak.
• {} nem valódi részhalmaza az {1, 2} halmaznak.
• {1, 2, 3} valódi tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
• {1, 2} nem valódi tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
• {1} nem tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
• A prímszámok halmaza valódi részhalmaza a természetes számok halmazának (a természetes számok számelmélete szerint).
• A racionális számok halmaza valódi részhalmaza a valós számok halmazának.

A számhalmazok kapcsolata

• $\mathbb{N}$ = természetes számok halmaza $\{0,1,2,\dots \}$
• $\mathbb{Z}$ = egész számok halmaza $\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,\dots \}$
• $\mathbb{Q}$ = racionális számok halmaza ($\frac{z_1}{z_2}$ alakú számok, ahol $z_1,z_2\in \mathbb{Z}\wedge z_2\ne 0$)
• ${\mathbb{Q}}^{\prime }$ = irracionális számok halmaza (olyan számok, amelyek nem írhatók fel $\frac{z_1}{z_2}$ alakban)
• $ℝ$ = valós számok halmaza (a racionális és irracionális számok összessége ($\mathbb{Q}\cup {\mathbb{Q}}^{\prime }$))

Ekkor: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ$, továbbá ${\mathbb{Q}}^{\prime }\subset ℝ$.

Tartalmazási reláció

A tartalmazási reláció reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív:

$A\subseteq A$

$A\subseteq B\subseteq A\Rightarrow A=B$

$A\subseteq B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$,

ahol is $A\subseteq B\subseteq C$ azt jelenti, hogy $A\subseteq B$ és $B\subseteq C$. Ezért a tartalmazási reláció részben rendezés.

Ha $H$ halmazok halmaza (halmazrendszer), akkor $(H,\subseteq )$ részben rendezett.

Speciális halmazrendszerek

Ha A ⊆ B és B ⊆ C, akkor A ⊆ C

Ha $H$ halmazrendszer, és $H$ bármely elemére teljesül, hogy tartalmazza a rendszer egy elemét, vagy a rendszer egy eleme tartalmazza, akkor $H$ tartalmazási lánc. Ilyen például a balról nem korlátos nyílt valós intervallumok halmaza, $\{]-\mathrm{\infty },x[\mid x\in ℝ\}$.

Megkülönböztetünk felszálló és leszálló tartalmazási láncokat:

$A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq ...$ felszálló tartalmazási lánc

$A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq ...$ leszálló tartalmazási lánc

Egy halmazrendszer lamináris, ha bármely két elemére teljesül a kettő közül valamelyik:

• Az egyik tartalmazza a másikat
• A két halmaz diszjunkt.

Ezzel szemben a Sperner-rendszerekben nincs két olyan egymástól különböző halmaz, amelyek egyike tartalmazza a másikat. Például egy alaphalmaz összes adott elemszámú részhalmaza Sprener-rendszert alkot.

Részhalmazok mérete és száma

• Véges halmazok összes részhalmaza véges, és méretükre teljesül, hogy:

  $A\subseteq B\Rightarrow \left|A\right|\le \left|B\right|$

  $A⊊B\Rightarrow \left|A\right|<\left|B\right|$

• Végtelen halmazt tartalmazó halmaz is végtelen. Végtelen halmaz esetén a méretre teljesül, hogy:

  $A\subseteq B\Rightarrow \left|A\right|\le \left|B\right|$

• Végtelen halmazok esetén lehet a részhalmaz mérete ugyanakkora, mint a tartalmazó halmazé. Például a természetes számok és az egész számok halmaza is megszámlálható végtelen.
• Cantor tétele szerint, ha $A$ halmaz, akkor hatványhalmazának számossága nagyobb, mint az $A$ halmaz számossága:

$|A|<|𝒫(A)|$

• Egy véges, $n$ elemű halmaz hatványhalmazának $2^n$ eleme van.
• Egy véges, $n$ elemű halmaz $k$ elemszámú részhalmazainak számát az $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ binomiális együttható adja meg.

Lásd még

• Hatványhalmaz

További információk

• Alice és Bob – 19. rész: Alice és Bob ideáljai

Hivatkozások

• Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
• Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
• Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 3. kiadás, (1994) Sablon:ISBN
• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, Sablon:ISBN
• Sablon:Cite book

Külső hivatkozások

• Subset a MathWorld oldalán