Ellipszoid

Ellipszoid

A térgeometriában az ellipszoid olyan másodrendű felület, amelynek egyenlete alkalmasan orientált derékszögű koordináta-rendszerben

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$,

ahol a, b és c pozitív valós számok, amelyek meghatározzák az ellipszoid alakját. A speciális $a=b=c$ esetben az ellipszoid egy a sugarú, origó középpontú gömb. Ha a, b és c közül kettő egyenlő, akkor az ellipszoidot szferoidnak nevezzük.

Javasolt elnevezése a forgatás tengelyétől függően lapos, vagy lencseszferoid illetve hosszúkás, vagy orsószferoid.

A három koordinátasík szimmetriasíkja az ellipszoidnak, és minden nem üres síkmetszete ellipszis.

Az ellipszoid térfogatát a

$V=\frac{4}{3}\pi abc.$

képlet adja. Az ellipszoid felszíne általában nem fejezhető ki a, b és c elemi függvényeként.

Felszín

Az általános ellipszoid felszíne nem fejezhető ki az olyan elemi függvényekkel, mint az arkusz tangens vagy az arkusz szinusz. A felszín Legendre nyomán az elliptikus integrálokkal írható le:

Jelöljük az ellipszoid tengelyeit úgy, hogy $a>b>c$ legyen. Ekkor

$k=\frac{a}{b}\frac{\sqrt{b^2-c^2}}{\sqrt{a^2-c^2}}$ és $\phi =\arcsin \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}$,

így az integrálok

$E(k,\phi )=\underset{0}{\overset{\sin \phi }{\int }}\sqrt{\frac{1-k^2{x}^2}{1-x^2}}\mathrm{d}x$ és $F(k,\phi )=\underset{0}{\overset{\sin \phi }{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2{x}^2}}\mathrm{d}x.$

Ezzel a felszín

$A=2\pi c^2+\frac{2\pi b}{\sqrt{a^2-c^2}}(c^{2}F(k,\phi )+(a^2-c^2)E(k,\phi )).$

Helyettesítsük be most k-t, $\phi$-t,

$u=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}$ -t, és  $v=\frac{\sqrt{b^2-c^2}}{b}$-t

az A egyenletbe. Ezzel

$A=2\pi c^2+2\pi ab\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-u^2{v}^2{x}^2}{\sqrt{1-u^2{x}^2}\sqrt{1-v^2{x}^2}}\mathrm{d}x.$

Knud Thomsen integrálmentes közelítő formulája:

$A\approx 4\pi {\left(\frac{(ab{)}^{1.6}+(ac{)}^{1.6}+(bc{)}^{1.6}}{3}\right)}^{0.625}.$

Ez a képlet legfeljebb 1,2%-kal tér el a pontos felszíntől.

Egyre laposabb ellipszoidokat véve, ahol $(c\to 0)$ a felszínképlet a $2\pi ab$-hez tart. Ez az a és b tengelyű ellipszis területének kétszerese.

A forgási ellipszoidok, azaz a szferoidok felszíne

Legyen $a\ge b\ge c$ és legyen $\epsilon =\sqrt{1-{\left(\frac{c}{a}\right)}^2}$ az $y=0$ egyenletű síkkal vett metszet numerikus excentricitása.

Ekkor a lapos, lencseszferoid felszíne $a=b>c$ (forgástengely = z-tengely)

$A=2\pi a^2(1+{\left(\frac{c}{a}\right)}^2\frac{\mathrm{arth}\epsilon }{\epsilon })$

és az orsószferoidé $a>b=c$ (forgástengely = x-tengely)

$A=2\pi c^2(1+\frac{a}{c}\frac{\arcsin \epsilon }{\epsilon }).$

A szferoidok felszínképletének levezetése

Lencseszferoid

b = a, tehát k = 1, ebből $E(1,\phi )=\underset{0}{\overset{\sin \phi }{\int }}\mathrm{d}x=\sin \phi =\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}$ és $F(1,\phi )=\underset{0}{\overset{\sin \phi }{\int }}\frac{1}{1-x^2}\mathrm{d}x=\mathrm{arth}(\sin \phi )=\mathrm{arth}(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}).$

Legendre egyenletébe helyettesítve:

$A=2\pi c^2+\frac{2\pi a}{\sqrt{a^2-c^2}}(c^2\mathrm{arth}(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a})+(a^2-c^2)\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}).$

Orsószferoid

b = c, tehát k = 0, ebből $E(0,\phi )=F(0,\phi )=\underset{0}{\overset{\sin \phi }{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin (\sin \phi )=\arcsin (\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}).$

Legendre egyenletébe helyettesítve:

$A=2\pi c^2+\frac{2\pi c}{\sqrt{a^2-c^2}}(c^2\arcsin (\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a})+(a^2-c^2)\arcsin (\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a})).$

Paraméterezés

Jelölje $\beta$ a parametrikus szélességet, és $+\lambda {}^{\prime }$ a parametrikus hosszúságot. Ekkor az ellipszis a következőképpen paraméterezhető:

$\begin{array}{cc}x& =a\cos (\beta )\cos (\lambda );|\\ y& =b\cos (\beta )\sin (\lambda );\\ z& =c\sin (\beta );\end{array}$

$\begin{array}{c}-\frac{\pi }{2}\le \beta \le +\frac{\pi }{2};-\pi \le \lambda \le +\pi ;|\end{array}$

Ez a paraméterezés nem egy-egyértelmű a pólusoknál, ahol $|\beta =\pm \frac{\pi }{4}|$

Gömbi koordinátákkal,

$\begin{array}{cc}x& =a\sin (\varphi )\cos (\theta );|\\ y& =b\sin (\varphi )\sin (\theta );\\ z& =c\cos (\varphi );\end{array}$

$\begin{array}{c}0\le \theta \le 2\pi ;0\le \varphi \le \pi ;|\end{array}$

Lineáris transzformációk

Ahogy a spektrálelméletből tudjuk, egy invertálható lineáris transzformáció a gömböt ellipszoidba viszi. Ha a lineáris transzformáció mátrixa szimmetrikus, akkor a mátrix sajátvektorai ortogonálisak, és megadják az ellipszoid tengelyeinek irányát. A féltengelyek hossza a sajátértékektől függ.

Ellipszoid és sík metszete vagy üres, vagy (egy esetleg egy pontú) ellipszis, ami kör is lehet.

A fentiek általánosíthatók magasabb dimenzióra is, ahol is a gömb képét nevezzük ellipszoidnak. A spektrálelmélet hasonló eredményeket ad.

Tojás alak

A tyúktojás alakja két egymáshoz simított fél ellipszoiddal közelíthető, melyek forgástengelye közös. Az egyik lapos, vagy közel gömb, a másik hosszúkás. A tojás alak rendszerint az egyenlítőre vett szimmetria hiányára utal.

Források

• Ellipszoid felszínének és térfogatának számítása online Sablon:Wayback
• "Jeff Bryant: Ellipszoid" Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Ellipszoid és
• Másodfokú felület, MathWorld.