Görbe vonalú koordináta-rendszer

**Görbe vonalú**, **affin** és **Descartes-féle** koordináták

A görbe vonalú koordináta-rendszerek az $E^{n}$ euklideszi tér koordináta-rendszerei, melynek koordinátavonalai diffeomorfak a Descartes-féle koordináta-rendszer koordinátavonalaival.^[1] Ez azt jelenti, hogy a megfeleltetés lokálisan egy-egyértelmű, és a megfeleltetés, valamint az inverz megfeleltetés is differenciálható. Tehát nem lehet például szakadás vagy töréspont a koordináta-vonalakon.

A leggyakrabban alkalmazott görbe vonalú koordináta-rendszerek:

a Descartes-féle koordináta-rendszer
a polárkoordináta-rendszer
a hengerkoordináta-rendszer
a gömbkoordináták

A szóban forgó feladattól függően egy megfelelően választott görbe vonalú koordináta-rendszerben a számítások egyszerűbbek lehetnek, mint a Descartes-koordináta-rendszerben. Például a sugaras szimmetriájú feladatokhoz célszerűbb lehet a gömbkoordináták választása.

A következők elsősorban a háromdimenziós térre vonatkoztathatók, ám nagy részük általánosítható más dimenziókra is.

A Descartes-koordináták transzformációja

Egy $n$ -dimenziós tér egy pontjának koordinátái egy valós számokból álló $n$ -es, amely a pontot a koordináta-rendszer erejéig határozza meg.

A Descartes-féle koordináta-rendszerben az $x_{i}$ koordináták felírhatók az új $u_{i}$ koordináták folytonosan differenciálható függvényeként:

x_{1} = x_{1} (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})

,

x_{2} = x_{2} (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})

, …

x_{n} = x_{n} (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})

Ez egy egyenletrendszer, ami invertálható, tehát megoldható az $u_{i}$ koordinátákra:

u_{1} = u_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

,

u_{2} = u_{2} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

, …

u_{n} = u_{n} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

ha az inverz funkcionáldetermináns nem nulla vagy végtelen:

\det ({\underline{\underline{J}}}^{- 1}) = \det \frac{\partial (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})}{\partial (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})} \neq 0

.

Az inverz transzformációnak is folytonosan differenciálhatónak kell lennie.

A transzformáció reguláris azokban a pontokban, melyeknek egyértelmű a megfeleltetése. A többi pontban szinguláris. Ekkor teljesül, hogy ha egy $P$ pont adott az $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ Descartes-koordinátákkal, akkor az inverz transzformációkkal egyértelműen kiszámíthatók a $P$ pont $(u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})$ görbe vonalú koordinátái. A tér minden reguláris pontja egyértelműen leírható az ${x_{i}}$ Descartes-koordinátákkal és ekvivalensen, az ${u_{i}}$ görbe vonalú koordinátákkal.

Egy transzformációegyenletekre vonatkozó tétel szerint a fent leírtak alapján a Descartes-féle koordináta-rendszerrel együtt definiálható egy görbe vonalú koordináta-rendszer.

Koordinátavonalak, -felületek és tengelyek

Ebben a szakaszban a háromdimenziós térben szemléltetjük a koordinátavonalakat, -felületeket és tengelyeket.

A koordinátafelületek megkaphatók egy koordináta rögzítésével és a többi változtatásával:

{\vec{r}}_{i j} (α, β) = \vec{r} (u_{i} = α, u_{j} = β, u_{k} = const)

ahol

i \neq j \neq k \neq i

Minden nem szinguláris ponton át az $u_{k} = const$ felületsereg egy tagja halad át.

A koordinátavonalak úgy kaphatók, hogy két koordinátát rögzítünk, azaz $u_{i} = const, u_{j} = const$ ahol $i \neq j$ , és a harmadik koordináta fut:

{\vec{r}}_{k} (γ) = \vec{r} (u_{i} = const, u_{j} = const, u_{k} = γ)

ahol

i \neq j \neq k \neq i

A fenti feltétel azt jelenti a funkcionáldetermináns számára, hogy a háromdimenziós tér minden pontján át három koordinátavonalnak kell áthaladnia, különben a pont nem reguláris.

Például a gömbkoordináták esetén a $z$ -tengely pontjaiban az összes $φ = const$ sík metszi egymást (ahol $φ$ az azimut). Így a $z$ -tengely pontjainak koordinátái nem egyértelműek: $z = r \cos ϑ$ , de $ϕ$ tetszőleges.

Ha a különböző koordinátavonalak derékszögben metszik egymást, akkor a koordináta-rendszer ortogonális.

A koordinátatengelyeket a koordinátavonalak érintőiként definiáljuk. Ez a Descartes-féle koordináta-rendszertől és az affin koordináta-rendszerektől különböző koordináta-rendszerekben azt jelenti, hogy a tengelyek függnek a helytől. Emiatt helyi koordinátákról beszélünk.

Különböző bázisok

Egy vektor koordinátákkal való ábrázolásához bázisra van szükség. Ehhez egy $n$ -dimenziós térben $n$ független vektorra van szükség. Egy ilyen bázissal a tér bármely vektora előállítható lineáris kombinációként, ahol is a kombináció együtthatói a vektor koordinátái.

Csak egyenesvonalú esetben állandóak a bázisvektorok; valóban görbe vonalú koordináta-rendszer esetén a bázis, így a koordináták is függenek a helytől. Emiatt ezeket a bázisokat helyi bázisoknak nevezik. Mind a bázisvektorok, mind a koordináták helyfüggők. Egyenes vonalú koordináta-rendszerekben a bázis globális, azaz nem függ a helytől. A helytől kizárólag a koordináták függnek.

Helyi bázis előállítására két módszer létezik:

kovariáns bázis
kontravariáns bázis

A két bázis reciprok, illetve duális egymással. Holonóm bázisoknak is nevezik őket. Különböznek abban, hogyan transzformálódnak koordinátaváltáskor – a két transzformáció inverze egymásnak.

Az adott sokaság minden pontjában egyidejűleg létezik mindkét bázis. Így egy tetszőleges vektor ábrázolható egyikben vagy másikban. Az $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordinátákat kombinálják a kovariáns ${\vec{b}}_{u_{i}}$ bázisvektorokkal, és az $a_{u_{i}}^{*}$ kovariáns koordinátákat a kontravariáns ${\vec{b}}_{u_{i}}^{*}$ bázisvektorokkal.

\vec{a} = \sum_{i = 1}^{n} a_{u_{i}} {\vec{b}}_{u_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} a_{u_{i}}^{*} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*}

Ez a keresztbe párosítás biztosítja, hogy $\vec{a}$ vektor a koordinátatranszformáció során invariáns maradjon, mivel a bázis és a koordináták inverz módon transzformálódnak, így kölcsönösen kiegyenlítik egymást. A fizikában a vektorok ezen tulajdonsága alapvető, mivel a fizika törvényeinek a koordináta-rendszer választásától függetlennek kell lenniük. Ilyen például egy részecske sebessége.

Egy vektor (koordinátavektor) kontravariáns, ha a koordináták kontravariánsak, és a bázis kovariáns. Egy vektor (koordinátavektor) kovariáns, ha a koordináták kovariánsak, és a bázis kontravariáns.

Kovariáns bázis

A kovariáns bázis vektorai minden pontban érintőlegesek valamelyik koordinátavonalhoz.

Normált és természetes bázis

A koordinátavonalak érintő-egységvektorai bázist alkotnak, ami kovariáns bázisvektorokból áll:

{\vec{e}}_{u_{i}} = \frac{\frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}}{| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}} |}

Ezek az egységvektorok a helytől függően fordulnak ${\vec{e}}_{u_{i}} = {\vec{e}}_{u_{i}} (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})$ irányba.

A $h_{u_{i}}$ skálázási tényezők definíciója:

h_{u_{i}} : = | \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}} |

, így

{\vec{e}}_{u_{i}} = \frac{1}{h_{u_{i}}} \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}

A nem normált vektorok alkotják a természetes bázist, amiből a normálással a normált bázis nyerhető. Itt a természetes bázis vektorait ${\vec{b}}_{u_{i}}$ jelöli, a normált bázis vektorait pedig ${\vec{e}}_{u_{i}}$ .

{\vec{b}}_{u_{i}} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}} = h_{u_{i}} {\vec{e}}_{u_{i}}

Kontravariáns koordináták

Az új bázisokkal az összes $\vec{a}$ vektor kifejezhető a normált kovariáns ${\vec{e}}_{u_{i}}$ bázisban, illetve a ${\vec{b}}_{u_{i}}$ természetes bázisban:

\vec{a} = \sum_{i = 1}^{n} a_{u_{i}} {\vec{e}}_{u_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} {\tilde{a}}_{u_{i}} {\vec{b}}_{u_{i}} ahol {\tilde{a}}_{u_{i}} = \frac{a_{u_{i}}}{h_{u_{i}}}, {\vec{b}}_{u_{i}} = h_{u_{i}} {\vec{e}}_{u_{i}}

ahol $a_{u_{i}}$ illetve ${\tilde{a}}_{u_{i}}$ kontravariáns koordináták, melyek iránya az $u_{i}$ -koordinátavonal felé mutat; $a_{u_{i}}$ a normált, ${\tilde{a}}_{u_{i}}$ a természetes bázisban. A tenzoranalízisben a ${\tilde{a}}_{u_{i}}$ koordinátákat felső $a^{i}$ indexszel jelölik. Ez nem hatványozást jelent.

Egy $a_{u_{i}} {\vec{e}}_{u_{i}} = {\tilde{a}}_{u_{i}} {\vec{b}}_{u_{i}}$ vektorkoordináta hossza megfelel a normált bázisban a $a_{u_{i}}$ koordináta abszolútértékének, a természetes bázisban pedig az ${\tilde{a}}_{u_{i}}$ koordináta abszolútértékének és a ${\vec{b}}_{u_{i}}$ vektorhossz szorzatának:

| a_{u_{i}} | = | a_{u_{i}} {\vec{e}}_{u_{i}} | = | {\tilde{a}}_{u_{i}} {\vec{b}}_{u_{i}} | = | {\tilde{a}}_{u_{i}} | | {\vec{b}}_{u_{i}} | = | {\tilde{a}}_{u_{i}} | | h_{u_{i}} |

Ha a vektor fizikai mennyiséget jelöl, akkor a természetes bázis hossza tartalmazhat mértékegységet is, ami így összeszorzódik a koordinátákkal. Ez körülményes lehet. Normált bázis esetén azonban a mértékegység teljes egészében a koordinátán múlik. Ezért az $a_{u_{i}}$ koordináták fizikai koordináták, és a normált ${\vec{e}}_{u_{i}}$ bázisvektorok fizikai bázisvektorok.

Megkülönböztetésként az ${\tilde{a}}_{u_{i}}$ koordináták holonóm koordináták, és a természetes ${\vec{b}}_{u_{i}}$ bázisvektorok holonóm bázisvektorok.

A bázisvektorok és koordináták viselkedése a transzformáció során, Jacobi-mátrix

A természetes bázisvektorok definíciójából következően az ${u_{i}}$ koordináták transzformációja ${x_{i}}$ koordinátákká adódik a képlet:

{\vec{b}}_{u_{k}} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{k}} = \sum_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial u_{k}} \frac{\partial \vec{r}}{\partial x_{j}} = \sum_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial u_{k}} {\vec{e}}_{x_{j}}

A természetes bázisvektorok egyszerűen viselkednek a transzformáció során. Normált bázis esetén a $h_{u_{i}}$ skálázási tényezőkkel is számolni kell:

{\vec{b}}_{u_{k}} = \sum_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial u_{k}} {\vec{e}}_{x_{j}} ⟹ h_{u_{k}} {\vec{e}}_{u_{k}} = \sum_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial u_{k}} {\vec{e}}_{x_{j}}

Egy tetszőleges $\vec{a}$ vektor kifejezhető mjnd a régi, mind az új bázisban:

\vec{a} = \sum_{i} a_{x_{i}} {\vec{e}}_{x_{i}} = \sum_{i, k} a_{x_{i}} δ_{i k} {\vec{e}}_{x_{k}} = \sum_{i, j, k} a_{x_{i}} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} \frac{\partial x_{k}}{\partial u_{j}} {\vec{e}}_{x_{k}} = \sum_{i, j} a_{x_{i}} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} {\vec{b}}_{u_{j}} = \sum_{j} {\tilde{a}}_{u_{j}} {\vec{b}}_{u_{j}}

Így kapható a koordináták viselkedése a transzformáció során:

{\tilde{a}}_{u_{i}} = \sum_{j} a_{x_{j}} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} ⟹ \frac{a_{u_{i}}}{h_{u_{i}}} = \sum_{j} a_{x_{j}} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}

Míg a kovariáns vektorok esetén a $J_{k j} = \frac{\partial x_{j}}{\partial u_{k}}$ Jacobi-mátrixszal végezhető, a kontravariáns koordináták transzformációjához a Jacobi-mátrix $J_{k j}^{- 1} = \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{k}}$ inverzét kell alkalmazni.

A tenzoranalízisben a vektorok viselkedését a fenti transzformációs viselkedéssel definiálják. Maga a $\vec{r}$ helyvektor nem vektor, de a $d \vec{r} = \sum_{i} {\vec{b}}_{u_{i}} d u_{i}$ helyvektor-differenciál már igen.

A Descartes-féle koordináták transzformációjának Jacobi-mátrixa megegyezik azzal a mátrixszal, melyben a természetes bázis oszlopvektorokként szerepel:

\underline{\underline{J}} = \frac{\partial (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}{\partial (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})} = (\begin{matrix} \partial x_{1} / \partial u_{1} & \partial x_{1} / \partial u_{2} & \dots & \partial x_{1} / \partial u_{n} \\ \partial x_{2} / \partial u_{1} & \partial x_{2} / \partial u_{2} & \dots & \partial x_{2} / \partial u_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \partial x_{n} / \partial u_{1} & \partial x_{n} / \partial u_{2} & \dots & \partial x_{n} / \partial u_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} | & | & | \\ {\vec{b}}_{u_{1}} & {\vec{b}}_{u_{2}} & \dots & {\vec{b}}_{u_{n}} \\ | & | & | \end{matrix}) \equiv [{\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, \dots, {\vec{b}}_{u_{n}}]

Az inverz funkcionáldeterminánsra vonatkozó $\det ({\underline{\underline{J}}}^{- 1}) \neq 0$ feltétel a következő kapcsolattal jellemezhető:

{\vec{e}}_{x_{k}} = \sum_{j} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{k}} {\vec{b}}_{u_{j}} = \sum_{j} (J^{- 1})_{k j} {\vec{b}}_{u_{j}}

Ez megfelel az $\vec{b} = \underline{\underline{A}} \vec{v}$ inhomogén lineáris egyenletrendszernek a $\vec{v}$ -re. A $\vec{v}$ koordinátái tartalmazzák a ${{\vec{b}}_{u_{j}}}$ görbe vonalú bázisvektorok koordinátáit. Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha a $\underline{\underline{A}}$ mátrix magja nulladimenziós, azaz az oszlop- illetve sorvektorok lineárisan függetlenek. Ez ekvivalens azzal, hogy a $\det \underline{\underline{A}}$ mátrix determinánsa nullától különbözik. Ez egyértelműen meghatározza az ismeretleneket, azaz minden ponthoz egy, és csak egy ${{\vec{b}}_{u_{j}}}$ bázis létezik.

A duális ${{\vec{b}}_{u_{i}}^{*}}$ bázis hasonlóan megfeleltethető a fenti mátrix inverzének.

Metrikus tenzor és Gram-determináns

A természetes bázisvektorok skalárszorzatai definiálják a $g$ metrikus tenzor komponenseit:

g_{i j} = {\vec{b}}_{u_{i}} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}} = h_{u_{i}} h_{u_{j}} {\vec{e}}_{u_{i}} \cdot {\vec{e}}_{u_{j}} = h_{u_{i}} h_{u_{j}} \cos (∢ ({\vec{e}}_{u_{i}}, {\vec{e}}_{u_{j}}))

Vegyük észre, hogy a metrikus tenzor a skaláris szorzás kommutativitás miatt szimmetrikus:

g_{i j} = {\vec{b}}_{u_{i}} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}} = {\vec{b}}_{u_{j}} \cdot {\vec{b}}_{u_{i}} = g_{j i}

Emiatt a metrikus tenzornak $N (N + 1) / 2$ független komponense van, és nem $N^{2}$ . Három dimenzióban a független elemek száma 6.

A metrikus tenzor írható, mint a Jacobi-mátrix és transzponáltjának szorzata:

\underline{\underline{g}} = {\underline{\underline{J}}}^{T} \underline{\underline{J}} = [{\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, \dots, {\vec{b}}_{u_{n}}]^{T} [{\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, \dots, {\vec{b}}_{u_{n}}] = (\begin{matrix} {\vec{b}}_{u_{1}} \cdot {\vec{b}}_{u_{1}} & \dots & {\vec{b}}_{u_{1}} \cdot {\vec{b}}_{u_{n}} \\ ⋮ & ⋮ \\ {\vec{b}}_{u_{n}} \cdot {\vec{b}}_{u_{1}} & \dots & {\vec{b}}_{u_{n}} \cdot {\vec{b}}_{u_{n}} \end{matrix})

A $g_{i j}$ mennyiségek metrikus együtthatók, melyek segítségével kiszámítható egy vektor hossza a ${{\tilde{a}}_{u_{i}}}$ kontravariáns koordinátákból. Ehhez kellenek a skálázási tényezők.

A $h_{u_{i}}$ skálázási tényezőket a $g_{i i}$ átlós elemek adják meg, mivel $| {\vec{b}}_{u_{i}} | = \sqrt{{\vec{b}}_{u_{i}} \cdot {\vec{b}}_{u_{i}}}$ :

h_{u_{i}} = \sqrt{g_{i i}}

A metrikus tenzor determinánsa a $g$ Gram-determináns:

\det \underline{\underline{g}} = g

$g = \det (J^{T} J) = \det J^{T} \det J = (\det J)^{2}$ következménye, hogy a Jacobi-mátrix determinánsa abszolútértékének meg kell egyeznie a Gram-determináns négyzetgyökével. Másként,

\det [{\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, \dots, {\vec{b}}_{u_{n}}] \equiv \det J = \pm \sqrt{g}

,

ahol az előjel a bázis irányításától függ. A normált bázisvektorokból alkotott determináns a multilinearitás miatt adja, hogy:

\det [{\vec{e}}_{u_{1}}, {\vec{e}}_{u_{2}}, \dots, {\vec{e}}_{u_{n}}] = \det [h_{u_{1}}^{- 1} {\vec{b}}_{u_{1}}, h_{u_{2}}^{- 1} {\vec{b}}_{u_{2}}, \dots, h_{u_{n}}^{- 1} {\vec{b}}_{u_{n}}] = \frac{\det [{\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, \dots, {\vec{b}}_{u_{n}}]}{h_{u_{1}} h_{u_{2}} \dots h_{u_{n}}} = \frac{\pm \sqrt{g}}{h_{u_{1}} h_{u_{2}} \dots h_{u_{n}}}

A metrikus tenzor $g^{i j}$ inverzére teljesül a Cramer-szabály miatt, hogy:

g^{i j} : = (g^{- 1})_{i j} = \frac{A^{i j}}{g}

ahol $A^{i j}$ az adjungált és $g$ a Gram-determináns. A kifejtési tételből következik, hogy:

g : = \det \underline{\underline{g}} = \sum_{i, j} g_{i j} A^{j i} ⟹ \frac{\partial g}{\partial g_{i j}} = A^{j i}

és az inverz metrikus tenzorra:

g^{i j} = \frac{1}{g} \frac{\partial g}{\partial g_{j i}}

Ortogonális koordináta-rendszerek

Ha az $n$ -dimenziós térben minden nem szinguláris pontban az $n$ koordinátavonal mindegyike merőlegesen metszi egymást, akkor a koordináta-rendszer ortogonális. Ekkor az ${\vec{e}}_{u_{i}}$ vektorok az $ℝ^{n}$ tér ortonormált bázist alkotnak:

{\vec{e}}_{u_{i}} \cdot {\vec{e}}_{u_{j}} = δ_{i j}

,

i, j = 1, 2, \dots, n

(

δ :

Kronecker-delta)

A természetes bázisvektorokra:

g_{i j} = {\vec{b}}_{u_{i}} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}} = h_{u_{i}} h_{u_{j}} δ_{i j} = h_{u_{i}}^{2} δ_{i j}

Így az ortogonális bázisvektorok esetén a metrikus tenzor diagonális:

\underline{\underline{g}} = (\begin{matrix} h_{u_{1}}^{2} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & h_{u_{2}}^{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & h_{u_{3}}^{2} \end{matrix})

Az inverz metrikus tenzor ortognális koordináták esetén:

(g^{- 1})_{i j} \equiv g^{i j} = h_{u_{i}}^{- 2} δ_{i j}

{\underline{\underline{g}}}^{- 1} = (\begin{matrix} 1 / h_{u_{1}}^{2} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 / h_{u_{2}}^{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 / h_{u_{n}}^{2} \end{matrix})

A Gram-determináns is egyszerűbb:

g = h_{u_{1}}^{2} h_{u_{2}}^{2} \dots h_{u_{n}}^{2}

A természetes, illetve normált bázisvektorok esetén a determináns:

\det [{\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, \dots, {\vec{b}}_{u_{n}}] = \sqrt{g} = h_{u_{1}} h_{u_{2}} \dots h_{u_{3}} ⟺ \det [{\vec{e}}_{u_{1}}, {\vec{e}}_{u_{2}}, \dots, {\vec{e}}_{u_{n}}] = 1

Háromdimenziós tér

Ha az ortonormált bázis jobbkezes, akkor teljesülnek a következők:

{\vec{e}}_{u_{i}} \times {\vec{e}}_{u_{j}} = ε_{i j k} {\vec{e}}_{u_{k}}

,

i, j, k = 1, 2, 3

(

ε

: Levi-Civita-szimbólum)

Bővebben:

\begin{matrix} {\vec{e}}_{u_{1}} \times {\vec{e}}_{u_{2}} & = {\vec{e}}_{u_{3}} & {\vec{e}}_{u_{2}} \times {\vec{e}}_{u_{3}} & = {\vec{e}}_{u_{1}} & {\vec{e}}_{u_{3}} \times {\vec{e}}_{u_{1}} & = {\vec{e}}_{u_{2}} \\ {\vec{e}}_{u_{2}} \times {\vec{e}}_{u_{1}} & = - {\vec{e}}_{u_{3}} & {\vec{e}}_{u_{3}} \times {\vec{e}}_{u_{2}} & = - {\vec{e}}_{u_{1}} & {\vec{e}}_{u_{1}} \times {\vec{e}}_{u_{3}} & = - {\vec{e}}_{u_{2}} \end{matrix}

Egyenes vonalú koordináta-rendszerek

Általában a görbe vonalú koordináta-rendszerekben nincs globális bázis, mivel a koordinátavonalak nem egyenesek. Globális bázis csak abban a speciális esetben létezik, hogyha a koordinátavonalak egyenesek. Ekkor a koordinátafelületek síkok, seregeik párhuzamos síkseregeket alkotnak. Ekkor a transzformációs egyenletek így alakulnak:

x_{i} = \sum_{j = 1}^{n} A_{i j} u_{j} + b_{i} ⟺ J_{i j} \equiv \frac{\partial x_{i}}{\partial u_{j}} = A_{i j}

ahol $A_{i j}$ és $b_{i}$ konstansok. A $J$ Jacobi-mátrix megfelel az $A$ transzformációs mátrixnak. Így a ${\vec{b}}_{u_{i}}$ természetes egységvektorok alkotják az $A$ mátrix $i$ -edik oszlopát.

Duális bázis: kontravariáns bázis

A kontravariáns bázisvektorok minden pontban merőlegesek a megfelelő koordinátafelületekre. Duálisak a kovariáns bázisvektorokra. Egy vektor kontravariáns komponensei megkaphatók a kontravariáns bázisvektorokra való vetítéssel.

Ortogonális koordináták

A $\vec{a} = \sum_{j = 1}^{n} a_{u_{j}} {\vec{e}}_{u_{j}}$ vektor $a_{u_{i}}$ kontraviariáns koordinátái egy ${\vec{e}}_{u_{i}} \cdot {\vec{e}}_{u_{j}} = δ_{i j}$ ortonormált bázis számára megkaphatók vetítéssel:

{\vec{e}}_{u_{i}} \cdot \vec{a} = \sum_{j = 1}^{n} a_{u_{j}} {\vec{e}}_{u_{i}} \cdot {\vec{e}}_{u_{j}} = \sum_{j = 1}^{n} a_{u_{j}} δ_{i j} = a_{u_{i}}

Nem derékszögű koordináta-rendszerekben egy vektor egy kovariáns koordinátája megkapható a ${\vec{e}}_{u_{i}} \cdot \vec{a}$ vetítéssel a megfelelő kovariáns koordinátára. Ez nem a $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordináta, mivel nem teljesül a ${\vec{e}}_{u_{i}} \cdot {\vec{e}}_{u_{j}} = δ_{i j}$ reláció, azaz a metrikus tenzor nem diagonális. Ehhez szükség van a duális tér és a duális bázis fogalmára.

Duális tér és duális bázis

Az érintővektorok $V$ vektorterének duális $V^{*}$ tere azokból a lineáris funkcionálokból áll, amelyek a vektorokat az alattuk levő testre képezik le: $f : V \to K, \vec{v} \mapsto f [\vec{v}]$ . A $V^{*}$ duális tér egy bázisát alkotják a $V$ -hez duális bázisvektorok. A duális bázisvektorokat úgy definiálják, hogy ${\vec{e}}_{i}^{*} [{\vec{e}}_{j}] = δ_{i j}$ .

Definiáljuk továbbá a következő bilineáris formát: $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : V^{*} \times V \to K, ⟨ f, \vec{v} ⟩ = f [\vec{v}]$ . Ez az úgynevezett duális párosítás. Így a ${\vec{e}}_{i}^{*} \in V^{*}$ duális bázisvektorok hatása a ${\vec{e}}_{j} \in V$ bázisvektorokra:

⟨ {\vec{e}}_{i}^{*}, {\vec{e}}_{j} ⟩ = δ_{i j}

Véges dimenziós $V$ tér esetén $V^{*}$ izomorf $V$ -hez, azaz $V ≅ V^{*}$ . Az $E^{n}$ euklideszi térben (ami $ℝ^{n}$ skalárszorzattal ellátva) a duális párosítás azonosítható az

⟨ {\vec{w}}^{*}, \vec{v} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} w_{i}^{*} v_{i} \equiv {\vec{w}}^{*} \cdot \vec{v} = \vec{w} \underline{\underline{g}} \vec{v}

skalárszorzattal, így a duális vektorok azonosíthatók vektorokként. Itt $K = ℝ$ és $V = ℝ^{n}$ illetve $V^{*} = ℝ^{n}$ .

Duális bázis

A duális bázist úgy definiálják, hogy a ${\vec{e}}_{u_{j}}$ (kovariáns bázisvektorok) és a ${\vec{e}}_{u_{i}}^{*}$ (kontravariáns bázisvektorok, jelen esetben ${\vec{e}}_{u_{j}}$ normált bázisvektorok) skaláris szorzata:

{\vec{e}}_{u_{i}}^{*} \cdot {\vec{e}}_{u_{j}} = δ_{i j} ahol {\vec{b}}_{u_{j}} = h_{u_{j}} {\vec{e}}_{u_{j}}, {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} = \frac{1}{h_{u_{i}}} {\vec{e}}_{u_{i}}^{*}

.

legyen. Hasonlóan, a ${\vec{b}}_{u_{j}}$ természetes bázisvektorokra és ${\vec{b}}_{u_{i}}^{*}$ duális bázisvektoraikra:

{\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}} = δ_{i j}

.

A ${\vec{b}}_{u_{j}}$ természetes bázisvektorokra és ${\vec{e}}_{u_{i}}^{*}$ duális bázisvektoraikra mátrixjelöléssel:

[{\vec{b}}_{u_{1}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{2}}^{*}, \dots, {\vec{b}}_{u_{n}}^{*}]^{T} [{\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, \dots, {\vec{b}}_{u_{n}}] = \underline{\underline{E}}

Mivel a kovariáns bázisvektorokból, mint oszlopokból alkotott Jacobi-mátrix megfelel annak, hogy $\underline{\underline{J}} = [{\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, \dots, {\vec{b}}_{u_{n}}]$ , azért a kontravariáns vektorokból, mint sorvektorokból alkotott mátrixnak az inverz Jacobi-mátrixnak kell lennie:

{\underline{\underline{J}}}^{- 1} = [{\vec{b}}_{u_{1}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{2}}^{*}, \dots, {\vec{b}}_{u_{n}}^{*}]^{T}

Tehát a duális bázisvektorok megkaphatók a Jacobi-mátrix invertálásával.

A kontravariáns bázisvektorok Gram-determinánsa megegyezik a kovariáns bázisvektorokból alkotott mátrix determinánsának inverzével:

\det [{\vec{b}}_{u_{1}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{2}}^{*}, \dots, {\vec{b}}_{u_{n}}^{*}]^{T} = \det (J^{- 1}) = \frac{1}{\det (J)} = \frac{1}{\sqrt{g}}

Kovariáns komponensek

Az új bázisban az összes $\vec{a}$ kifejezhető a ${\vec{e}}_{u_{i}}^{*}$ (normált), illetve a természetes ${\vec{b}}_{u_{i}}^{*}$ bázisban:

\vec{a} = \sum_{i = 1}^{n} a_{u_{i}}^{*} {\vec{e}}_{u_{i}}^{*} = \sum_{i = 1}^{n} {\tilde{a}}_{u_{i}}^{*} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} ahol {\tilde{a}}_{u_{i}}^{*} = h_{u_{i}} a_{u_{i}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} = \frac{1}{h_{u_{i}}} {\vec{e}}_{u_{i}}^{*}

Itt $a_{u_{i}}^{*}$ illetve ${\tilde{a}}_{u_{i}}^{*}$ kovariáns vektorkomponensek, ami a $a_{u_{i}}^{*}$ illetve ${\tilde{a}}_{u_{i}}^{*}$ koordinátafelületek normálisának irányába mutat. A tenzoranalízisben ${\tilde{a}}_{u_{i}}^{*}$ indexeit alsó indexbe írják.

A koordináták mint a bázivektorokra vett vetületek

Egy $\vec{a} = \sum_{j = 1}^{n} a_{u_{j}} {\vec{e}}_{u_{j}}$ vektor $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordinátáját az ${\vec{e}}_{u_{i}}^{*}$ bázisvektorra vett vetítéssel kaphatjuk; ez a kontravariáns bázis, a tenzoranalízisben felső indexet használva ( ${\vec{e}}^{i}$ ):

{\vec{e}}_{u_{i}}^{*} \cdot \vec{a} = \sum_{j = 1}^{n} a_{u_{j}} {\vec{e}}_{u_{i}}^{*} \cdot {\vec{e}}_{u_{j}} = \sum_{j = 1}^{n} a_{u_{j}} δ_{i j} = a_{u_{i}}

Ortonormális bázisvektorok esetén a ko- és kontravariáns bázisvektorok megegyezne, így a ko- és kontravariáns koordináták is.

Általában, egy tetszőleges vektor ábrázolható ko- és kontravariáns bázisban:

\vec{a} = \sum_{i = 1}^{n} a_{u_{i}} {\vec{b}}_{u_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} a_{u_{i}}^{*} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*}

Így a kontravariáns bázis a kovariáns koordinátákkal, és a kovariáns bázis a kontravariáns koordinátákkal kombinálódik. Ez a tulajdonság megőrzi a vektorokat a koordináta-rendszer megváltoztatásakor.

Mindkét oldalt megszorozva ${\vec{b}}_{u_{j}}$ -vel kapjuk, hogy:

\sum_{i = 1}^{n} a_{u_{i}} \underset{g_{i j}}{\underset{⏟}{{\vec{b}}_{u_{i}} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}}}} = \sum_{i = 1}^{n} a_{u_{i}}^{*} \underset{δ_{i j}}{\underset{⏟}{{\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}}}} \Rightarrow a_{u_{j}}^{*} = \sum_{i = 1}^{n} g_{i j} a_{u_{i}} \Rightarrow a_{u_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} g_{i j}^{- 1} a_{u_{j}}^{*}

Így a $g_{i j} = {\vec{b}}_{u_{i}} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}}$ metrikus tenzorok és $g_{i j}^{- 1} = {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}}^{*}$ inverzük segítségével az $a_{u_{i}}$ kontravariáns koordináták átvihetők a $a_{u_{j}}^{*}$ kovariáns koordinátákba és vissza. A tenzorok nyelvén: az index emelhető és süllyeszthető.

Ortogonális koordináták

Ortogonális koordináta-rendszerekben egybeesnek a bázisvektorok és a duális bázisvektorok normáltjai. Ez a természetes bázisokra azt jelenti, hogy a megfelelő bázisvektorok párhuzamosak, és egy $h_{u_{i}}^{2}$ faktorszorosa az egyik a másiknak:

{\vec{e}}_{u_{i}}^{*} = {\vec{e}}_{u_{i}} ⟺ h_{u_{i}} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} = \frac{1}{h_{u_{i}}} {\vec{b}}_{u_{i}} \equiv {\vec{e}}_{u_{i}}

Normált bázisok esetén a koordináták megegyeznek:

a_{u_{i}}^{*} = a_{u_{i}} ⟺ \frac{1}{h_{u_{i}}} {\tilde{a}}_{u_{i}}^{*} = h_{u_{i}} {\tilde{a}}_{u_{i}} \equiv a_{u_{i}}

Három dimenzióban

Három dimenzióban a duális bázisvektorok kifejezhetők a bázisvektorok vektorszorzatát elosztva a bázisvektorok $\det ({\vec{e}}_{u_{1}}, {\vec{e}}_{u_{2}}, {\vec{e}}_{u_{3}})$ illetve $\det ({\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, {\vec{b}}_{u_{3}}) = \sqrt{g}$ vegyes szorzatával:

{\vec{e}}_{u_{1}}^{*} = \frac{{\vec{e}}_{u_{2}} \times {\vec{e}}_{u_{3}}}{\det ({\vec{e}}_{u_{1}}, {\vec{e}}_{u_{2}}, {\vec{e}}_{u_{3}})}, {\vec{e}}_{u_{2}}^{*} = \frac{{\vec{e}}_{u_{3}} \times {\vec{e}}_{u_{1}}}{\det ({\vec{e}}_{u_{1}}, {\vec{e}}_{u_{2}}, {\vec{e}}_{u_{3}})}, {\vec{e}}_{u_{3}}^{*} = \frac{{\vec{e}}_{u_{1}} \times {\vec{e}}_{u_{2}}}{\det ({\vec{e}}_{u_{1}}, {\vec{e}}_{u_{2}}, {\vec{e}}_{u_{3}})}

Kompaktabban, a normált bázisvektorokkal:

\sum_{k = 1}^{3} ϵ_{i j k} {\vec{e}}_{u_{k}}^{*} = \frac{{\vec{e}}_{u_{i}} \times {\vec{e}}_{u_{j}}}{\det ({\vec{e}}_{u_{1}}, {\vec{e}}_{u_{2}}, {\vec{e}}_{u_{3}})}

és a természetes bázisvektorokkal:

\sum_{k = 1}^{3} ϵ_{i j k} {\vec{b}}_{u_{k}}^{*} = \frac{{\vec{b}}_{u_{i}} \times {\vec{b}}_{u_{j}}}{\sqrt{g}}

Míg a (kovariáns) bázisvektorok érintik a koordinátavonalakat, addig a (kontravariáns) duális bázis vektorai merőlegesek a koordinátafelületekre. Például, ha ${\vec{e}}_{u_{2}}$ és ${\vec{e}}_{u_{3}}$ része egy koordinátafelületnek, akkor erre az ${\vec{e}}_{u_{1}}^{*}$ merőleges.

Megfordítva, a kontravariáns bázisvektorokkal hasonlóan kifejezhetők a kovariáns bázisvektorok. Tehát a vektorszorzatot elosztjuk a $\det ({\vec{b}}_{u_{1}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{2}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{3}}^{*}) = 1 / \sqrt{g}$ illetve $\det ({\vec{e}}_{u_{1}}^{*}, {\vec{e}}_{u_{2}}^{*}, {\vec{e}}_{u_{3}}^{*})$ vegyes szorzattal:

\sum_{k = 1}^{3} ϵ_{i j k} {\vec{e}}_{u_{k}} = \frac{{\vec{e}}_{u_{i}}^{*} \times {\vec{e}}_{u_{j}}^{*}}{\det ({\vec{e}}_{u_{1}}^{*}, {\vec{e}}_{u_{2}}^{*}, {\vec{e}}_{u_{3}}^{*})} = \det ({\vec{e}}_{u_{1}}, {\vec{e}}_{u_{2}}, {\vec{e}}_{u_{3}}) {\vec{e}}_{u_{i}}^{*} \times {\vec{e}}_{u_{j}}^{*}

\sum_{k = 1}^{3} ϵ_{i j k} {\vec{b}}_{u_{k}} = \frac{{\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \times {\vec{b}}_{u_{j}}^{*}}{\det ({\vec{b}}_{u_{1}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{2}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{3}}^{*})} = \det ({\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, {\vec{b}}_{u_{3}}) {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \times {\vec{b}}_{u_{j}}^{*} = \sqrt{g} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \times {\vec{b}}_{u_{j}}^{*}

Ha a kovariáns vektorok jobbsodrású bázist alkotnak, akkor a kontravariáns bázisvektorok is jobbsodratú koordináta-rendszert alkotnak. A két determináns szorzatának ugyanis egynek kell lennie.

Tenzorok

Egy $n$ -fokú tenzor kifejezhető $n$ - vektor tenzorszorzataként:

{\vec{v}}_{1} \otimes {\vec{v}}_{2} \otimes \dots \otimes {\vec{v}}_{n}

A tenzorszorzás nem kommutatív, így a vektorok sorrendje nem cserélhető fel. Az ${u_{i}}$ skalárok az alaptest elemei, tehát $ϕ : ℝ^{n} \to ℝ$ , melyek koordinátatranszformáció során nem változtatnak értéket: $ϕ (u_{i}) = \tilde{ϕ} ({\tilde{u}}_{i})$ . A skalárok nulladfokú, a vektorok elsőfokú tenzorok.

A vektorok kétfélék lehetnek, ko- és kontravariáns módon ábrázolhatók, ami $n$ -edfokú tenzorok számára $2^{n}$ lehetőséget biztosít. A vektorokkal történő ábrázolással a vektorok tulajdonságait a tenzorok is öröklik. Így például metrikus tenzorokkal az indexek emelhetők és süllyeszthetők, azaz a ko- és kontravariáns ábrázolások egymásba átvihetők. Az indexek emelésével és süllyesztésével egymásból kapható tenzorok egymás asszociáltjai. A tenzorok átveszik a vektorok transzformációval szembeni viselkedését, így a kovariáns részek úgy transzformálódnak, mint a kovariáns vektorok, tehát a Jacobi-mátrixszal, és a kontravariáns részek úgy, mint a kontravariáns vektorok, tehát a Jacobi-mátrix inverzével.

Másodfokú tenzorok

Egy másodfokú tenzor négyféleképpen ábrázolható:

\underline{\underline{T}} = \vec{v} \otimes \vec{w} = \sum_{i, j = 1}^{n} v_{u_{i}} w_{u_{j}} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \otimes {\vec{b}}_{u_{j}}^{*} = \sum_{i, j = 1}^{n} v_{u_{i}}^{*} w_{u_{j}}^{*} {\vec{b}}_{u_{i}} \otimes {\vec{b}}_{u_{j}} = \sum_{i, j = 1}^{n} v_{u_{i}} w_{u_{j}}^{*} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \otimes {\vec{b}}_{u_{j}} = \sum_{i, j = 1}^{n} v_{u_{i}}^{*} w_{u_{j}} {\vec{b}}_{u_{i}} \otimes {\vec{b}}_{u_{j}}^{*}

A négy eset: (tiszta) kontravariáns, (tiszta) kovariáns, kontra-kovaráns, ko-kovariáns.

Az egységtenzor, melyet az $\underline{\underline{I}} \cdot \vec{v} = \vec{v}$ egyenlőség definiál:

\underline{\underline{I}} = \sum_{i, j = 1}^{n} g_{i j} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \otimes {\vec{b}}_{u_{j}}^{*} = \sum_{i, j = 1}^{n} g^{i j} {\vec{b}}_{u_{i}} \otimes {\vec{b}}_{u_{j}} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \otimes {\vec{b}}_{u_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{b}}_{u_{i}} \otimes {\vec{b}}_{u_{i}}^{*}

Skalárszorzat

Két vektor skalárszorzata:

\vec{v} \cdot \vec{w} = \sum_{i = 1}^{n} v_{u_{i}} w_{u_{i}}^{*} = \sum_{i = 1}^{n} v_{u_{i}}^{*} w_{u_{i}} = \sum_{i, j = 1}^{n} v_{u_{i}}^{*} g^{i j} w_{u_{j}}^{*} = \sum_{i, j = 1}^{n} v_{u_{i}} g_{i j} w_{u_{j}}

Ez megfelel a $\vec{v} \otimes \vec{w}$ másodfokú tenzor kontrakciójának egy nulladfokú tenzorra.

Harmadfokú tenzorok

Egy harmadfokú tenzor nyolcféleképpen ábrázolható:

\underline{\underline{\underline{T}}} = \vec{a} \otimes \vec{b} \otimes \vec{c} = \sum_{i, j, k = 1}^{n} a_{u_{i}} b_{u_{j}} c_{u_{k}} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \otimes {\vec{b}}_{u_{j}}^{*} \otimes {\vec{b}}_{u_{k}}^{*} = \sum_{i, j, k = 1}^{n} a_{u_{i}} b_{u_{j}} c_{u_{k}}^{*} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \otimes {\vec{b}}_{u_{j}}^{*} \otimes {\vec{b}}_{u_{k}} = \dots = \sum_{i, j, k = 1}^{n} a_{u_{i}}^{*} b_{u_{j}}^{*} c_{u_{k}}^{*} {\vec{b}}_{u_{i}} \otimes {\vec{b}}_{u_{j}} \otimes {\vec{b}}_{u_{k}}

Három dimenzióban a teljesen antiszimmetrikus tenzor adódik, mint:

Az első reláció a Descartes-féle írásmód, a következő kettő pedig a görbe vonalú tenzorverzió leírásai közül kettő.

\underline{\underline{\underline{ℰ}}} = \sum_{i, j, k = 1}^{n} ϵ_{i j k} {\vec{e}}_{x_{i}} \otimes {\vec{e}}_{x_{j}} \otimes {\vec{e}}_{x_{k}} = \sum_{i, j, k = 1}^{n} ℰ_{i j k} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} \otimes {\vec{b}}_{u_{j}}^{*} \otimes {\vec{b}}_{u_{k}}^{*} = \dots = \sum_{i, j, k = 1}^{n} ℰ^{i j k} {\vec{b}}_{u_{i}} \otimes {\vec{b}}_{u_{j}} \otimes {\vec{b}}_{u_{k}}

ϵ_{i j k} = \det [{\vec{e}}_{x_{i}}, {\vec{e}}_{x_{j}}, {\vec{e}}_{x_{k}}] \equiv \det [{\vec{e}}_{x_{i}}, {\vec{e}}_{x_{j}}, {\vec{e}}_{x_{k}}], ℰ_{i j k} = \det [{\vec{b}}_{u_{i}}, {\vec{b}}_{u_{j}}, {\vec{b}}_{u_{k}}] = \sqrt{g} ϵ_{i j k}, ℰ^{i j k} = \det [{\vec{b}}_{u_{i}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{j}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{k}}^{*}] = \frac{1}{\sqrt{g}} ϵ^{i j k}

A bázisvektorok deriváltjai

A bázisvektorok deriváltjai görbe vonalú koordináta-rendszerekben a következőképpen különböznek a Descartes-féle koordináta-rendszerekben megszokottól. Mivel általában a koordinátagörbék nem egyenesek, és a bázisvektorok függenek a helytől, a bázisvektorokat is differenciálni kell. A szorzatszabályt alkalmazva:

\frac{\partial \vec{a}}{\partial u_{k}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial (a_{u_{i}} {\vec{e}}_{u_{i}})}{\partial u_{k}} = \sum_{i = 1}^{n} [\frac{\partial a_{u_{i}}}{\partial u_{k}} {\vec{e}}_{u_{i}} + a_{u_{i}} \frac{\partial {\vec{e}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}]

Illetve a természetes bázisban:

\frac{\partial \vec{a}}{\partial u_{k}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial ({\tilde{a}}_{u_{i}} {\vec{b}}_{u_{i}})}{\partial u_{k}} = \sum_{i = 1}^{n} [\frac{\partial {\tilde{a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} {\vec{b}}_{u_{i}} + {\tilde{a}}_{u_{i}} \frac{\partial {\vec{b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}]

Christoffel-szimbólum

Az ${\vec{b}}_{u_{i}}$ bázisvektor egy $u_{k}$ koordináta szerinti deriváltja kifejezhető a ${{\vec{b}}_{u_{j}} | j = 1, 2, \dots, n}$ bázisvektorok lineáris kombinációjával:

\frac{\partial {\vec{b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} = \sum_{j = 1}^{n} Γ_{k i}^{j} {\vec{b}}_{u_{j}}

A $Γ_{k i}^{j}$ együtthatók másodfajú Christoffel-szimbólumok.

Γ_{k i}^{j} = {\vec{b}}_{u_{j}}^{*} \frac{\partial {\vec{b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} = \sum_{l} g^{j l} {\vec{b}}_{u_{l}}^{} \frac{\partial {\vec{b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} = \sum_{l} g^{j l} Γ_{k i, l} = (\nabla u_{j}) \cdot \frac{\partial^{2} \vec{r}}{\partial u_{k} \partial u_{i}} = \sum_{l} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{l}} \frac{\partial^{2} x_{l}}{\partial u_{k} \partial u_{i}}

A $Γ_{k i, l}$ mennyiségek elsőfajú Christoffel-szimbólumok. Egy természetes bázisvektor teljes differenciálja:

d {\vec{b}}_{u_{i}} = \sum_{j, k = 1}^{n} Γ_{k i}^{j} {\vec{b}}_{u_{j}} d u_{k}

Egy vektor deriváltja kifejezhető Christoffel-szimbólumokkal:

\frac{\partial \vec{a}}{\partial u_{k}} = \sum_{i = 1}^{n} [\frac{\partial {\tilde{a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} {\vec{b}}_{u_{i}} + \sum_{j = 1}^{n} {\tilde{a}}_{u_{i}} Γ_{k i}^{j} {\vec{b}}_{u_{j}}] = \sum_{i = 1}^{n} [\frac{\partial {\tilde{a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} + \sum_{j = 1}^{n} {\tilde{a}}_{u_{j}} Γ_{k j}^{i}] {\vec{b}}_{u_{i}}

Itt a második egyenlőségjelnél felcseréltük az $i$ és $j$ indexeket, mivel mindkettőre összegzünk, és felbontottuk ${\vec{b}}_{u_{i}}$ zárójeleit.

Kovariáns derivált

Erre alapozható egy vektor kovariáns deriváltja:

\nabla_{u_{k}} {\tilde{a}}_{u_{i}} = \frac{\partial {\tilde{a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} + \sum_{j = 1}^{n} {\tilde{a}}_{u_{j}} Γ_{k j}^{i}

Az első term az $\vec{a}$ vektormező ${\tilde{a}}_{u_{i}}$ komponensének megváltozását írja le az $u_{k}$ koordinátatengely mentén, a második a mező megváltozását, amit a koordináta-rendszer változása von magával. Egyenes vonalú koordináta-rendszerekben, ahol a metrikus tenzor konstans, a Christoffel-szimbólumok eltűnnek, és a kovariáns derivált megegyezik a parciális deriválttal.

A kovariáns derivált a sokaság geometriájának további geometriai szerkezetét tárja fel, ami lehetővé teszi különböző vektorterek és érintőterek vektorainak összehasonlítását. Így a kovariáns derivált különböző vektorterek differenciálgeometriai összefüggését állítja elő. Ez ahhoz szükséges például, hogy kiszámítsák egy $\vec{γ} (t)$ görbe görbületét. Ehhez a ${\vec{γ}}^{'} (t + Δ t)$ és ${\vec{γ}}^{'} (t)$ vektorok differenciálhányadosát kell képezni, melyek különböző vektorterekben élnek.

A metrikus tenzorok kovariáns deriváltjának koordinátái eltűnnek: $\nabla_{u_{k}} g_{i j} = \nabla_{u_{k}} g^{i j} = 0$ .

A kovariáns deriválttal általánosíthatók az irány szerinti deriváltak:

\nabla_{\vec{w}} \vec{a} = \sum_{i, k = 1}^{n} ({\tilde{w}}_{u_{k}} \frac{\partial {\tilde{a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} + \sum_{j = 1}^{n} {\tilde{w}}_{u_{k}} {\tilde{a}}_{u_{j}} Γ_{k j}^{i}) {\vec{b}}_{u_{i}}

Például ha egy görbe egy Riemann-sokaság geodetikus vonala, akkor definíció szerint két pont között a legrövidebb $γ : ℝ \to ℝ^{n}, t \mapsto \vec{r} (t)$ összekötő vonal a sokaságon belül, ami kifejezhető az $\nabla_{\dot{γ}} \dot{γ} = 0$ geodetikus differenciálegyenlettel. Ez azt jelenti, hogy az $\dot{\vec{r}}$ görbe sebesség-vektormezője (érintő-vektormezője) konstans a $γ$ görbe mentén. Ez a definíció annak felel meg, hogy $ℝ^{n}$ geodetikus vonalai egyenesek. A görbe görbülete így eltűnik, így az érintővektor deriváltja is nulla végig a görbe mentén. Lokális koordinátákkal a geodetikus differenciálegyenlet:

\nabla_{\dot{\vec{r}}} \dot{\vec{r}} = \sum_{i, k = 1}^{n} (\underset{{\dot{u}}_{k}}{\underset{⏟}{\frac{d u_{k}}{d t}}} \frac{\partial {\dot{u}}_{i}}{\partial u_{k}} + \sum_{j = 1}^{n} {\dot{u}}_{k} {\dot{u}}_{j} Γ_{k j}^{i}) {\vec{b}}_{u_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{d {\dot{u}}_{i}}{d t} + \sum_{j, k = 1}^{n} {\dot{u}}_{k} {\dot{u}}_{j} Γ_{k j}^{i}) {\vec{b}}_{u_{i}}

A Christoffel-szimbólumok a $\nabla$ affin összefüggés koordinátái. Ha az együtthatók adottak, akkor megadtuk, hogy a sokaságban hogyan változnak pontról pontra a koordináta-rendszerek. Lehet, hogy több információnk van a térről és a benne levő differenciálható sokaságról, így tudjuk, hogy mit értünk kovariáns differenciáláson, így a Christoffel-szimbólumok meghatározhatók. Az utóbbi esetben be kell látni, hogy Riemann-sokaságról van szó, és a sokaság minden érintőtere skalárszorzat, így metrikát indukál, tehát van távolság.

Mivel a tekintetbe vett sokaságok (szemi)-Riemann-sokaságok (itt eltűnik a torziótenzor), azért a $\nabla$ összefüggés egy Levi-Civita-összefüggés, vagyis torziómentes, illetve szimmetrikus, és emellett még metrikus összefüggés is. Torziómentessége miatt az antiszimmetrizált $\nabla_{\vec{w}} \vec{a} - \nabla_{\vec{a}} \vec{w}$ irány menti derivált megegyezik a $L_{\vec{w}} \vec{a} \equiv [\vec{w}, \vec{a}]$ Lie-deriválttal. Míg az $\nabla_{\vec{w}} \vec{a}$ irány menti derivált lineáris az $\vec{w}$ iránymezőben, azért az $L_{\vec{w}} \vec{a}$ Lie-derivált egy argumentumában sem lineáris.

A Christoffel-szimbólumok tulajdonságai

Schwarz tétele, illetve a $\nabla$ torziómentessége miatt a Christoffel-szimbólumok szimmetrikusak két alsó indexükben:

\frac{\partial {\vec{b}}_{u_{i}}}{\partial u_{j}} = \frac{\partial^{2} \vec{r}}{\partial u_{j} \partial u_{i}} = \frac{\partial^{2} \vec{r}}{\partial u_{i} \partial u_{j}} = \frac{\partial {\vec{b}}_{u_{j}}}{\partial u_{i}} ⟹ Γ_{i j}^{k} = Γ_{j i}^{k}

Ez alapján a Christoffel-szimbólumok a $g_{i j}$ metrikus együtthatók alapján:

Γ_{k i, l} = \frac{1}{2} (\frac{\partial g_{i l}}{\partial u_{k}} + \frac{\partial g_{k l}}{\partial u_{i}} - \frac{\partial g_{k i}}{\partial u_{l}}) ⟹ Γ_{k i}^{j} = \sum_{l = 1}^{n} \frac{g^{j l}}{2} (\frac{\partial g_{i l}}{\partial u_{k}} + \frac{\partial g_{k l}}{\partial u_{i}} - \frac{\partial g_{k i}}{\partial u_{l}})

Ez következik abból a relációból, hogy:

\frac{\partial g_{i j}}{\partial u_{k}} = \frac{\partial ({\vec{b}}_{u_{i}} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}})}{\partial u_{k}} = \frac{\partial {\vec{b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}} + {\vec{b}}_{u_{i}} \cdot \frac{\partial {\vec{b}}_{u_{j}}}{\partial u_{k}} = \sum_{l} Γ_{i k}^{l} {\vec{b}}_{u_{l}} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}} + \sum_{l} Γ_{j k}^{l} {\vec{b}}_{u_{i}} \cdot {\vec{b}}_{u_{l}} = \sum_{l} Γ_{i k}^{l} g_{j l} + \sum_{l} Γ_{j k}^{l} g_{i l} = Γ_{i k, j} + Γ_{j k, i}

és $\partial_{k} g_{i j}$ két permutációjából, azaz $\partial_{i} g_{j k}$ -ból és $\partial_{j} g_{k i}$ -ből.

A duális bázisvektorok deriváltjára a következő összefüggést kapjuk:

Γ_{k i}^{j} = {\vec{b}}_{u_{j}}^{*} \cdot \frac{\partial {\vec{b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} = \underset{0}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial u_{k}} \overset{δ_{i j}}{\overset{⏞}{{\vec{b}}_{u_{j}}^{*} \cdot {\vec{b}}_{u_{i}}}}}} - \frac{\partial {\vec{b}}_{u_{j}}^{*}}{\partial u_{k}} \cdot {\vec{b}}_{u_{i}} = - \frac{\partial {\vec{b}}_{u_{j}}^{*}}{\partial u_{k}} \cdot {\vec{b}}_{u_{i}} ⟹ \frac{\partial {\vec{b}}_{u_{j}}^{*}}{\partial u_{k}} = - Γ_{k i}^{j} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*}

Ez alapján a kovariáns komponensek kovariáns deriváltjai:

\frac{\partial \vec{a}}{\partial u_{k}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial ({\tilde{a}}_{u_{i}}^{*} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*})}{\partial u_{k}} = \sum_{i = 1}^{n} [\frac{\partial {\tilde{a}}_{u_{i}}^{*}}{\partial u_{k}} - \sum_{j} {\tilde{a}}_{u_{j}}^{*} Γ_{k i}^{j}] {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} ⟹ \nabla_{u_{k}} {\tilde{a}}_{u_{i}}^{*} = \frac{\partial {\tilde{a}}_{u_{i}}^{*}}{\partial u_{k}} - \sum_{j = 1}^{n} {\tilde{a}}_{u_{j}}^{*} Γ_{k i}^{j}

Fontos megjegyezni, hogy a Christoffel-szimbólumok három indexükkel nem írnak le harmadfokú tenzort, mivel nem mutatják a tenzoroknál megkövetelt viselkedést a transzformációkkal szemben:

{\bar{Γ}}_{i j}^{k} : = \sum_{l, m, n} \frac{\partial {\bar{u}}_{k}}{\partial u_{l}} \frac{\partial u_{m}}{\partial {\bar{u}}_{i}} \frac{\partial u_{n}}{\partial {\bar{u}}_{j}} Γ_{m n}^{l} + \sum_{n} \frac{\partial {\bar{u}}_{k}}{\partial u_{n}} \frac{\partial^{2} u_{n}}{\partial {\bar{u}}_{i} \partial {\bar{u}}_{j}}

A transzformációs formulában szereplő második tag miatt nincs szó tenzorról. Emiatt a Christoffel-szimbólumokat jelölik úgy is, hogy ne lehessen tenzornak nézni őket:

Γ_{i j}^{k} = {\begin{matrix} k \\ i j \end{matrix}} illetve Γ_{i j, k} = [i j, k]

A transzformációval szembeni viselkedésről tett kijelentés általánosítható: Egy tenzor parciális deriváltjának indexe ( $i$ ) úgy transzformálódik, mint egy kovariáns index ( $\partial_{i} A$ ). Ezzel szemben egy $\partial_{i} \partial_{j} A$ második parciális derivált indexei ( $i, j$ ) közül egyik sem transzformálódik tenzorindexek módjára. Kiutat a kovariáns derivált jelent: Egy tenzorkoordináta $n$ -edik kovariáns deriváltja újra tenzorkoordináta, kovariáns index módjára transzformálódik. Például ebben: $\nabla_{i} \nabla_{j} A$ $i$ és $j$ kovariáns indexek.

Görbe vonalú koordináták három dimenzióban

Vektorszorzat és alternáló tenzor

Descartes-koordinátákban a vektorszorzás az $ϵ^{i j k}$ Levi-Civita szimbólummal:

\vec{v} \times \vec{w} = \sum_{i j k} ϵ_{i j k} v_{j} w_{k} {\vec{e}}_{i}^{*} = \sum_{i j k} ϵ^{i j k} v_{j}^{*} w_{k}^{*} {\vec{e}}_{i} ahol ϵ_{i j k} = ϵ^{i j k} = \det [{\vec{e}}_{i}, {\vec{e}}_{j}, {\vec{e}}_{k}]

Görbe vonalú ${u_{i}}$ koordináták esetén az

ℰ_{i j k} = \det [{\vec{b}}_{u_{i}}, {\vec{b}}_{u_{j}}, {\vec{b}}_{u_{k}}] = \sqrt{g} ϵ_{i j k}, ℰ^{i j k} = \det [{\vec{b}}_{u_{i}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{j}}^{*}, {\vec{b}}_{u_{k}}^{*}] = \frac{1}{\sqrt{g}} ϵ^{i j k}

alternáló tenzor használható:

\begin{matrix} \vec{v} \times \vec{w} & = \sum_{i j k} ℰ_{i j k} {\tilde{v}}_{u_{j}} {\tilde{w}}_{u_{k}} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} = \sum_{i j k} ℰ^{i j k} {\tilde{v}}_{u_{j}}^{*} {\tilde{w}}_{u_{k}}^{*} {\vec{b}}_{u_{i}} \\ = \sqrt{g} | \begin{matrix} {\vec{b}}_{u_{1}}^{*} & {\vec{b}}_{u_{2}}^{*} & {\vec{b}}_{u_{3}}^{*} \\ {\tilde{v}}_{u_{1}} & {\tilde{v}}_{u_{2}} & {\tilde{v}}_{u_{3}} \\ {\tilde{w}}_{u_{1}} & {\tilde{w}}_{u_{2}} & {\tilde{w}}_{u_{3}} \end{matrix} | = \frac{1}{\sqrt{g}} | \begin{matrix} {\vec{b}}_{u_{1}} & {\vec{b}}_{u_{2}} & {\vec{b}}_{u_{3}} \\ {\tilde{v}}_{u_{1}}^{*} & {\tilde{v}}_{u_{2}}^{*} & {\tilde{v}}_{u_{3}}^{*} \\ {\tilde{w}}_{u_{1}}^{*} & {\tilde{w}}_{u_{2}}^{*} & {\tilde{w}}_{u_{3}}^{*} \end{matrix} | \end{matrix}

Ez levezethető abból, hogy ${\vec{b}}_{u_{j}} \times {\vec{b}}_{u_{k}} = \sum_{i} \sqrt{g} ϵ_{i j k} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*}$ :

ℰ_{i j k} : = ({\vec{b}}_{u_{j}} \times {\vec{b}}_{u_{k}}) \cdot {\vec{b}}_{u_{i}} = \sum_{l} \sqrt{g} ϵ_{l j k} \underset{δ_{l, i}}{\underset{⏟}{{\vec{b}}_{u_{l}}^{*} \cdot {\vec{b}}_{u_{i}}}} = \sqrt{g} ϵ_{i j k}

\vec{v} \times \vec{w} = \sum_{j k} ({\tilde{v}}_{u_{j}} {\vec{b}}_{u_{j}}) \times ({\tilde{w}}_{u_{k}} {\vec{b}}_{u_{k}}) = \sum_{j k} {\tilde{v}}_{u_{j}} {\tilde{w}}_{u_{k}} ({\vec{b}}_{u_{j}} \times {\vec{b}}_{u_{k}}) = \sum_{i j k} {\tilde{v}}_{u_{j}} {\tilde{w}}_{u_{k}} \underset{ℰ_{i j k}}{\underset{⏟}{\sqrt{g} ϵ_{i j k}}} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*}

A következő számításból látható, hogy $ℰ_{i j k}$ tenzorként viselkedik a transzformációkkal szemben. A kovariáns verzió:

\begin{matrix} ℰ_{i j k} : = \det [\frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{j}}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{k}}] & = \det [\sum_{l} \frac{\partial x_{l}}{\partial u_{i}} \underset{{\vec{e}}_{l}}{\underset{⏟}{\frac{\partial \vec{r}}{\partial x_{l}}}}, \sum_{m} \frac{\partial x_{m}}{\partial u_{j}} \underset{{\vec{e}}_{m}}{\underset{⏟}{\frac{\partial \vec{r}}{\partial x_{m}}}}, \sum_{n} \frac{\partial x_{n}}{\partial u_{k}} \underset{{\vec{e}}_{n}}{\underset{⏟}{\frac{\partial \vec{r}}{\partial x_{n}}}}] \\ = \sum_{l, m, n} \frac{\partial x_{l}}{\partial u_{i}} \frac{\partial x_{m}}{\partial u_{j}} \frac{\partial x_{n}}{\partial u_{k}} \underset{ϵ_{l m n}}{\underset{⏟}{\det [{\vec{e}}_{l}, {\vec{e}}_{m}, {\vec{e}}_{n}]}} \end{matrix}

A vektorszorzat a normált bázisban:

\begin{matrix} \vec{v} \times \vec{w} & = \sum_{i j k} ℰ_{i j k} \frac{v_{u_{j}} w_{u_{k}} {\vec{e}}_{u_{i}}^{*}}{h_{u_{j}} h_{u_{k}} h_{u_{i}}} = \sum_{i j k} ℰ^{i j k} h_{u_{j}} v_{u_{j}}^{*} h_{u_{k}} w_{u_{k}}^{*} h_{u_{i}} {\vec{e}}_{u_{i}} \\ = \sqrt{g} | \begin{matrix} h_{u_{1}}^{- 1} {\vec{e}}_{u_{1}}^{*} & h_{u_{2}}^{- 1} {\vec{e}}_{u_{2}}^{*} & h_{u_{3}}^{- 1} {\vec{e}}_{u_{3}}^{*} \\ h_{u_{1}}^{- 1} v_{u_{1}} & h_{u_{2}}^{- 1} v_{u_{2}} & h_{u_{3}}^{- 1} v_{u_{3}} \\ h_{u_{1}}^{- 1} w_{u_{1}} & h_{u_{2}}^{- 1} w_{u_{2}} & h_{u_{3}}^{- 1} w_{u_{3}} \end{matrix} | = \frac{1}{\sqrt{g}} | \begin{matrix} h_{u_{1}} {\vec{e}}_{u_{1}} & h_{u_{2}} {\vec{e}}_{u_{2}} & h_{u_{3}} {\vec{e}}_{u_{3}} \\ h_{u_{1}} v_{u_{1}}^{*} & h_{u_{2}} v_{u_{2}}^{*} & h_{u_{3}} v_{u_{3}}^{*} \\ h_{u_{1}} w_{u_{1}}^{*} & h_{u_{2}} w_{u_{2}}^{*} & h_{u_{3}} w_{u_{3}}^{*} \end{matrix} | \end{matrix}

Koordinátafelületek: belső geometria

Az általánosság megszorítás nélkül feltesszük, hogy az $u_{3} = const$ koordinátafelületről van szó. A felület egy nem normált normálvektora kollineáris a ${\vec{b}}_{u_{3}}^{*}$ kontravariáns bázisvektorral:

\vec{n} = {\vec{b}}_{u_{1}} \times {\vec{b}}_{u_{2}} = \sqrt{g} {\vec{b}}_{u_{3}}^{*}

Konvenció szerint $ℝ^{3}$ -ben egy felületet a belső geometria következő mennyiségeivel definiálhatjuk. Azért belső geometriai jellemzők, mivel megállapíthatók a felületen belül szög- és távolságméréssel (lásd első alapforma):

E = {(\frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{1}})}^{2} = {\vec{b}}_{u_{1}}^{2} = h_{u_{1}}^{2} = g_{11}

F = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{1}} \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{2}} = {\vec{b}}_{u_{1}} \cdot {\vec{b}}_{u_{2}} = h_{u_{1}} h_{u_{2}} {\vec{e}}_{u_{1}} \cdot {\vec{e}}_{u_{2}} = g_{12}

G = {(\frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{2}})}^{2} = {\vec{b}}_{u_{2}}^{2} = h_{u_{2}}^{2} = g_{22}

Ortogonális koordinátákban ${\vec{e}}_{u_{i}} \cdot {\vec{e}}_{u_{j}} = δ_{i j}$ , tehát $F = 0$ .

A felület metrikus tenzora és ennek Gram-determinánsa:

\underline{\underline{\tilde{g}}} = (\begin{matrix} E & F \\ F & G \end{matrix}) \Rightarrow \tilde{g} = \det \underline{\underline{\tilde{g}}} = E G - F^{2} = {\vec{b}}_{u_{1}}^{2} {\vec{b}}_{u_{2}}^{2} - ({\vec{b}}_{u_{1}} \cdot {\vec{b}}_{u_{2}})^{2} = ({\vec{b}}_{u_{1}} \times {\vec{b}}_{u_{2}})^{2}

A felület funkcionáldeterminánsa:

\sqrt{\tilde{g}} = \sqrt{E G - F^{2}} = | {\vec{b}}_{u_{1}} \times {\vec{b}}_{u_{2}} | = \det [{\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, \hat{n}]

ahol $\hat{n} = \vec{n} / | \vec{n} |$ a felület normált normálvektora.

Az inverz metrikus tenzor:

{\underline{\underline{\tilde{g}}}}^{- 1} = \frac{1}{\tilde{g}} (\begin{matrix} G & - F \\ - F & E \end{matrix})

Koordinátafelületek: Külső geometria

A következőkben a görög betűs indexek az 1,2 értékeket veszik fel, és a felület koordinátáit és bázisvektorait jelölik.

A $\hat{n}$ $u_{β}$ szerinti parciális deriváltja előállítható a ${\vec{e}}_{α}$ felület bázisvektorainak lineáris kombinációjaként. Ez következik a $\hat{n} \cdot \hat{n} = 1$ normálási feltételből a $\hat{n} \cdot \partial_{β} \hat{n} = 0$ deriváltból következően. Így $\partial_{β} \hat{n}$ ortogonális az $\hat{n}$ felületi normálisra, ennélfogva a felületben kell lennie. Bevezetünk egy másik $h$ mennyiséget is, ami másodfokú tenzor:

\partial_{β} \hat{n} = - \sum_{α = 1}^{2} h_{β}^{α} {\vec{e}}_{α} = - \sum_{α = 1}^{2} h_{α β} {\vec{e}}_{α}^{*}

A szakirodalom a $h$ tenzort másodfokú felülettenzornak, görbületi tenzornak vagy felülettenzornak nevezi. A $h_{α β}$ kovariáns koordináták számítása:

h_{α β} = - {\vec{e}}_{α} \cdot \partial_{β} \hat{n} = - \partial_{β} \underset{= 0}{\underset{⏟}{({\vec{e}}_{α} \cdot \hat{n})}} + \hat{n} \cdot \partial_{β} {\vec{e}}_{α} = \hat{n} \cdot \partial_{β} {\vec{e}}_{α} = \frac{1}{\sqrt{{\tilde{g}}^{}}} \det [{\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, \partial_{β} {\vec{e}}_{α}]

ahol $\hat{n} = ({\vec{b}}_{u_{1}} \times {\vec{b}}_{u_{2}}) / \sqrt{\tilde{g}}$ . Ez írható úgy is, mint:

h_{α β} = \hat{n} \cdot \frac{\partial^{2} \vec{r}}{\partial u_{β} \partial u_{α}} = \sum_{i, j, k = 1}^{3} \frac{1}{\sqrt{{\tilde{g}}^{}}} ϵ_{i j k} \frac{\partial x_{i}}{\partial u_{1}} \frac{\partial x_{j}}{\partial u_{1}} \frac{\partial^{2} x_{k}}{\partial u_{β} \partial u_{α}} = : {(\begin{matrix} L & M \\ M & N \end{matrix})}_{α β}

lásd második alapforma.

A $h_{α β}$ értékek kapcsolatba hozhatók a másodfajú Christoffel-szimbólumokkal. A $\hat{n} = {\vec{e}}_{3}^{*}$ helyettesítéssel:

h_{α β} = \hat{n} \cdot \partial_{β} {\vec{e}}_{α} = \hat{n} \cdot \sum_{i = 1}^{3} {\vec{e}}_{i} Γ_{α β}^{i} = \sum_{i = 1}^{3} \underset{δ_{i}^{3}}{\underset{⏟}{{\vec{e}}_{3}^{*} \cdot {\vec{e}}_{i}}} Γ_{α β}^{i} = Γ_{α β}^{3}

Innen a Gauß-Weingarten-egyenletek:

\partial_{β} {\vec{e}}_{α} = \sum_{γ = 1}^{2} Γ_{α β}^{γ} {\vec{e}}_{γ} + h_{α β} \hat{n}, \partial_{β} \hat{n} = - \sum_{γ = 1}^{2} h_{β}^{γ} {\vec{e}}_{γ}

A második alapforma függ a felület helyzetétől a körülvevő térben, és a görbületi számításokhoz szükséges. A $h_{β}^{α}$ vegyes, kontravariáns-kovariáns tenzor segítségével:

h_{β}^{α} = \sum_{γ = 1}^{2} {\tilde{g}}^{α γ} h_{γ β} = \frac{1}{\tilde{g}} {(\begin{matrix} G L - F M & G M - F N \\ - F L + E M & - F M + E N \end{matrix})}_{β}^{α}

a főgörbületek ( $h_{β}^{α}$ sajátértékei), $H = trace (h_{β}^{α}) / 2$ középgörbület és a $K = \det (h_{β}^{α})$ Gauß-görbület is számítható.

A Riemann-féle görbületi tenzor kifejezhető a $R_{α β γ}^{ν} = h_{β}^{ν} h_{α γ} - h_{γ}^{ν} h_{α β}$ tenzorszorzattal. További integrabilitási feltételek a $\nabla_{γ} h_{α β} - \nabla_{β} h_{α γ} = 0$ Mainardi-Codazzi-egyenletek.

Integrációs elemek három dimenzióban

Görbeelem

Egy vektoriális $d \vec{r}$ útelem vagy görbeelem kifejezhető a helyvektor teljes differenciáljaként:

d \vec{r} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}} d u_{i} = \sum_{i = 1}^{3} {\vec{b}}_{u_{i}} d u_{i} = \sum_{i = 1}^{3} {\vec{e}}_{u_{i}} h_{u_{i}} d u_{i}

Az $u_{i}$ koordinátavonalak iránya menti differenciálok azonosíthatók:

d {\vec{r}}_{u_{i}} = {\vec{b}}_{u_{i}} d u_{i} = {\vec{e}}_{u_{i}} h_{u_{i}} d u_{i}

Ügyeljünk arra, hogy $d {\vec{r}}_{u_{i}}$ indexe nem jelez kovarianciát. A vektoriális útelemek segítségével ív- felület- és térfogatelemek határozhatók meg.

Ívelem

A skaláris útelem vagy hosszelem, illetve ívelem definíció szerint $d s = | d \vec{r} |$

\begin{matrix} d s & = \sqrt{d \vec{r}^{2}} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{3} d {\vec{r}}_{u_{i}} \cdot d {\vec{r}}_{u_{i}}} = \sqrt{\sum_{i, j = 1}^{3} {\vec{b}}_{u_{i}} \cdot {\vec{b}}_{u_{j}} d u_{i} d u_{j}} = \sqrt{\sum_{i, j = 1}^{3} g_{i j} d u_{i} d u_{j}} \\ = \sqrt{g_{11} {(d u_{1})}^{2} + g_{22} {(d u_{2})}^{2} + g_{33} {(d u_{3})}^{2} + 2 g_{12} d u_{1} d u_{2} + 2 g_{13} d u_{1} d u_{3} + 2 g_{23} d u_{2} d u_{3}} \end{matrix}

Normált bázisvektorokkal:

d s = \sqrt{{(h_{u_{1}} d u_{1})}^{2} + \dots + 2 ({\vec{e}}_{u_{1}} \cdot {\vec{e}}_{u_{2}}) h_{u_{1}} h_{u_{2}} d u_{1} d u_{2} + \dots}

Az ${\vec{e}}_{u_{i}} \cdot {\vec{e}}_{u_{j}} = δ_{i j}$ ortogonális koordináták esetén:

g_{i j} = h_{u_{i}}^{2} δ_{i j}

és

d s = \sqrt{{(h_{u_{1}} d u_{1})}^{2} + {(h_{u_{2}} d u_{2})}^{2} + {(h_{u_{3}} d u_{3})}^{2}}

Speciálisan, ha a görbe a $u_{3} = const$ síkban fut, akkor az első alapforma:

\begin{matrix} d s & = \sqrt{{(h_{u_{1}} d u_{1})}^{2} + {(h_{u_{2}} d u_{2})}^{2} + 2 ({\vec{e}}_{u_{1}} \cdot {\vec{e}}_{u_{2}}) h_{u_{1}} h_{u_{2}} d u_{1} d u_{2}} \\ = \sqrt{E {(d u_{1})}^{2} + G {(d u_{2})}^{2} + 2 F d u_{1} d u_{2}} \end{matrix}

Felszínelem

Egy koordinátafelület felszíneleme:

d \vec{A} = \sum_{i = 1}^{3} d {\vec{A}}_{i} ahol ϵ_{i j k} d {\vec{A}}_{i} = \pm d {\vec{r}}_{u_{j}} \times d {\vec{r}}_{u_{k}} = \pm {\vec{b}}_{u_{j}} \times {\vec{b}}_{u_{k}} d u_{j} d u_{k} = \pm \sqrt{g} {\vec{b}}_{u_{i}}^{*} d u_{j} d u_{k}

Az előjelet az irányítás adja meg. A $d A = | d \vec{A} |$ mennyiséget skaláris felszínelemnek nevezik.

Az általánosság megszorítása nélkül tekinthetjük az $u_{3} = const$ koordinátafelületet:

d {\vec{A}}_{3} = \pm d {\vec{r}}_{u_{1}} \times d {\vec{r}}_{u_{2}} = \pm {\vec{b}}_{u_{1}} \times {\vec{b}}_{u_{2}} d u_{1} d u_{2} = \pm \sqrt{g} {\vec{b}}_{u_{3}}^{*} d u_{1} d u_{2}

\begin{matrix} d A_{3} & = | d {\vec{A}}_{3} | = | {\vec{b}}_{u_{1}} \times {\vec{b}}_{u_{2}} | d u_{1} d u_{2} = | \sqrt{g} {\vec{b}}_{u_{3}}^{*} | d u_{1} d u_{2} = | \vec{n} | d u_{1} d u_{2} \\ = \sqrt{{\vec{b}}_{u_{1}}^{2} {\vec{b}}_{u_{2}}^{2} - {({\vec{b}}_{u_{1}} \cdot {\vec{b}}_{u_{2}})}^{2}} d u_{1} d u_{2} = \sqrt{E G - F^{2}} d u_{1} d u_{2} = \sqrt{\tilde{g}} d u_{1} d u_{2} \end{matrix}

Normált bázisvektorokkal:

d {\vec{A}}_{3} = \pm {\vec{e}}_{u_{1}} \times {\vec{e}}_{u_{2}} h_{u_{1}} h_{u_{2}} d u_{1} d u_{2}

d A_{3} = | {\vec{e}}_{u_{1}} \times {\vec{e}}_{u_{2}} | | h_{u_{1}} h_{u_{2}} | d u_{1} d u_{2}

Ortogonális koordináták esetén:

d {\vec{A}}_{3} = \pm {\vec{e}}_{u_{3}} h_{u_{1}} h_{u_{2}} d u_{1} d u_{2} = \pm {\vec{e}}_{u_{3}} \sqrt{E G} d u_{1} d u_{2}

d A_{3} = | h_{u_{1}} h_{u_{2}} | d u_{1} d u_{2} = \sqrt{E G} d u_{1} d u_{2}

Térfogatelem

A térfogatelem:

d V = | d {\vec{r}}_{u_{1}} \cdot (d {\vec{r}}_{u_{2}} \times d {\vec{r}}_{u_{3}}) | = | \det [d {\vec{r}}_{u_{1}}, d {\vec{r}}_{u_{1}}, d {\vec{r}}_{u_{3}}] | = | \det [{\vec{b}}_{u_{1}}, {\vec{b}}_{u_{2}}, {\vec{b}}_{u_{3}}] | d u_{1} d u_{2} d u_{3} = | \sqrt{g} | d u_{1} d u_{2} d u_{3}

ahol azonosítható a $\sqrt{g}$ funkcionáldetermináns abszolútértéke.

Normált bázisvektorokra:

d V = | \det [{\vec{e}}_{u_{1}}, {\vec{e}}_{u_{2}}, {\vec{e}}_{u_{3}}] | | h_{u_{1}} h_{u_{2}} h_{u_{3}} | d u_{1} d u_{2} d u_{3} = | \sqrt{g} | d u_{1} d u_{2} d u_{3}

Ortogonáls koordinátákban:

d V = | h_{u_{1}} h_{u_{2}} h_{u_{3}} | d u_{1} d u_{2} d u_{3}

Differenciáloperátorok három dimenzióban

Az ortogonális koordináta-rendszerek speciális esete több különböző szempontból is fontos, például mérnökök és fizikusok számára. Többek között azért, mert a leggyakrabban használt görbe vonalú koordináta-rendszerek, például a gömbi és az elliptikus, ortogonálisak. Más szempontból azért is fontosak, mert itt nem kell foglalkozni a kovariáns, a kontravariáns, a duális, a gamma-együttható és további kapcsolódó fogalmakkal. Továbbá a bázisok mindig ortogonálisak, habár nem mindig normáltak. Ortonormált rendszert a normált bázisok alkotnak. A normált vektorokat $^$ jelöli.

Ortogonális koordináta-rendszerekben a következő differenciáloperátorokat adják meg: gradiens, divergencia, rotáció, Laplace-operátor. Egy $ϕ (𝐫)$ függvény gradiense megadja a függvény legnagyobb meredekségét, a $d i v 𝐚 (𝐫)$ skalármező, illetve $r o t 𝐚$ vektormező a forrás- és örvénysűrűséget jelenti. Jelentésük független a koordinátáktól.

A $Φ (𝐮)$ skalárfüggvény gradiense:

\begin{matrix} \vec{\nabla} Φ & = \sum_{i = 1}^{3} {\vec{e}}_{u_{i}} \frac{1}{h_{u_{i}}} \frac{\partial Φ}{\partial u_{i}} \\ = {\vec{e}}_{u_{1}} \frac{1}{h_{u_{1}}} \frac{\partial Φ}{\partial u_{1}} + {\vec{e}}_{u_{2}} \frac{1}{h_{u_{2}}} \frac{\partial Φ}{\partial u_{2}} + {\vec{e}}_{u_{3}} \frac{1}{h_{u_{3}}} \frac{\partial Φ}{\partial u_{3}} \end{matrix}

Vegyük észre, hogy nemcsak $Φ$ , hanem minden megnevezett mennyiség, köztük a bázisvektorok és a $h$ együtthatók is függhetnek u-tól.

Egy vektormező divergenciája:

\begin{matrix} \vec{\nabla} \cdot \vec{a} & = \frac{1}{h_{u_{1}} h_{u_{2}} h_{u_{3}}} \sum_{j = 1}^{3} \frac{\partial}{\partial u_{j}} (\frac{h_{u_{1}} h_{u_{2}} h_{u_{3}}}{h_{u_{j}}} a_{u_{j}}) \\ = \frac{1}{h_{u_{1}} h_{u_{2}} h_{u_{3}}} [\frac{\partial}{\partial u_{1}} (h_{u_{2}} h_{u_{3}} a_{u_{1}}) + \frac{\partial}{\partial u_{2}} (h_{u_{1}} h_{u_{3}} a_{u_{2}}) + \frac{\partial}{\partial u_{3}} (h_{u_{1}} h_{u_{2}} a_{u_{3}})] \end{matrix}

Egy vektormező rotációja:

\begin{matrix} \vec{\nabla} \times \vec{a} & = \frac{1}{h_{u_{1}} h_{u_{2}} h_{u_{3}}} \sum_{i, j, k = 1}^{3} ϵ_{i j k} h_{u_{i}} {\vec{e}}_{u_{i}} \frac{\partial}{\partial u_{j}} (h_{u_{k}} a_{u_{k}}) \\ = \frac{1}{h_{u_{1}} h_{u_{2}} h_{u_{3}}} | \begin{matrix} h_{u_{1}} {\vec{e}}_{u_{1}} & h_{u_{2}} {\vec{e}}_{u_{2}} & h_{u_{3}} {\vec{e}}_{u_{3}} \\ \frac{\partial}{\partial u_{1}} & \frac{\partial}{\partial u_{2}} & \frac{\partial}{\partial u_{3}} \\ h_{u_{1}} a_{u_{1}} & h_{u_{2}} a_{u_{2}} & h_{u_{3}} a_{u_{3}} \end{matrix} | \\ = \frac{{\vec{e}}_{u_{1}}}{h_{u_{2}} h_{u_{3}}} (\frac{\partial (h_{u_{3}} a_{u_{3}})}{\partial u_{2}} - \frac{\partial (h_{u_{2}} a_{u_{2}})}{\partial u_{3}}) + \frac{{\vec{e}}_{u_{2}}}{h_{u_{1}} h_{u_{3}}} (\frac{\partial (h_{u_{1}} a_{u_{1}})}{\partial u_{3}} - \frac{\partial (h_{u_{3}} a_{u_{3}})}{\partial u_{1}}) + \frac{{\vec{e}}_{u_{3}}}{h_{u_{1}} h_{u_{2}}} (\frac{\partial (h_{u_{2}} a_{u_{2}})}{\partial u_{1}} - \frac{\partial (h_{u_{1}} a_{u_{1}})}{\partial u_{2}}) \end{matrix}

A Laplace-operátor:

\begin{matrix} Δ Φ & = \frac{1}{h_{u_{1}} h_{u_{2}} h_{u_{3}}} \sum_{j = 1}^{3} \frac{\partial}{\partial u_{j}} (\frac{h_{u_{1}} h_{u_{2}} h_{u_{3}}}{h_{u_{j}}^{2}} \frac{\partial Φ}{\partial u_{j}}) \\ = \frac{1}{h_{u_{1}} h_{u_{2}} h_{u_{3}}} [\frac{\partial}{\partial u_{1}} (\frac{h_{u_{2}} h_{u_{3}}}{h_{u_{1}}} \frac{\partial Φ}{\partial u_{1}}) + \frac{\partial}{\partial u_{2}} (\frac{h_{u_{1}} h_{u_{3}}}{h_{u_{2}}} \frac{\partial Φ}{\partial u_{2}}) + \frac{\partial}{\partial u_{3}} (\frac{h_{u_{1}} h_{u_{2}}}{h_{u_{3}}} \frac{\partial Φ}{\partial u_{3}})] \end{matrix}

Tehát nem elég a $Δ = \nabla^{2}$ helyettesítést elvégezni, hanem alkalmazni kell a $Δ Φ = d i v g r a d ϕ$ definíciót. A fent megadott eredményeket a gyakorlatban egyszerűbben is megkaphatjuk ha a már meglevő koordinátafüggetlen definíciókat használjuk.

Konform leképezés

Két dimenzióban több hasznos koordináta-rendszert konform leképezéssel hoztak létre. Ezek nemcsak hogy derékszögűek, hanem szögtartóak tetszőleges szögre. Ez azt is jelenti, hogy két bázisvektor hosszának aránya mindig egy, például $| h_{u_{k}} | : | h_{u_{1}} |, k = 2, 3, \dots,$ k-tól függetlenül, különben a gömbből ellipszoid lenne.

Differenciáloperátorok általános koordináta-rendszerben

A következőkben a természetes bázist, és a tenzoranalízisben megszokott jelöléseket használjuk. Azaz a felső index kontravarianciát, az alsó index kovarianciát jelez. Legyen továbbá $Φ$ skalármező, és $\vec{a} = a^{i} {\vec{b}}_{i} = a_{i} {\vec{b}}^{i}$ vektormező.

Továbbá az írásmód $\partial_{i} = \frac{\partial}{\partial x^{i}}$ lesz, $Γ_{i k}^{j}$ Christoffel-szimbólum, amit $\partial_{k} {\vec{b}}_{i} = \sum_{j} Γ_{i k}^{j} {\vec{b}}_{j}$ definiál. A kovariáns derivált $\nabla_{i}$ . Skalár kovariáns deriváltja $\nabla_{k} Φ = \partial_{k} Φ$ , és vektor kovariáns deriváltja $\nabla_{k} a^{i} = \partial_{k} a^{i} + \sum_{j} Γ_{k j}^{i} a^{j}$ , illetve $\nabla_{k} a_{i} = \partial_{k} a_{i} - \sum_{j} Γ_{k i}^{j} a_{j}$ .

Skalármező gradiense:

g r a d Φ = \sum_{i} (\nabla_{i} Φ) {\vec{b}}^{i} = \sum_{i} (\partial_{i} Φ) {\vec{b}}^{i}

Tenzormező gradiense:

Egy

n \geq 1

fokú

A

tenzor esetén két lehetőség adódik a gradiens definiálására:

a jobbgradiens:

g r a d A = A \otimes \nabla = \sum_{k} (\partial_{k} A) \otimes {\vec{b}}^{k}

a balgradiens:

g r a d A = \nabla \otimes A = \sum_{k} {\vec{b}}^{k} \otimes (\partial_{k} A)

.

A továbbiakban a jobbgradienst használjuk.

Vektormező gradiense:

\begin{matrix} g r a d \vec{a} & = \sum_{k} (\partial_{k} \vec{a}) \otimes {\vec{b}}^{k} \\ = \sum_{i, k} (\nabla_{k} a^{i}) {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{b}}^{k} = \sum_{i, k} (\partial_{k} a^{i} + a^{l} Γ_{l k}^{i}) {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{b}}^{k} \\ = \sum_{i, k} (\nabla_{k} a_{i}) {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{k} = \sum_{i, k} (\partial_{k} a_{i} - a_{l} Γ_{i k}^{l}) {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{k} \end{matrix}

Másodfokú tenzor gradiense:

\begin{matrix} g r a d \vec{a} & = \sum_{k} (\partial_{k} \vec{a}) \otimes {\vec{b}}^{k} \\ = \sum_{i, k} (\nabla_{k} a^{i}) {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{b}}^{k} = \sum_{i, k} (\partial_{k} a^{i} + a^{l} Γ_{l k}^{i}) {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{b}}^{k} \\ = \sum_{i, k} (\nabla_{k} a_{i}) {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{k} = \sum_{i, k} (\partial_{k} a_{i} - a_{l} Γ_{i k}^{l}) {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{k} \end{matrix}

Vektormező divergenciája:

\begin{matrix} d i v \vec{a} & = Tr (g r a d \vec{a}) \\ = \sum_{i} \nabla_{i} a^{i} = \sum_{i} \partial_{i} a^{i} + \sum_{i, j} Γ_{i j}^{i} a^{j} \\ = \sum_{i, k} \nabla_{i} a_{k} g^{i k} = \sum_{k} (\sum_{i} \partial_{i} a_{k} - \sum_{i, j} Γ_{i k}^{j} a_{j}) g^{i k} \\ = \sum_{i} \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{i} (\sqrt{g} a^{i}) \end{matrix}

Tenzormező divergenciája: Az $n \geq 2$ fokú $A$ tenzorok esetén két lehetőség van a divergencia definiálására: a jobbdivergencia $d i v A = A \cdot \nabla$ és a baldivergencia $d i v A = \nabla \cdot A$ . A továbbiakban a jobbdivergenciát használjuk.

Másodfokú tenzor divergenciája:

\begin{matrix} div \underline{\underline{S}} & = \sum_{i, j, k} \partial_{k} [S^{i j} {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j}] \cdot {\vec{b}}^{k} = \sum_{i, j, k} [\nabla_{k} S^{i j}] {\vec{b}}_{i} \otimes \underset{δ_{j}^{k}}{\underset{⏟}{{\vec{b}}_{j} \cdot {\vec{b}}^{k}}} = \sum_{i, k} [\nabla_{k} S^{i k}] {\vec{b}}_{i} \\ = \sum_{i, j, k} \partial_{k} [S_{i}^{j} {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}_{j}] \cdot {\vec{b}}^{k} = \sum_{i, j, k} [\nabla_{k} S_{i}^{j}] {\vec{b}}^{i} \otimes \underset{δ_{j}^{k}}{\underset{⏟}{{\vec{b}}_{j} \cdot {\vec{b}}^{k}}} = \sum_{i, k} [\nabla_{k} S_{i}^{k}] {\vec{b}}^{i} \\ = \sum_{i, j, k} \partial_{k} [S_{j}^{i} {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{b}}^{j}] \cdot {\vec{b}}^{k} = \sum_{i, j, k} [\nabla_{k} S_{j}^{i}] {\vec{b}}_{i} \otimes \underset{g^{j k}}{\underset{⏟}{{\vec{b}}^{j} \cdot {\vec{b}}^{k}}} = \sum_{i, k} [\nabla_{k} S^{i k}] {\vec{b}}_{i} \\ = \sum_{i, j, k} \partial_{k} [S_{i j} {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{j}] \cdot {\vec{b}}^{k} = \sum_{i, j, k} [\nabla_{k} S_{i j}] {\vec{b}}^{i} \otimes \underset{g^{j k}}{\underset{⏟}{{\vec{b}}^{j} \cdot {\vec{b}}^{k}}} = \sum_{i, k} [\nabla_{k} S_{i}^{k}] {\vec{b}}^{i} \end{matrix}

Tenzormező rotációja:

Egy

n \geq 1

fokú

A

tenzor esetén két lehetőség adódik a rotáció definiálására:

a jobbrotáció

r o t A = A \otimes \nabla

és a balrotáció:

r o t A = \nabla \otimes A

.

A továbbiakban a jobbrotációt használjuk:

r o t A = A \otimes \nabla = - A \times \nabla = - \partial_{k} A \times {\vec{b}}^{k}

Vektormező rotációja:

\begin{matrix} r o t \vec{a} & = \sum_{i, j, k} ℰ^{i j k} \nabla_{i} a_{j} {\vec{b}}_{k} = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i, j, k} ϵ^{i j k} (\partial_{i} a_{j}) {\vec{b}}_{k} = \frac{1}{\sqrt{g}} | \begin{matrix} {\vec{b}}_{1} & {\vec{b}}_{2} & {\vec{b}}_{3} \\ \partial_{1} & \partial_{2} & \partial_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix} | = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i, j, k, l} ϵ^{i j k} (\partial_{i} a^{l} g_{j l}) {\vec{b}}_{k} \\ = \sum_{i, j, k} ℰ_{i j k} \nabla^{i} a^{j} {\vec{b}}^{k} = \sqrt{g} \sum_{i, j, k} ϵ_{i j k} (\partial^{i} a^{j}) {\vec{b}}^{k} = \sqrt{g} | \begin{matrix} {\vec{b}}^{1} & {\vec{b}}^{2} & {\vec{b}}^{3} \\ \partial^{1} & \partial^{2} & \partial^{3} \\ a^{1} & a^{2} & a^{3} \end{matrix} | \end{matrix}

Skalármező Laplace-operátora:

\begin{matrix} Δ Φ & = d i v (g r a d Φ) \\ = \sum_{i} \nabla_{i} (\nabla^{i} Φ) = \sum_{i, j} \nabla_{i} g^{i j} \nabla_{j} Φ = \sum_{i, j} \partial_{i} g^{i j} \partial_{j} Φ + \sum_{i, j, k} Γ_{i j}^{i} g^{j k} \partial_{k} Φ \\ = \sum_{i, j} \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{i} (\sqrt{g} g^{i j} \partial_{j} Φ) \end{matrix}

Gradiens és totális differenciál

A következőkben a gradiens görbe vonalú koordináta-rendszerben vezetjük be. A helyvektor totális differenciálja előáll, mint:

d \vec{r} = \sum_{j} \partial_{j} \vec{r} d u^{j} = \sum_{j} {\vec{b}}_{j} d u^{j} \Rightarrow {\vec{b}}^{i} \cdot d \vec{r} = \sum_{j} \underset{δ_{j}^{i}}{\underset{⏟}{{\vec{b}}^{i} \cdot {\vec{b}}_{j}}} d u^{j} = d u^{i}

Legyen most $Φ$ tetszőleges skalármező. Totális differenciálja a $d u^{i}$ fenti ábrázolásával:

d Φ = \sum_{i} (\partial_{i} Φ) d u^{i} = \sum_{i} (\partial_{i} Φ) {\vec{b}}^{i} \cdot d \vec{r}

A $\nabla Φ$ gradiens definiálható, mint:

d Φ = ⟨ \nabla Φ, d \vec{r} ⟩ = \nabla Φ \cdot d \vec{r}

és azonosítható, mint:

\nabla Φ = \sum_{i} (\partial_{i} Φ) {\vec{b}}^{i} = \sum_{i} \frac{\partial Φ}{\partial u^{i}} {\vec{b}}^{i}

Ortogonális koordinátákban egy kovariáns bázisvektor ${\vec{b}}_{i} = h_{i} {\vec{e}}_{i}$ , és a hozzá tartozó duális kontravariáns bázisvektor ${\vec{b}}^{i} = \frac{1}{h_{i}} {\vec{e}}_{i}$ . Így ortogonális koordinátákban a gradiens:

\nabla Φ = \sum_{i} \frac{\partial Φ}{\partial u^{i}} {\vec{b}}^{i} = \sum_{i} \frac{\partial Φ}{\partial u^{i}} \frac{1}{h_{i}} {\vec{e}}_{i}

$Φ = u^{k}$ esetén a ${\vec{b}}^{k}$ kontravariáns bázisvektor gradiensét kapjuk, tehát a $u^{k} = const.$ koordinátafelület normálisának gradiensét:

\nabla u^{k} = \sum_{i} (\partial_{i} u^{k}) {\vec{b}}^{i} = \sum_{i} \underset{δ_{i}^{k}}{\underset{⏟}{\frac{\partial u^{k}}{\partial u^{i}}}} {\vec{b}}^{i} = {\vec{b}}^{k}

Speciális Christoffel-szimbólumok

A divergencia kiszámításához szükség van a $Γ_{i j}^{i}$ Christoffel-szimbólumra. Ez kifejezhető, mint a metrikus tenzor $g$ determinánsa:

\sum_{i} Γ_{i j}^{i} = \sum_{i, k} \frac{g^{k i}}{2} \frac{\partial g_{i k}}{\partial u^{j}} = \sum_{i, k} \frac{1}{2 g} \frac{\partial g}{\partial g_{i k}} \frac{\partial g_{i k}}{\partial u^{j}} = \frac{1}{2 g} \frac{\partial g}{\partial u^{j}} = \frac{1}{2 g} \partial_{j} g = \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{j} \sqrt{g}

ami következik abból, hogy $g^{i j} = \frac{1}{g} \frac{\partial g}{\partial g_{j i}}$ és a következő összefüggésből:

\sum_{i j} g^{i j} \frac{\partial g_{i j}}{\partial u_{k}} = \sum_{i j l} Γ_{i k}^{l} g_{l j} g^{i j} + \sum_{i j l} Γ_{j k}^{l} g_{i l} g^{i j} = \sum_{i l} Γ_{i k}^{l} δ_{l}^{i} + \sum_{j l} Γ_{j k}^{l} δ_{l}^{j} = \sum_{i} Γ_{i k}^{i} + \sum_{j} Γ_{j k}^{j} = 2 \sum_{i} Γ_{i k}^{i}

Így a divergencia és a Laplace-operátor:

\begin{matrix} d i v \vec{a} & = \sum_{i} \partial_{i} a^{i} + \sum_{i, j} Γ_{j i}^{j} a^{i} = \sum_{i} \partial_{i} a^{i} + \sum_{i} \frac{1}{\sqrt{g}} (\partial_{i} \sqrt{g}) a^{i} = \sum_{i} \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{i} (\sqrt{g} a^{i}) \end{matrix}

\begin{matrix} Δ Φ & = \sum_{i} \partial_{i} g^{i j} \partial_{j} Φ + \sum_{i, j, k} Γ_{k i}^{k} g^{i j} \partial_{j} Φ = \sum_{i} \partial_{i} g^{i j} \partial_{j} Φ + \sum_{i, j} \frac{1}{\sqrt{g}} (\partial_{i} \sqrt{g}) g^{i j} \partial_{j} Φ = \sum_{i, j} \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{i} (\sqrt{g} g^{i j} \partial_{j} Φ) \end{matrix}

Koordinátafüggetlen divergencia

A divergencia koordinátafüggetlen ábrázolása a következő forrássűrűséget vezeti be:

div \vec{F} = \lim_{Δ V \to 0} \frac{1}{Δ V} \oint_{\partial (Δ V)} d \vec{A} \cdot \vec{F}

ahol $Δ V$ egy tetszőleges térfogat, és az $d \vec{A} \cdot \vec{F}$ áramot integráljuk a $\partial (Δ V)$ peremen. A következőkben ez egy infinitezimális paralelepipedon a $\vec{r} = (u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})$ pont környezetben, melyet az ${\vec{b}}_{i} Δ u^{i} = {\vec{e}}_{i} h_{i} Δ u^{i}$ vektorok feszítenek ki az $u^{i}$ koordinátavonalak irányában. Ez azt jelenti, hogy koordinátái az $u^{i} \in I^{i} : = [u_{0}^{i}, u_{0}^{i} + Δ u^{i}]$ intervallumba esnek. Az élek hossza $h_{i} Δ u^{i}$ , és az ${\vec{e}}_{i}$ élek nem feltétlenül merőlegesek egymásra. A térfogat számítása:

Δ V = | \det [{\vec{b}}_{1}, {\vec{b}}_{2}, {\vec{b}}_{3}] | Δ u^{1} Δ u^{2} Δ u^{3} = \sqrt{g} Δ u^{1} Δ u^{2} Δ u^{3}

A paralelepipedont az $u^{i} = u_{0}^{i} = c o n s t$ és az $u^{i} = u_{0}^{i} + Δ u^{i} = c o n s t$ lapok határolják. Egy $u^{i} = u_{0}^{i} = c o n s t$ koordinátafelület felületeleme három dimenzióban:

d {\vec{A}}^{i} = \pm \sum_{j, k = 1}^{3} ϵ_{i j k} {\vec{b}}_{j} \times {\vec{b}}_{k} d u^{j} d u^{k} = \pm \sum_{j, k = 1}^{3} ϵ_{i j k} \sqrt{g} {\vec{b}}^{i} d u^{j} d u^{k}

és a $\vec{F} = \sum_{l} F^{l} {\vec{b}}_{l}$ vektormező helyi árama ezen a felületelemen keresztül:

d {\vec{A}}^{i} \cdot \vec{F} = \pm \sum_{j, k, l = 1}^{3} ϵ_{i j k} \sqrt{g} F^{l} \underset{δ_{l}^{i}}{\underset{⏟}{{\vec{b}}^{i} \cdot {\vec{b}}_{l}}} d u^{j} d u^{k} = \pm \sum_{j, k = 1}^{3} ϵ_{i j k} \sqrt{g} F^{i} d u^{j} d u^{k}

így a $u^{1} = u_{0}^{1}$ felületen keresztülhaladó áram (mivel a $- d {\vec{A}}^{1}$ vektoriális felületelem kifelé mutat, azért $- d {\vec{A}}^{1}$ ):

\begin{matrix} Φ_{1 a} & = \int_{(u^{2}, u^{3}) \in I^{2} \times I^{3}} {[- d {\vec{A}}^{1} \cdot \vec{F}]}_{(u_{0}^{1}, u^{2}, u^{3})} = \int_{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2} + Δ u^{2}} d u^{2} \int_{u_{0}^{3}}^{u_{0}^{3} + Δ u^{3}} d u^{3} {[- \sqrt{g} F^{1}]}_{(u_{0}^{1}, u^{2}, u^{3})} \\ \approx {[- \sqrt{g} F^{1}]}_{(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} Δ u^{2} Δ u^{3} \end{matrix}

és a $u^{1} = u_{0}^{1} + Δ u^{1}$ felületen áthaladó áram:

\begin{matrix} Φ_{1 b} & = \int_{(u^{2}, u^{3}) \in I^{2} \times I^{3}} {[d {\vec{A}}^{1} \cdot \vec{F}]}_{(u_{0}^{1} + Δ u^{1}, u^{2}, u^{3})} = \int_{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2} + Δ u^{2}} d u^{2} \int_{u_{0}^{3}}^{u_{0}^{3} + Δ u^{3}} d u^{3} {[\sqrt{g} F^{1}]}_{(u_{0}^{1} + Δ u^{1}, u^{2}, u^{3})} \\ \approx {[\sqrt{g} F^{1}]}_{(u_{0}^{1} + Δ u^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} Δ u^{2} Δ u^{3} \approx {[\sqrt{g} F^{1}]}_{(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} Δ u^{2} Δ u^{3} + {[\frac{\partial \sqrt{g} F^{1}}{\partial u^{1}}]}_{(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} Δ u^{1} Δ u^{2} Δ u^{3} \end{matrix}

itt az integrandust az $(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})$ helyen első rendben $Δ u^{i}$ -ba fejtettük. A kettő összevetésével

Φ_{1} = Φ_{1 a} + Φ_{1 b} = {[\frac{\partial \sqrt{g} F^{1}}{\partial u^{1}}]}_{(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} Δ u^{1} Δ u^{2} Δ u^{3}

A többi koordinátára hasonlóan:

\frac{1}{Δ V} \oint_{\partial (Δ V)} d \vec{A} \cdot \vec{F} = \frac{1}{Δ V} \sum_{i = 1}^{3} Φ_{i} = \frac{1}{\sqrt{g} Δ u^{1} Δ u^{2} Δ u^{3}} \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial \sqrt{g} F^{i}}{\partial u^{i}} Δ u^{1} Δ u^{2} Δ u^{3} = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial \sqrt{g} F^{i}}{\partial u^{i}}

így a divergencia a természetes $F^{i}$ , illetve normált ${\tilde{F}}^{i}$ koordinátákban:

div \vec{F} = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i} \partial_{i} \sqrt{g} F^{i} = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i} \partial_{i} \sqrt{g} {\tilde{F}}^{i} / h_{i}

Ortogonális koordinátákban:

div \vec{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \sum_{i} \partial_{i} \frac{h_{1} h_{2} h_{3}}{h_{i}} {\tilde{F}}^{i}

Koordinátafüggetlen rotáció

A rotáció koordinátafüggetlen definíciója:

(rot \vec{F}) \cdot \hat{n} = \lim_{Δ A \to 0} \frac{1}{Δ A} \oint_{\partial (Δ A)} \vec{F} \cdot d \vec{r}

ahol $Δ A$ tetszőleges felület az $\hat{n}$ egységnormálissal, ahol az $\int d \vec{r} \cdot \vec{F}$ vonal menti integrál a felület $\partial (Δ A)$ pereme körül fut.

A továbbiakban egy $\hat{n} = {\vec{b}}^{3} / | {\vec{b}}^{3} |$ felületet tekintünk. Így a bal oldal:

(rot \vec{F}) \cdot \hat{n} = \sum_{i = 1}^{3} (rot \vec{F})^{i} {\vec{b}}_{i} \cdot \frac{{\vec{b}}^{3}}{| {\vec{b}}^{3} |} = (rot \vec{F})^{3} \frac{1}{| {\vec{b}}^{3} |}

Legyen $Δ A$ egy (infinitezimális) paralelogramma a $\vec{r} = (u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})$ pont körül, melyet a ${\vec{b}}_{1} Δ u^{1}$ és ${\vec{b}}_{2} Δ u^{2}$ vektorok feszítenek ki. Ennek terűlete $Δ A = | {\vec{b}}_{1} Δ u^{1} \times {\vec{b}}_{2} Δ u^{2} | = \sqrt{g} | {\vec{b}}^{3} | Δ u^{1} Δ u^{2}$ .

Az integráció ennek a paralelogrammának az éleit járja körbe:

[u_{0}^{1}, u_{0}^{2}] \to_{d \vec{r} = {\vec{b}}_{1} d u^{1}}^{γ_{1}} [u_{0}^{1} + Δ u^{1}, u_{0}^{2}] \to_{d \vec{r} = {\vec{b}}_{2} d u^{2}}^{γ_{2}} [u_{0}^{1} + Δ u^{1}, u_{0}^{2} + Δ u^{2}] \to_{d \vec{r} = {\vec{b}}_{1} d u^{1}}^{γ_{3}} [u_{0}^{1}, u_{0}^{2} + Δ u^{2}] \to_{d \vec{r} = {\vec{b}}_{2} d u^{2}}^{γ_{4}} [u_{0}^{1}, u_{0}^{2}]

Ha $\vec{F} = \sum_{i = 1}^{3} F_{i} {\vec{b}}^{i}$ , akkor $\vec{F} \cdot d \vec{r} = F_{1} d u^{1}$ $γ_{1}$ -re és $γ_{3}$ -ra, illetve $\vec{F} \cdot d \vec{r} = F_{2} d u^{2}$ $γ_{2}$ -re és $γ_{4}$ -re.

Az 1 és 3 út menti integrálok összefoglalva:

\begin{matrix} \int_{γ_{1} + γ_{3}} \vec{F} \cdot d \vec{r} & = \int_{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1} + Δ u^{1}} {[F_{1}]}_{(u^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} d u^{1} + \int_{u_{0}^{1} + Δ u^{1}}^{u_{0}^{1}} {[F_{1}]}_{(u^{1}, u_{0}^{2} + Δ u^{2}, u_{0}^{3})} d u^{1} \\ = \int_{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1} + Δ u^{1}} ({[F_{1}]}_{(u^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} - {[F_{1}]}_{(u^{1}, u_{0}^{2} + Δ u^{2}, u_{0}^{3})}) d u^{1} \end{matrix}

Ha az integrandust az $(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})$ helyen első rendben kifejtjük $Δ u^{1}$ -re, akkor akkor a megközelített integrandus $u_{0}^{1}$ -től függ, tehát független $u^{1}$ -től, így az integrandus egyszerűen kiértékelhető:

\int_{γ_{1} + γ_{3}} \vec{F} \cdot d \vec{r} \approx \int_{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1} + Δ u^{1}} (- {[\frac{\partial F_{1}}{\partial u^{2}}]}_{(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} Δ u^{2}) d u^{1} = - {[\frac{\partial F_{1}}{\partial u^{2}}]}_{(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} Δ u^{2} Δ u^{1}

Analóg módon, a 2 és a 4 út menti integrálra adódik, hogy:

\begin{matrix} \int_{γ_{2} + γ_{4}} \vec{F} \cdot d \vec{r} & = \int_{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2} + Δ u^{2}} \underset{\approx {[\frac{\partial F_{2}}{\partial u^{1}}]}_{(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} Δ u^{1}}{\underset{⏟}{({[F_{2}]}_{(u_{0}^{1} + Δ u^{1}, u^{2}, u_{0}^{3})} - {[F_{2}]}_{(u_{0}^{1}, u^{2}, u_{0}^{3})})}} d u^{2} \approx {[\frac{\partial F_{2}}{\partial u^{1}}]}_{(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} Δ u^{1} Δ u^{2} \end{matrix}

Összevetve a cirkuláció $u^{3} = u_{0}^{3}$ -on belül a $Δ A$ paralelogramma körül:

\oint_{\partial (Δ A)} \vec{F} \cdot d \vec{r} \approx {[\frac{\partial F_{2}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial F_{1}}{\partial u^{2}}]}_{(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})} Δ u^{1} Δ u^{2}

$Δ u^{1}, Δ u^{2} \to 0$ esetén a közelítésekből egzakt relációk lesznek. A rotáció definiáló egyenlőségét behelyettesítve, ha minden mennyiséget $(u_{0}^{1}, u_{0}^{2}, u_{0}^{3})$ körül értékelünk ki.

(rot \vec{F})^{3} \frac{1}{| {\vec{b}}^{3} |} = \lim_{Δ A \to 0} \frac{1}{\sqrt{g} | {\vec{b}}^{3} | Δ u^{1} Δ u^{2}} [\frac{\partial F_{2}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial F_{1}}{\partial u^{2}}] Δ u^{1} Δ u^{2} ⟹ (rot \vec{F})^{3} = \frac{1}{\sqrt{g}} [\partial_{1} F_{2} - \partial_{2} F_{1}]

Hasonló eredményeket kaphatunk a többi koordinátára is a koordináták ciklikus cseréjével. Így a rotáció azzal, hogy: $ℰ^{i j k} = ε^{i j k} / \sqrt{g}$ :

{(rot \vec{F})}^{i} = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{j k} ε^{i j k} \partial_{j} F_{k} ⟹ rot \vec{F} = \sum_{i j k} {\vec{b}}_{i} ℰ^{i j k} \partial_{j} F_{k}

A természetes $F_{k}$ kovariáns koordináta számítható a (természetes) kontravariáns $F^{n}$ -ből úgy, mint $F_{k} = \sum_{n} g_{k n} F^{n}$ . A továbbiakban a normált koordináták $F^{n} = {\tilde{F}}^{n} / h_{n}$ illetve ${\vec{b}}_{i} = h_{i} {\vec{e}}_{i}$ .

Ha a koordináták ortogonálisak, akkor $g_{k n} = h_{k}^{2} δ_{k n}$ miatt teljesül, hogy $F_{k} = h_{k}^{2} F^{k}$ sowie $\sqrt{g} = h_{1} h_{2} h_{3}$ . Az ${\tilde{F}}^{k}$ ortogonális normált koordinátákra $F_{k} = h_{k} {\tilde{F}}^{k}$ , tehát ekkor a rotáció:

rot \vec{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \sum_{i j k} h_{i} {\vec{e}}_{i} ε^{i j k} \partial_{j} (h_{k} {\tilde{F}}^{k})

A rotáció mint antiszimmetrikus tenzor

A rotáció képletében feltűnnek a $\nabla_{i} a_{j} - \nabla_{j} a_{i}$ termek, melyek parciális deriváltakká egyszerűsíthetők, mivel a Christoffel-szimbólumok alsó indexükben szimmetrikusak:

\nabla_{i} a_{j} - \nabla_{j} a_{i} = \partial_{i} a_{j} - Γ_{i j}^{k} a_{k} - \partial_{j} a_{i} + Γ_{j i}^{k} a_{k} = \partial_{i} a_{j} - \partial_{j} a_{i} ⟺ \sum_{i, k} ϵ^{i j k} Γ_{i k}^{l} = - \sum_{i, k} ϵ^{i j k} Γ_{i k}^{l} = 0

Ez a mennyiség egy másodfokú antiszimmetrikus tenzort ábrázol, a $\vec{a}$ vektor rotorja.

Példák görbevonalú koordináta-rendszerekre

Ortogonális koordináta-rendszerek

Hengerkoordináta-rendszer: $(ρ, ϕ, z)$

ρ \geq 0, 0 \leq ϕ < 2 π, - \infty < z < \infty

x = ρ \cos ϕ, y = ρ \sin ϕ, z = z

Gömbkoordináta-rendszer: $(r, θ, ϕ)$

r \geq 0, 0 \leq θ \leq π, 0 \leq ϕ < 2 π

x = r \sin θ \cos ϕ, y = r \sin θ \sin ϕ, z = r \cos θ

Parabolikus hengerkoordináta-rendszer: $(u, v, z)$

- \infty < u < \infty, v \geq 0, - \infty < z < \infty

x = (u^{2} - v^{2}) / 2, y = u v, z = z

Paraboloid koordináta-rendszer: $(u, v, ϕ)$

u \geq 0, v \geq 0, 0 \leq ϕ < 2 π

x = u v \cos ϕ, y = u v \sin ϕ, z = (u^{2} - v^{2}) / 2

Elliptikus hengerkoordináta-rendszer: $(ξ, ϕ, z)$

ξ \geq 0, 0 \leq ϕ < 2 π, - \infty < z < \infty

x = a ch ξ \cos ϕ, y = a sh ξ \sin ϕ, z = z

Nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer: $(ξ, θ, ϕ)$

ξ \geq 0, 0 \leq θ \leq π, 0 \leq ϕ < 2 π

x = a sh ξ \sin θ \cos ϕ, y = a sh ξ \sin θ \sin ϕ, z = a ch ξ \cos θ

Lapított ellipszoid koordináta-rendszer: $(ξ, ϑ, ϕ)$

ξ \geq 0, - π / 2 \leq ϑ \leq π / 2, 0 \leq ϕ < 2 π

x = a ch ξ \cos ϑ \cos ϕ, y = a ch ξ \cos ϑ \sin ϕ, z = a sh ξ \sin ϑ

Bipoláris koordináta-rendszer: $(u, v, z)$

0 \leq u < 2 π, - \infty < v < \infty, - \infty < z < \infty

x = \frac{a sh v}{ch v - \cos u}, y = \frac{a \sin u}{ch v - \cos u}, z = z

Ellipszoid koordináta-rendszer: $(λ, μ, ν)$

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2} - λ} + \frac{y^{2}}{b^{2} - λ} + \frac{z^{2}}{c^{2} - λ} & = 1, λ < c^{2} < b^{2} < a^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2} - μ} + \frac{y^{2}}{b^{2} - μ} + \frac{z^{2}}{c^{2} - μ} & = 1, c^{2} < μ < b^{2} < a^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2} - ν} + \frac{y^{2}}{b^{2} - ν} + \frac{z^{2}}{c^{2} - ν} & = 1, c^{2} < b^{2} < ν < a^{2} \end{matrix}

Nem ortogonális koordináta-rendszer

Alternatív elliptikus hengerkoordináták: $(ξ, ϕ, z)$

ξ \geq 0, 0 \leq ϕ < 2 π, - \infty < z < \infty

x = a ξ \cos ϕ, y = b ξ \sin ϕ, z = z

Differenciálgeometria

A görbe vonalú koordináták egyik hagyományos alkalmazását a differenciálgeometriában találjuk meg, speciálisan differenciálható sokaságok atlaszaiban. A következőkben összefüggéseket vezetünk le a differenciálformák kalkulusához, amelyek ezen számítások alapján koordinátafüggetlenül ábrázolhatók.

Differenciálformák

Legyen $M$ egy $n$ -dimenziós differenciálható sokaság. Egy $ω$ $k$ -forma minden $p \in M$ ponthoz hozzárendel egy sima alternáló $ω_{p}$ $k$ -multilineáris formát a $T_{p} M$ érintőtéren. Ez az $ω_{p}$ egy valós értékű lineáris funkcionál, ami vektormező $k$ -saihoz valós számokat rendelnek:

ω_{p} : \underset{k -szor}{\underset{⏟}{T_{p} M \times \dots \times T_{p} M}} \to ℝ

Itt $ω_{p}$ maga az érintőtér külső hatványának eleme, azaz $Λ^{k} (T_{p}^{*} M) = T_{p}^{*} M \land \dots \land T_{p}^{*} M$ eleme, mivel teljesül, hogy $Λ^{0} (T^{*} M) = C^{\infty} (M, ℝ)$ és $Λ^{1} (T^{*} M) = T^{*} M$ . Az összes $M$ fölötti $k$ -forma halmaza, illetve a $Λ^{k} (T^{*} M) = ⨆_{p \in M} Λ^{k} (T_{p}^{*} M)$ diszjunkt unió képezi az $Ω^{k} (M)$ vektorteret. Ezekkel a képletekkel atlaszfüggetlenül lehet integrálni egy sokaságon.

A tenzoranalízisben $ω_{p}$ antiszimmetrikus $k$ -fokú kovariáns tenzor. Lásd: alternáló $k$ -multilineáris forma.

Differenciálformák: ábrázolás koordinátákkal

Legyen $U$ nyílt része $M$ -nek, és $(U, x)$ helyi koordináta-rendszer az $(x^{1}, \dots, x^{n})$ helyi koordinátákkal. Ekkor a $p \in U$ helyen

{{\vec{b}}_{i} ∣ i = 1, \dots n} = {\partial_{i} \equiv \frac{\partial}{\partial x^{i}} ∣ i = 1, \dots n}

a $T_{p} M$ érintőtér helyi bázisa és

{{\vec{b}}^{i} ∣ i = 1, \dots n} = {d x^{i} \in Ω^{1} M ∣ i = 1, \dots n}

a hozzá tartozó duális bázis. A dualitást $d x^{i} \partial_{j} = δ_{j}^{i}$ fejezi ki, tehát ez bázisa a $T_{p}^{*} M = Λ^{1} (T_{p}^{*} M) \subset Ω^{1} M$ koérintőtérnek. Ezek 1-formák a $T_{p} M$ vektortéren. Ezeknek az $d x^{i}$ 1-formáknak a $k$ -szoros $\land$ külső szorzata, ahol $d x^{i} \land d x^{j}$ asszociatív, bilineáris és antikommutatív, egy $k$ -forma, ahol

{d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}} \in Ω^{k} M ∣ 1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n}

a $T_{p}^{*} M$ koérintőtér fölötti $Λ^{k} (T_{p}^{*} M)$ külső algebra egy bázisa. Minden $ω \in Ω^{k} (M)$ differenciálforma egyértelműen ábrázolható az összes $(U, x)$ térképen:

ω = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} w_{i_{1}, \dots, i_{k}} (x) d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}

Például egy 2-forma:

ω = \sum_{1 \leq i < j \leq n} w_{i j} (x) d x^{i} \land d x^{j} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} w_{i j} (x) (d x^{i} \otimes d x^{j} - d x^{j} \otimes d x^{i})

ami megfelel egy másodfokú antiszimmetrikus kovariáns tenzormezőnek. Az $n = 3$ esetben:

ω = \sum_{\underset{i < j}{i, j = 1}}^{3} w_{i j} (x) d x^{i} \land d x^{j} = w_{12} (x) d x^{1} \land d x^{2} + w_{13} (x) d x^{1} \land d x^{3} + w_{23} (x) d x^{2} \land d x^{3}

A skalár- és vektormezők kapcsolata a differenciálformákkal

Differenciálható skalármezők esetén teljesül az azonosság: az $f : M \to ℝ$ sima függvények identikusak a 0-formákkal:

C^{\infty} (M, ℝ) = Ω^{0} M

A következő izomorfiával egy $\vec{v} \in C^{\infty} (M, ℝ^{n})$ differenciálható vektormezőhöz egyértelműen hozzárendelhető egy 1-forma, ahol $⟨ \cdot ∣ \cdot ⟩$ a skalárszorzat, és alkalmazzuk az Einstein-féle összegkonvenciót is:

C^{\infty} (M, ℝ^{n}) \overset{≅}{⟶} Ω^{1} M, \vec{v} = v_{i} {\vec{b}}^{i} \mapsto ⟨ \vec{v} ∣ \cdot ⟩ = v_{i} ⟨ {\vec{b}}^{i} ∣ \cdot ⟩ = v_{i} d x^{i}

A Hodge-Stern-operátorral egy skalármezőhöz hozzárendelhető egy $n$ -forma, és egy vektormezőhöz egy $(n - 1)$ -forma.

Művelet érintő- és koérintővektorok

A flat, bé $♭$ és sharp, kereszt $♯$ zenei operátorok izomorfiákat írnak le, melyeket a $\underline{\underline{g}} = ⟨ \partial_{i} ∣ \partial_{j} ⟩ d x^{i} \otimes d x^{j}$ Riemann-metrika indukál, és az érintővektorokat a koérintővektorokra, illetve megfordítva képezik le:

♯ : T_{p} M \to T_{p}^{*} M, v^{i} \vec{e_{i}} \mapsto v^{i} g_{i j} {\vec{b}}^{j} = v_{j} {\vec{b}}^{j}, v^{i} \partial_{i} \mapsto v_{j} d x^{j}

♭ : T_{p}^{*} M \to T_{p} M, v_{i} {\vec{b}}^{i} \mapsto v_{i} g^{i j} {\vec{b}}_{j} = v^{j} {\vec{b}}_{j}, v_{i} d x^{i} \mapsto v^{j} \partial_{j}

A tenzor notációban ez az indexek emelésének és süllyesztésének felel meg.

Hodge-Stern-operátor

Az $n$ dimenziós, irányított, euklideszi terekben létezik egy kanonikus izomorfizmus, ami a komplementer fokú ( $k$ és $n - k$ ) alternáló multilineáris formákat egymásra képezi le. Ez az úgynevezett Hodge-Stern-operátor:

* : Ω^{k} M \overset{≅}{⟶} Ω^{n - k} M

Mindkét vektortér dimenziója $(\binom{n}{k}) \equiv (\binom{n}{n - k})$ .

Három dimenzióban, azaz $n = 3$ esetén egy 0-formához hozzárendel egy 3-formát:

Ω^{0} M \overset{*}{\leftrightarrow} Ω^{3} M, ρ \mapsto ρ \det (\cdot, \cdot, \cdot) = ρ d x^{1} \land d x^{2} \land d x^{3}

és egy 1-formához egy 2-formát

Ω^{1} M \overset{*}{\leftrightarrow} Ω^{2} M, ⟨ \vec{v} ∣ \cdot ⟩ = v_{i} d u^{i} \mapsto \det (\vec{v}, \cdot, \cdot) = ϵ_{j k}^{i} v_{i} d x^{j} \land d x^{k}

Így egy differenciálható $\vec{a}$ vektormezőhöz nemcsak egy $a_{1} d x^{1} + a_{2} d x^{2} + a_{3} d x^{3}$ 1-forma, hanem egy $a_{1} d x^{2} \land d x^{3} + a_{2} d x^{3} \land d x^{1} + a_{3} d x^{1} \land d x^{2}$ 2-forma is hozzárendelhető. Egy differenciálható $f$ skalárfüggvényhez pedig hozzárendelhető egy $f$ 0-forma, illetve egy $f d x^{1} \land d x^{2} \land d x^{3}$ 3-forma is.

Egy $k$ -forma külső deriváltja egy $(k + 1)$ -forma keletkezik. A zenei operátorokkal és a Hodge-Stern-operátorral képződik a De-Rham-komplexus. Két külső derivált láncolása identikus nullával. Ebből levezethetők a vektoranalízis integráltételei, a Stokes-tétel, Gauß integráltétele és a Green-tétel.

Jegyzetek

Sablon:Jegyzetek

Források

Günter Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage, 1. korrigierte Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München u. a. 2009, Sablon:ISBN.
Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4. überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2008, Sablon:ISBN.
Siegfried Kästner: Vektoren, Tensoren, Spinoren. Eine Einführung in den Tensorkalkül unter Berücksichtigung der physikalischen Anwendung. 2. verbesserte Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1964.
Murray R. Spiegel, Dennis Spellman, Seymour Lipschutz: Vector Analysis. Schaum’s Outlines. 2. Auflage. McGraw-Hill, 2009, Sablon:ISBN.
Heinz Schade, Klaus Neemann: Tensoranalysis. 3. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin 2009, Sablon:ISBN.
Klaus Jänich: Vektoranalysis. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2005, Sablon:ISBN.

Fordítás

Sablon:Fordítás

↑ William M. Boothby: An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry. 2. überarbeitete Auflage. Academic Press, 2002.
↑ Sablon:Cite book

[1] William M. Boothby: An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry. 2. überarbeitete Auflage. Academic Press, 2002.

[2] Sablon:Cite book

[1]

[2]

Görbe vonalú koordináta-rendszer

A Descartes-koordináták transzformációja

Koordinátavonalak, -felületek és tengelyek

Különböző bázisok

Kovariáns bázis

Normált és természetes bázis

Kontravariáns koordináták

A bázisvektorok és koordináták viselkedése a transzformáció során, Jacobi-mátrix

Metrikus tenzor és Gram-determináns

Ortogonális koordináta-rendszerek

Háromdimenziós tér

Egyenes vonalú koordináta-rendszerek

Duális bázis: kontravariáns bázis

Ortogonális koordináták

Duális tér és duális bázis

Duális bázis

Kovariáns komponensek

A koordináták mint a bázivektorokra vett vetületek

Ortogonális koordináták

Három dimenzióban

Tenzorok

Másodfokú tenzorok

Skalárszorzat

Harmadfokú tenzorok

A bázisvektorok deriváltjai

Christoffel-szimbólum

Kovariáns derivált

A Christoffel-szimbólumok tulajdonságai

Görbe vonalú koordináták három dimenzióban

Vektorszorzat és alternáló tenzor

Koordinátafelületek: belső geometria

Koordinátafelületek: Külső geometria

Integrációs elemek három dimenzióban

Görbeelem

Ívelem

Felszínelem

Térfogatelem

Differenciáloperátorok három dimenzióban

Konform leképezés

Differenciáloperátorok általános koordináta-rendszerben

Gradiens és totális differenciál

Speciális Christoffel-szimbólumok

Koordinátafüggetlen divergencia

Koordinátafüggetlen rotáció

A rotáció mint antiszimmetrikus tenzor

Példák görbevonalú koordináta-rendszerekre

Ortogonális koordináta-rendszerek

Nem ortogonális koordináta-rendszer

Differenciálgeometria

Differenciálformák

Differenciálformák: ábrázolás koordinátákkal

A skalár- és vektormezők kapcsolata a differenciálformákkal

Művelet érintő- és koérintővektorok

Hodge-Stern-operátor

Jegyzetek

Források

Fordítás

Navigációs menü

Keresés