Lapított ellipszoid koordináta-rendszer

A P pont (jelölése fekete gömbbel) a (μ, ν, φ) lapított ellipszoid koordináta-rendszerben. A z-tengely függőleges, a fókuszok ±2-ben helyezkednek el. A piros lapított szferoid (lapított gömb) a μ = 1 koordinátához tartozik. A kék félhiperboloid ν = 45°-nak felel meg. A φ = −60° azimut méri a zöld xz félsík és a P pontot tartalmazó sárga félsík diéderszögét. A P pont Descartes-koordinátái megközelítőleg (1.09, −1.89, 1.66)

A geometriában a lapított ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, mely egy kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszerből származtatható úgy, hogy a koordináta-rendszert a fókuszokat elválasztó szimmetriatengely körül forgatjuk meg. Így a fókuszok egy $a$ sugarú gyűrűvé alakulnak az x-y síkban. A másik szimmetriatengely körüli forgatás nyújtott ellipszoid koordináta-rendszert eredményez. Mindkettő tekinthető az ellipszoid koordináta-rendszer egy speciális esetének, ahol két tengely hossza megegyezik.

A lapított koordináta-rendszer hasznos olyan differenciálegyenletek megoldásában, ahol a peremfeltételeket egy lapított ellipszoid vagy egy egyköpenyű forgáshiperboloid mentén határozzák meg. Például így számíthatók Perrin súrlódási tényezői, amiért Jean Baptiste Perrint 1926-ban fizikai Nobel-díjjal tüntették ki. Ezek a tényezők határozzák meg a molekulák rotációs súrlódását, ami fontos különböző technológiák alkalmazásában, mint a fehérje-NMR, amiből következtetni lehet a molekulák alakjára és térfogatára. A lapított szferoid koordináta-rendszer hasznos elektromágnesességgel kapcsolatos problémák megoldásában, az akusztikában, a folyadékdinamikában, illetve az anyagok és a hő terjedésének tanulmányozásában.

A (µ,ν,φ) rendszer

A μ és ν lapított szferoid koordináták képe az x-z síkban, ahol φ nulla és a egy. A konstans μ-höz tartozó görbék piros ellipszisek, míg a konstans ν-höz tartozó görbék félhiperbolákat formáznak ebben a síkban. A z-tengely függőleges, és szétválasztja a fókuszokat; a z és a ν koordiáták előjele mindig megegyezik. Innen a konstans μ-höz és ν-höz tartozó felületek a z-tengely körüli forgatással keletkeznek, ahogy azt a bevezetőben levő ábra mutatja

A leggyakoribb definíció a $(\mu ,\nu ,\phi )$ koordinátákat használja, ahol: $$\begin{array}{cc}x& =a\mathrm{ch}\mu \cos \nu \cos \phi \\ y& =a\mathrm{ch}\mu \cos \nu \sin \phi \\ z& =a\mathrm{sh}\mu \sin \nu \end{array}$$

ahol $\mu$ nemnegatív valós szám, $\nu \in [-\pi /2,\pi /2]$ és a $\phi$ azimutra az $\phi \in [-\pi ,\pi ]$ összefüggés teljesül. Ezeket a koordinátákat azért kedvelik, mert nem fajulnak el; ha van egy $(\mu ,\nu ,\phi )$ pont, akkor annak egyértelműen meghatározhatók az $(x,y,z)$ Descartes-koordinátái. A fordítottja szintén igaz, kivéve a $z$-tengelyt és a fókuszgyűrű belsejét.

Koordinátafelületek

A konstans μ-höz tartozó koordinátafelületek ellipszoidok, az $$\frac{x^2+y^2}{a^2{\mathrm{ch}}^2\mu }+\frac{z^2}{a^2{\mathrm{sh}}^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$$ trigonometrikus összefüggések miatt, és mivel ellipszisekből keletkeztek úgy, hogy a gyújtópontokat elválasztó szimmetriategely körül forgatták meg őket. Egy x-z síkban levő ellipszis fél nagytengelye a ch μ hosszú, és x-tengely menti, míg a fél kistengelye a sh μ hosszú, és z-tengely menti. A fókuszok az x-tengelyen helyezkednek el, és z-koordináta ±a.

Hasonlóan, a konstans ν-höz tartozó felületek fél egyköpenyű forgáshiperboloidok, mivel $$\frac{x^2+y^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{z^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\mathrm{ch}}^2\mu -{\mathrm{sh}}^2\mu =1$$ Ha ν pozitív, akkor a fél hiperboloid az x-y sík fölött van, míg negatív ν esetén az x-y sík alá esik. A ν szög geometriai jelentése a hiperboloidok aszimptotáinak szöge. A hiperboloidok gyújtópontja az x-tengelyen a ±a pontokban van.

Inverz transzformáció

A (μ, ν, φ) a következőképpen számíthatók az (x, y, z) Descartes-koordinátákból. A φ azimut: $$\mathrm{tg}\varphi =\frac{y}{x}$$

A ρ cilindersugár: $${\rho }^2=x^2+y^2$$ és a φ által definiált síkban a fókuszoktól mért távolság: $$\begin{array}{c}{d}_1^2=(\rho +a{)}^2+z^2\\ d_2^2=(\rho -a{)}^2+z^2\end{array}$$

Ezekkel a többi koordináta: $$\begin{array}{cc}\mathrm{ch}\mu & =\frac{d_1+d_2}{2a}\\ \cos \nu & =\frac{d_1-d_2}{2a}\end{array}$$ ahol μ mindig nemnegatív, és ν előjele megegyezik z előjelével.

Egy másik módszer az inverz transzformáció kiszámítására: $$\begin{array}{cc}\mu & =\mathrm{Re}\mathrm{arch}\frac{\rho +zi}{a}\\ \nu & =\mathrm{Im}\mathrm{arch}\frac{\rho +zi}{a}\\ \varphi & =\mathrm{arctg}\frac{y}{x}\end{array}$$ ahol $$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$$

Skálázási tényezők

A skálázási tényezők a $\mu$ és a $\nu$ koordináták esetén megegyeznek: $$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{{\mathrm{sh}}^2\mu +{\sin }^2\nu }$$ míg az azimut skálázási tényezője $$h_{\varphi }=a\mathrm{ch}\mu \cos \nu$$

Így az infinitezimális térfogatelem $$dV=a^3\mathrm{ch}\mu \cos \nu ({\mathrm{sh}}^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu d\varphi$$

és a Laplace-operátor: $${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\mathrm{sh}}^2\mu +{\sin }^2\nu )}[\frac{1}{\mathrm{ch}\mu }\frac{\partial }{\partial \mu }(\mathrm{ch}\mu \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \mu })+\frac{1}{\cos \nu }\frac{\partial }{\partial \nu }(\cos \nu \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu })]+\frac{1}{a^2{\mathrm{ch}}^2\mu {\cos }^2\nu }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}$$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők az (μ, ν, φ) koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Bázisvektorok

A $\mu ,\nu ,\varphi$ koordináta-rendszer koordináta-rendszer bázisvektorai Descartes-koordinátákban kifejezhetők, mint: $$\begin{array}{cc}{\hat{e}}_{\mu }& =\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{sh}}^2\mu +{\sin }^2\nu }}(\mathrm{sh}\mu \cos \nu \cos \varphi \widehat{𝒊}+\mathrm{sh}\mu \cos \nu \sin \varphi \widehat{𝒋}+\mathrm{ch}\mu \sin \nu \widehat{𝒌})\\ {\hat{e}}_{\nu }& =\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{sh}}^2\mu +{\sin }^2\nu }}(-\mathrm{ch}\mu \sin \nu \cos \varphi \widehat{𝒊}-\mathrm{ch}\mu \sin \nu \sin \varphi \widehat{𝒋}+\mathrm{sh}\mu \cos \nu \widehat{𝒌})\\ {\hat{e}}_{\varphi }& =-\sin \varphi \widehat{𝒊}+\cos \varphi \widehat{𝒋}\end{array}$$ ahol $\widehat{𝒊},\widehat{𝒋},\widehat{𝒌}$ a Descartes-féle bázisvektorok. Továbbá ${\hat{e}}_{\mu }$ a konstans $\mu$-höz tartozó ellipszoid felszín kifelé mutató normálvektora, ${\hat{e}}_{\varphi }$ az azimuthoz tartozó egységvektor, és ${\hat{e}}_{\nu }$ a lapított szferoid érintősíkjában jobbfogású három dimenzióssá egészíti ki a koordináta-rendszert.

A (ζ, ξ, φ) rendszer

Néha használnak egy (ζ, ξ, φ) rendszert is, ahol $\zeta =\mathrm{sh}\mu$, $\xi =\sin \nu$ és $\phi$ ugyanaz, mint előbb (Smythe 1968). A $\zeta$ koordinátára teljesül, hogy $0\le \zeta <\mathrm{\infty }$ és a $\xi$ koordinátára $-1\le \xi <1$.

Kapcsolat a Descartes-rendszerrel: $$\begin{array}{c}x=a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\cos \varphi \\ y=a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\sin \varphi \\ z=a\zeta \xi \end{array}$$

Skálázási tényezők

A $(\zeta ,\xi ,\varphi )$ koordináták skálázási tényezői: $$\begin{array}{cc}{h}_{\zeta }& =a\sqrt{\frac{{\zeta }^2+{\xi }^2}{1+{\zeta }^2}}\\ h_{\xi }& =a\sqrt{\frac{{\zeta }^2+{\xi }^2}{1-{\xi }^2}}\\ h_{\varphi }& =a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\end{array}$$

A skálázási tényezők ismeretében a koordináták több függvénye is kiszámítható az ortogonális koordináta-rendszerek általános módszerei alapján. Az infinitezimális térfogatelem: $$dV=a^3({\zeta }^2+{\xi }^2)d\zeta d\xi d\varphi$$

A gradiens: $$\mathrm{\nabla }V=\frac{1}{h_{\zeta }}\frac{\partial V}{\partial \zeta }\hat{\zeta }+\frac{1}{h_{\xi }}\frac{\partial V}{\partial \xi }\hat{\xi }+\frac{1}{h_{\varphi }}\frac{\partial V}{\partial \varphi }\hat{\varphi }$$

A divergencia: $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{a({\zeta }^2+{\xi }^2)}\{\frac{\partial }{\partial \zeta }\left(\sqrt{1+{\zeta }^2}\sqrt{{\zeta }^2+{\xi }^2}{F}_{\zeta }\right)+\frac{\partial }{\partial \xi }\left(\sqrt{1-{\xi }^2}\sqrt{{\zeta }^2+{\xi }^2}{F}_{\xi }\right)\}+\frac{1}{\sqrt{1+{\zeta }^2}\sqrt{1-{\xi }^2}}\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }$$

A Laplace-operátor: $${\mathrm{\nabla }}^{2}V=\frac{1}{a^2({\zeta }^2+{\xi }^2)}\{\frac{\partial }{\partial \zeta }\left[(1+{\zeta }^2)\frac{\partial V}{\partial \zeta }\right]+\frac{\partial }{\partial \xi }\left[(1-{\xi }^2)\frac{\partial V}{\partial \xi }\right]\}+\frac{1}{a^2(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\varphi }^2}$$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők az (μ, ν, φ) koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Lapított szferoid harmonikus függvények

Ahogy a szférikus koordináták és a szférikus harmonikus függvények esetén, a Laplace-egyenlet megoldható a változók szétválasztásával. Ezeket a megoldásokat kényelmes használni, ha a peremfeltételeket egy rögzített koordinátájú felület mentén adták meg.

A változók szétválasztásának módszerével a Laplace-egyenlet egy megoldása: $$V=Z(\zeta )\mathrm{\Xi }(\xi )\mathrm{\Phi }(\varphi )$$ Ez egy három egyenletből álló egyenletrendszert ad, minden változóra egy egyenlettel: $$\begin{array}{c}\frac{d}{d\zeta }[(1+{\zeta }^2)\frac{dZ}{d\zeta }]+\frac{m^{2}Z}{1+{\zeta }^2}-n(n+1)Z=0\\ \frac{d}{d\xi }[(1-{\xi }^2)\frac{d\mathrm{\Xi }}{d\xi }]-\frac{m^2\mathrm{\Xi }}{1-{\xi }^2}+n(n+1)\mathrm{\Xi }=0\\ \frac{d^2\mathrm{\Phi }}{d{\varphi }^2}=-m^2\mathrm{\Phi }\end{array}$$ ahol az m konstans egész, mivel a φ változó 2π szerint periodikus. Ekkor az n is egész. Az egyenletek megoldása: $$\begin{array}{cc}{Z}_{mn}& =A_1{P}_n^m(i\zeta )+A_2{Q}_n^m(i\zeta )\\ {\mathrm{\Xi }}_{mn}& =A_3{P}_n^m(\xi )+A_4{Q}_n^m(\xi )\\ {\mathrm{\Phi }}_m& =A_5{e}^{im\varphi }+A_6{e}^{-im\varphi }\end{array}$$ ahol $A_i$-k konstansok, $P_n^m(z)$ és $Q_n^m(z)$ asszocilt Legendre-polinomok, mégpedig rendre első, illetve másodfajúak. A három megoldás szorzata lapított szferoid harmonikus függvény, és a Laplace-egyenlet általános megoldása: $$V=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{Z}_{mn}(\zeta ){\mathrm{\Xi }}_{mn}(\xi ){\mathrm{\Phi }}_m(\varphi )$$

A konstansok csak négy független konstanssá kombinálódnak a harmonikus függvényekben.

A (σ, τ, φ)-rendszer

A P pont (fekete gömbbel jelölve) koordinátafelületei a (σ, τ, φ) alternatív lapított szferoid koordináta-rendszerben. A σ koordinátának megfelelő lapított szferoid pirossal; a φ azimut méri a zöld és a sárga félsíkok szögét. A τ konstanshoz egy egész hiperboloid tartozik, ami kétszeres elfajulást eredményez. Ezt mutatja a két fekete gömb (x, y, ±z)-ben

Néha az alternatív (σ, τ, φ)-rendszert használják, ahol $\varsigma =\mathrm{ch}\mu$ és $\tau =\cos \nu$. Így a σ koordináta legalább egy, míg τ -1 és +1 közé esik, beleértve a határokat. A konstans σ értékekhez ugyanazok a lapított szferoidok tartoznak, mint μ-höz, míg a konstans τ értékekhez teljes forgáshiperboloidok tartoznak, mégpedig a ν-höz és a -ν-höz tartozó két félhiperboloid. Emiatt ezek a koordináták elfajultak, Két, descartes-koordinátákkal adott pont, (x, y, ±z) koordinátái egyeznek ebben a koordináta-rendszerben. Ez látszódik azokból az egyenletekből, amelyek a (σ, τ, φ)-rendszert transzformálják a Descartes-koordináta-rendszerbe: $$\begin{array}{cc}x& =a\sigma \tau \cos \varphi \\ y& =a\sigma \tau \sin \varphi \\ z^2& =a^2({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)\end{array}$$

A $\sigma$ és $\tau$ koordináták egyszerű kapcsolatban állnak a fókuszgyűrűvel való távolsággal. Bármely pont esetén a $d_1+d_2$ távolság megegyezik $2a\sigma$-val, míg a $d_1-d_2$ különbség megegyezik $2a\tau$-val. Tehát a fókusztól mért távoli távolság $a(\sigma +\tau )$, míg a közeli $a(\sigma -\tau )$.

Koordinátafelületek

A konstans σ-hoz tartozó felületek, a konstans μ-höz tartozó megfelelőikhez hasonlóan lapított szferoidokat alkotnak: $$\frac{x^2+y^2}{a^2{\sigma }^2}+\frac{z^2}{a^2({\sigma }^2-1)}=1$$

Hasonlóan, a konstans τ-hoz tartozó felületek egyköpenyű forgáshiperboloidokat alkotnak: $$\frac{x^2+y^2}{a^2{\tau }^2}-\frac{z^2}{a^2(1-{\tau }^2)}=1$$

Skálázási tényezők

A $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ rendszer skálázási tényezői: $$\begin{array}{c}{h}_{\sigma }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{{\sigma }^2-1}}\\ h_{\tau }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{1-{\tau }^2}}\end{array}$$ míg az azimut skálázási tényezője: $h_{\varphi }=a\sigma \tau$.

Ezzel az infinitezimális térfogatelem $$dV=a^3\sigma \tau \frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}}d\sigma d\tau d\varphi$$

és a Laplace-operátor: $${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sigma }^2-{\tau }^2)}\{\frac{\sqrt{{\sigma }^2-1}}{\sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left[\left(\sigma \sqrt{{\sigma }^2-1}\right)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right]+\frac{\sqrt{1-{\tau }^2}}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left[\left(\tau \sqrt{1-{\tau }^2}\right)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right]\}+\frac{1}{a^2{\sigma }^2{\tau }^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}$$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők az (μ, ν, φ) koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Ahogy a gömbkoordináták esetén, úgy a lapított koordináta-rendszerben is megoldható Laplace egyenlete az együtthatók szétválasztásával. Ez kényelmes akkor, ha a peremfeltételek a lapított ellipszoid koordináta-rendszer egy koordinátafelületén vannak adva. A megoldások lapított szferoid harmonikusok alakjában adódnak. (Lásd: Smythe, 1968)

Források

• Sablon:Cite book Uses ξ₁ = a sinh μ, ξ₂ = sin ν, and ξ₃ = cos φ.
• Sablon:Cite book Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book Uses hybrid coordinates ξ = sinh μ, η = sin ν, and φ.
• Sablon:Cite book Korn and Korn use the (μ, ν, φ) coordinates, but also introduce the degenerate (σ, τ, φ) coordinates.
• Sablon:Cite book Like Korn and Korn (1961), but uses colatitude θ = 90° - ν instead of latitude ν.
• Sablon:Cite book Moon and Spencer use the colatitude convention θ = 90° - ν, and rename φ as ψ.
• Sablon:Cite book Treats the oblate spheroidal coordinates as a limiting case of the general ellipsoidal coordinates. Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.