Nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer

A nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer koordinátafelületei. A piros nyújtott ellipszoid megfelel a μ = 1 koordinátának; a kék hiperboloidköpeny a ν = 45° koordinátának; és a sárga félsík a φ = −60°-nak, melyet az x-tengelyhez viszonyítunk. A fekete gömb a három felszín metszete, melynek Descartes-koordinátái körülbelül (0.831, −1.439, 2.182)

A nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, mely egy kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszerből származtatható úgy, hogy a koordináta-rendszert a fókuszokat összekötő szimmetriatengely körül forgatjuk meg. A másik szimmetriatengely körüli forgatás lapított ellipszoid koordináta-rendszert eredményez. Mindkettő tekinthető az ellipszoid koordináta-rendszer egy speciális esetének, ahol két tengely hossza megegyezik.

A lapított koordináta-rendszer hasznos olyan differenciálegyenletek megoldásában, ahol a peremfeltételeket egy nyújtott ellipszoid vagy egy kétköpenyű forgáshiperboloid mentén határozzák meg. Ilyen rendszer alakul ki egy erőtérben, mint amilyet két központ produkál; ezek állnak a fókuszpontokban. Erre példa egy elektron hullámfüggvényének meghatározása két pozitívan töltött mag közelében, mint például a H₂⁺ összetett ionban. A fókuszpontban állhatnak vékony elektródvégek is, az ezek által létrehozott erőtér szerkezete így meghatározható. További példák: egy szakasz (μ = 0) erőtere, vagy egy egyenes, amiből hiányzik egy szakasz. A sokelektronos kétatomos molekulák általános elektronszerkezete is kiváló pontossággal megismerhető a nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer segítségével.

Definíció

A nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer μ és ν koordinátái a = 1 esetén. A μ és ν koordináták koordinátavonalai láthatók az xz síkban. A μ és ν koordinátákhoz tartozó koordinátafelületek e sík z-tengely körüli forgatásával kapható, ezért a z-tengelyt tartalmazó minden síkban ugyanez az ábra, függetlenül a φ értékétől

A legtöbbször használt nyújtott ellipszoid koordináta-rendszert a $(\mu ,\nu ,\phi )$ koordinátákkal látják el:

$x=a\mathrm{sh}\mu \sin \nu \cos \phi$

$y=a\mathrm{sh}\mu \sin \nu \sin \phi$

$z=a\mathrm{ch}\mu \cos \nu$

ahol $\mu$ nemnegatív valós szám, és $\nu \in [0,\pi ]$. A $\phi$ azimut a $[0,2\pi ]$ szakasz eleme.

A

$\frac{z^2}{a^2{\mathrm{ch}}^2\mu }+\frac{x^2+y^2}{a^2{\mathrm{sh}}^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$

trigonometrikus azonosság szerint a konstans $\mu$-höz tartozó koordinátafelületek nyújtott ellipszoidok, hiszen ellipszisekből keletkeztek azok fókuszait összekötő egyenesek körüli forgatással. Hasonlóan, a

$\frac{z^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{x^2+y^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\mathrm{ch}}^2\mu -{\mathrm{sh}}^2\mu =1$

hiperbolikus-trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans $\nu$-jű koordinátafelületek forgáshiperboloidok.

A $(x,y,z)=(0,0,\pm a)$ pontokban elhelyezkedő fókuszoktól mért távolság:

$r_{\pm }=\sqrt{x^2+y^2+(z\mp a{)}^2}=a(\mathrm{ch}\mu \mp \cos \nu ).$

Alternatív definíció

A nyújtott elliptikus koordináta-rendszer esetén létezik egy alternatív definíció is a $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ koordinátákkal, ahol $\sigma =\mathrm{ch}\mu$ és $\tau =\cos \nu$. Itt a konstans $\sigma$-hoz tartozó koordinátafelületek nyújtott ellipszoidok, míg a konstans $\tau$ koordinátafelületei teljes forgáshiperboloidok. A $\tau$ koordináta az [−1, 1] intervallum eleme, míg $\sigma \ge 1$.

A $\sigma$ és a $\tau$ koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az $F_1$ és $F_2$ fókuszoktól mért távolsággal. Bármely pontra a fókuszoktól mért távolság összege a $d_1+d_2$ összeg $2a\sigma$, míg a távolságok $d_1-d_2$ különbsége $2a\tau$. Így az $F_1$-től mért távolság $a(\sigma +\tau )$, míg az $F_2$-től vett távolság $a(\sigma -\tau )$. Ez alapján kapjuk a következő összefüggéseket a $\sigma$, $\tau$ és $\phi$ koordinátákra:

$\sigma =\frac{1}{2a}(\sqrt{x^2+y^2+(z+a{)}^2}+\sqrt{x^2+y^2+(z-a{)}^2})$

$\tau =\frac{1}{2a}(\sqrt{x^2+y^2+(z+a{)}^2}-\sqrt{x^2+y^2+(z-a{)}^2})$

$\phi =\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$

Szemben a megfelelő lapított szferoid koordinátákkal, a (σ, τ, φ) koordináta-rendszer nem elfajult; más szóval, bijektíven megfeleltethető a Descartes-koordinátákkal:

$x=a\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}\cos \phi$

$y=a\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}\sin \phi$

$z=a\sigma \tau$

Alternatív skálázási tényezők

Az alternatív $(\sigma ,\tau ,\phi )$ koordináták skálázási tényezői:

$h_{\sigma }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{{\sigma }^2-1}}$

$h_{\tau }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{1-{\tau }^2}}$

míg az azimut skálázási tényezője

$h_{\phi }=a\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}$

Így az infinitezimális térfogatelem:

$dV=a^3({\sigma }^2-{\tau }^2)d\sigma d\tau d\phi$

és a Laplace-operátor:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=& \frac{1}{a^2({\sigma }^2-{\tau }^2)}\{\frac{\partial }{\partial \sigma }\left[({\sigma }^2-1)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right]+\frac{\partial }{\partial \tau }[(1-{\tau }^2)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }]\}\\ & +\frac{1}{a^2({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\phi }^2}\end{array}$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau ,\phi )$ koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Ahogy a gömbkoordináták esetén, Laplace egyenlete megoldható a változók szétválasztásával. A megoldások pontosan a nyújtott ellipszoid harmonikus függvények, melyeket kényelmes akkor használni, ha a peremfeltételek a nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer egy koordinátafelületén vannak megadva.

Források

• Sablon:Cite book Uses ξ₁ = a cosh μ, ξ₂ = sin ν, and ξ₃ = cos φ.
• Sablon:Cite book Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book Uses coordinates ξ = cosh μ, η = sin ν, and φ.

• Sablon:Cite book Korn and Korn use the (μ, ν, φ) coordinates, but also introduce the degenerate (σ, τ, φ) coordinates.
• Sablon:Cite book Similar to Korn and Korn (1961), but uses colatitude θ = 90° - ν instead of latitude ν.
• Sablon:Cite book Moon and Spencer use the colatitude convention θ = 90° − ν, and rename φ as ψ.

• Sablon:Cite book Treats the prolate spheroidal coordinates as a limiting case of the general ellipsoidal coordinates. Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.