Elliptikus koordináta-rendszer

Elliptikus koordináta-rendszer

A geometriában az elliptikus koordináta-rendszer olyan kétdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, melynek koordinátavonalai konfokális ellipszisek és hiperbolák. Az $F_1$ és $F_2$ fókuszpontokat rendszerint egy Descartes-féle koordináta-rendszer $x$-tengelyén, az $x=-a$ és $x=+a$ pontokban veszik fel.

Alapdefiníció

Elliptikus koordináták a = 1 esetén. A numerikus excentricitást itt e jelöli

A $(\mu ,\nu )$ elliptikus koordináták leggyakoribb definíciója:

$x=a\mathrm{ch}\mu \cos \nu$

$y=a\mathrm{sh}\mu \sin \nu$

ahol $\mu$ nemnegatív valós szám és $\nu \in [0,2\pi ].$

Komplex síkon egy ekvivalens kapcsolat:

$x+iy=a\mathrm{ch}(\mu +i\nu )$

Ezek a definíciók ellipsziseknek és hiperboláknak felelnek meg. Az

$\frac{x^2}{a^2{\mathrm{ch}}^2\mu }+\frac{y^2}{a^2{\mathrm{sh}}^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$

trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans $\mu$-höz tartozó koordinátavonalak ellipszisek, míg a

$\frac{x^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{y^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\mathrm{ch}}^2\mu -{\mathrm{sh}}^2\mu =1$

mutatja, hogy a konstans $\nu$-höz tartozók hiperbolák. $\mu =0$ esetén az ellipszis koordinátavonal a két gyújtópontot összekötő szakasszá fajul. $\nu =0$ esetén a hiperbola az $[a,\mathrm{\infty }[$ félegyenessé fajul el az $x$-tengelyen, $\nu =\pi$ esetén a hozzá tükörszimmetrikus félegyenessé az $x$-tengely negatív felén. $\nu =\frac{\pi }{2}$ és $\nu =\frac{3\pi }{2}$ esetén a koordinátavonal az $y$-tengely pozitív, illetve negatív fele.

Az összes ellipszis és hiperbola lineáris excentricitása megegyezik: $e=a$. Azokon az ellipsziseken, ahol $\mu$ konstans, a nagytengely $\alpha =a\mathrm{ch}\mu$, a kistengely $\beta =a\mathrm{sh}\mu$ és numerikus excentricitása $\epsilon =\frac{1}{\mathrm{ch}\mu }$. Azokon a hiperbolákon, ahol $\nu$ konstans, a valós féltengely $\alpha =a\cos \nu$, a képzetes féltengely $\beta =a\sin \nu$, és a numerikus excentricitás $\epsilon =\frac{1}{\cos \nu }$.

Az ábrázolás ebben a koordináta-rendszerben azért lehetséges, mivel a koszinusz hiperbólikusz és a szinusz hiperbólikusz, illetve a koszinusz és a szinusz triviálisan kielégíti az ellipszisek kis és nagytengelye, illetve a hiperbolák valós és képzetes tengelye közötti kapcsolatot.

Skálázási tényezők

Az ortogonális koordináta-rendszerekben a bázisvektorok hosszai skálázási tényezőkként ismertek. A $(\mu ,\nu )$ elliptikus koordináták skálázási tényezői:

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{{\mathrm{sh}}^2\mu +{\sin }^2\nu }=a\sqrt{{\mathrm{ch}}^2\mu -{\cos }^2\nu }.$

A hiperbolikus és a trigonometrikus függvények kétszeres szögekre vonatkozó azonosságainak felhasználásával:

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{\frac{1}{2}(\mathrm{ch}2\mu -\cos 2\nu )}.$

Így a felszínelem

$dA=h_{\mu }{h}_{\nu }d\mu d\nu =a^2({\mathrm{sh}}^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu =a^2({\mathrm{ch}}^2\mu -{\cos }^2\nu )d\mu d\nu =\frac{a^2}{2}(\mathrm{ch}2\mu -\cos 2\nu )d\mu d\nu$

és a Laplace-operátor

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\mathrm{sh}}^2\mu +{\sin }^2\nu )}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2})=\frac{1}{a^2({\mathrm{ch}}^2\mu -{\cos }^2\nu )}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2})=\frac{2}{a^2(\mathrm{ch}2\mu -\cos 2\nu )}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2}).$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\mu ,\nu )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Transzformációk

A $(\mu ,\nu )\to (x,y)$ transzformációhoz a fenti jelöléseket használjuk.

Az $(x,y)\to (\mu ,\nu )$ inverz transzformációkhoz a koordináta-rendszer alapötletét kell figyelembe venni. Eszerint az $(x,y)$ pontnak rajta kell lennie egy ellipszisen és egy vele konfokális hiperbolán. Ezek féltengelyeit jelölje $(\alpha ,\beta )$. Az ellipszis és a hiperbola egyenletének felhasználásával:

$\frac{x^2}{{\alpha }^2}+\frac{y^2}{{\beta }^2}=1=\frac{x^2}{(a\mathrm{ch}\mu {)}^2}+\frac{y^2}{(a\mathrm{sh}\mu {)}^2}$

$\frac{x^2}{{\alpha }^2}-\frac{y^2}{{\beta }^2}=1=\frac{x^2}{(a\cos \nu {)}^2}-\frac{y^2}{(a\sin \nu {)}^2}$

Ezeket az egyenleteket kielégíti a fent leírt Descartes-koordináta-rendszer.

Alkalmazzuk most az alapvető hiperbolikus és trigonometrikus összefüggéseket:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$

ez alapján levezethető a következő transzformációleírás:

$a^2{\mathrm{sh}}^2\mu =\frac{x^2+y^2-a^2}{2}+\sqrt{{\left(\frac{x^2+y^2-a^2}{2}\right)}^2+a^2{y}^2}=m+\sqrt{m^2+a^2{y}^2}$

$a^2{\sin }^2\nu =-\frac{x^2+y^2-a^2}{2}+\sqrt{{\left(\frac{x^2+y^2-a^2}{2}\right)}^2+a^2{y}^2}=-m+\sqrt{m^2+a^2{y}^2}$

ahol $m:=\frac{x^2+y^2-a^2}{2}$.

Alternatív definíció

Néha másként definiálják az elliptikus koordinátákat, azaz a koordináták $(\sigma ,\tau )$, ahol $\sigma =\mathrm{ch}\mu$ és $\tau =\cos \nu$. Így a konstans $\sigma$-hoz tartozó koordinátavonalak ellipszisek, és a konstans $\tau$-hoz tartozók hiperbolák. A $\tau$ koordináta a [-1, 1] intervallumba kell, hogy essen, míg a $\sigma$ koordinátának eleget kell tennie a $\sigma \ge 1$ egyenlőtlenségnek.

A $(\sigma ,\tau )$ koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az $F_1$ $(-a,0)$ és $F_2$ $(+a,0)$ fókuszpontok távolságával. A sík minden pontja esetén a $d_1+d_2$ fókuszoktól mért távolság megegyezik a $2a\sigma$-val, míg a $d_1-d_2$ különbség egyenlő $2a\tau$-val. Emiatt a $F_1$-től mért távolság $a(\sigma +\tau )$, illetve az $F_2$-től vett távolsága $a(\sigma -\tau )$.

Ezeknek a koordinátáknak az a hátránya, hogy több ponthoz is ugyanazokat a koordinátákat rendeli. Így a (x,y) és az (x,-y) Descartes-koordinátájú pontok ugyanazt a $(\sigma ,\tau )$ elliptikus koordinátáját kapják. Ezzel a visszatérés a Descartes-koordinátákra nem egyértelmű.

$x=a\sigma \tau$

$y^2=a^2({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2).$

Alternatív skálázási tényezők

A $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal ellátott alternatív elliptikus koordináta-rendszer skálázási tényezői:

$h_{\sigma }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{{\sigma }^2-1}}$

$h_{\tau }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{1-{\tau }^2}}.$

Így a felszínelem:

$dA=a^2\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}}d\sigma d\tau$

és a Laplace-operátor:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sigma }^2-{\tau }^2)}[\sqrt{{\sigma }^2-1}\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sqrt{{\sigma }^2-1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\sqrt{1-{\tau }^2}\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\sqrt{1-{\tau }^2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)].$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Magasabb dimenziókban

Az elliptikus koordináta-rendszer többféleképpen is általánosítható:

• Az elliptikus hengerkoordináta-rendszer megkapható a $z$-irányba vetítéssel.
• A lapított ellipszoid koordináta-rendszer megkapható az $y$-tengely körüli forgatással (ami szétválasztja a fókuszokat)
• A nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer megkapható az $x$-tengely körüli forgatással (ami összeköti a fókuszokat)
• Az ellipszoid koordináta-rendszer az elliptikus koordináta-rendszer formális definíciójának kiterjesztésével kapható. Koordinátafelületei ellipszoidok, egy és két köpenyű hiperboloidok.

Alkalmazások

Az elliptikus koordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai parciális differenciálegyenletek megoldása, például Laplace egyenlete és a Helmholtz-egyenlet. Ezekben a rendszerekben az elliptikus koordináták természetes leírást adnak, ami lehetővé teszi a változók szétválasztását. Ilyen példa egy molekula elektronjai vagy ellipszis alakú bolygópályák.

A H₂⁺-molekula Schrödinger-egyenlete a Born-Oppenheimer-megközelítésben teljesen szeparálható ebben a koordináta-rendszerben, de analitikusan nem oldható meg, mivel az energia és a szeparációs konstans két-két szétválasztott egyenletében explicit megjelennek.

Hasznosnak bizonyulhatnak az elliptikus koordináták geometriai tulajdonságai is. Egy tipikus példa integráció az összes olyan $𝐩$ és $𝐪$ vektorpáron, ahol $𝐩$ és $𝐪$ összege egy konstans $𝐫$ vektor. Az integrandus pedig a $\left|𝐩\right|$ és $\left|𝐪\right|$ vektorhosszak függvénye. Ekkor a koordináta-rendszert úgy vesszik fel, hogy az $x$-tengely pozitív iránya az $𝐫$ vektorral megegyezzen, vagyis $𝐫=2a\widehat{𝐱}$. Például $𝐫$, $𝐩$ és $𝐪$ rendre egy részecske momentuma és dekompozíciós komponensei, és az integrandus magában foglalja a komponensekhez tartozó mozgási energiát, ami a momentumok négyzetösszegével arányos.

Fordítás

• Sablon:Fordítás
• Sablon:Fordítás

Források

• Sablon:Cite web
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill
• Weisstein, Eric W. "Elliptic Cylindrical Coordinates." From MathWorld — A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html
• D.D. Sokolov: Elliptic coordinates. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001