Szferoid

Lencseszferoid

Orsószferoid

A szferoid vagy más néven forgási ellipszoid vagy kéttengelyű ellipszoid egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy ellipszist valamelyik tengelye mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az ellipszoidnak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú.

Amennyiben az ellipszist a rövidebb tengelye körül pörgetjük meg, lapos ún. lencseszferoidot kapunk. Ha viszont a hosszabbik tengelye körül forgatjuk meg az ellipszist, hosszúkás, ún. orsószferoidot kapunk.

A gömb pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú.

Matematikai alakja

Mivel az ellipszoid egyenletében szereplő három tengely közül kettő egyforma, a szferoid egyenlete is leegyszerűsödik az alábbi formára:

$\frac{X^2+Y^2}{a^2}+\frac{Z^2}{b^2}=1.$

ahol X,Y és Z a térbeli koordináták, a és b pedig a megpörgetett ellipszis fél kis-, illetve fél nagytengelye attól függően, hogy az ellipszist a kis- vagy a nagytengelye mentén pörgettük meg.

Térfogata

Jelölje a a fél-nagytengelyt, és b a fél-kistengelyt.

Ekkor az orsószferoid térfogata

$V=\frac{4\pi }{3}a{b}^2,$

és a lencseszferoidé

$V=\frac{4\pi }{3}{a}^{2}b.$

Felszíne

Legyen ismét a a nagytengely, és b a kistengely.

Ekkor az orsószferoid felszíne

$A=2\pi b(b+\frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\arcsin \left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right))$,

és a lencseszferoidé

$A=2\pi a(a+\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\mathrm{arsh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right))$.

Gyakorlati jelentősége

A forgási orsószferoid kézenfekvő példái a boroshordók - ha egy ilyen szferoidot végeinél szimmetrikusan, a forgástengelyre merőlegesen csonkolunk, hordó alakot kapunk.

A szferoidnak a geometriai fontosságán túlmenően szerepe van a Föld, illetve más, gyorsan forgó égitestek alakjának (például Jupiter, Szaturnusz) meghatározásában.

Tekintve, hogy kis eltérések azért vannak a Föld tényleges alakja és bármely erre illeszkedő szferoid között, geodéziai feladat az adott területre vagy problématípusra kiszámolni a legjobban illeszkedő szferoidot. A Föld esetében a Föld matematikai alakját, a geoidot globálisan igen jól lehet közelíteni egy szferoiddal, az eltérés a legjobban illeszkedő szferoid és a geoid között nem haladja meg a 150 métert. (Az eltérést magát geoidundulációnak nevezzük.)

A térképészetben azonban nemcsak globálisan illeszkedő szferoidokat használnak, hanem a térképezendő területre még jobban illeszkedő, a globálistól eltérő paraméterekkel és térbeli elhelyezéssel bíró forgási ellipszoidokat.

Ennek megfelelően az egyes országok különféle szferoidokat használnak térképi/geodéziai alapnak. Magyarország a múlt századi háromszögelési hálózatai alapjául a Bessel-féle ellipszoidot, a második világháború utáni háromszögeléshez a Kraszovszkij-féle ellipszoidot alkalmazta. Az Egységes Országos Vetületi rendszer EOV létrehozásakor alapfelületként a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1967. évi Geodéziai Vonatkozási Rendszerét (Geodetic Reference System), az IUGG GRS 1967 ellipszoidot választották alapnak. A GPS (Global Positioning System) a geocentrikus WGS 84 (WGS: World Geodetic System) ellipszoidot használja.

A felszínformulák levezetése

Legyen $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$ az a nagytengelyű és b kistengelyű ellipszoid egyenlete.

Orsószferoid

Az első Guldin-szabállyal

$A=2\pi \underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)\sqrt{1+{[f^{\prime }(x)]}^2}\mathrm{d}x$

Ez annak a forgástestnek a felszíne, ami az ellipszis x tengely körüli forgatásával keletkezik. Itt a generátorgörbe egyenlete $f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$, ami az ellipszoid egyenletét y-ra megoldva adódik.

Továbbá szükség van a jobb oldal x szerinti deriváltjára:

$\int \sqrt{q-p{x}^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{q-p{x}^2}+\frac{q}{2\sqrt{p}}\arcsin \left(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}x\right).$

Behelyettesítve

$A=2\pi \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{1+\frac{b^2{x}^2}{a^2(a^2-x^2)}}\mathrm{d}x=\frac{4\pi b}{a^2}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^4-(a^2-b^2)x^2}\mathrm{d}x.$

Itt kihasználtuk az x tengely körüli forgásszimmetriát.

Az integrál határainak figyelembevételével

$A=\frac{4\pi b}{a^2}(\frac{a}{2}\sqrt{a^4-(a^2-b^2)a^2}+\frac{a^4}{2\sqrt{a^2-b^2}}\arcsin \left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^4}}a\right)),$

Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.

Lencseszferoid

A számítások az előzőekhez hasonlók.

Most az ellipszist az y tengely körül forgatjuk meg.

Ismét az első Guldin-szabályt használjuk:

$A=2\pi \underset{\min (f(x_l),f(x_r))}{\overset{\max (f(x_l),f(x_r))}{\int }}{f}^{-1}(y)\sqrt{1+{\left[(f^{-1}(y))\right]}^2}\mathrm{d}y$

Az ellipszis egyenletét x-re megoldva

$f^{-1}(y)=\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y^2}$

és behelyettesítve az $f(0)=b$ és $f(a)=0$ értékeket kapjuk a következőt:

$A=4\pi \underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y^2}\sqrt{1+\frac{a^2{y}^2}{b^2(b^2-y^2)}}\mathrm{d}y=\frac{4\pi a}{b^2}\underset{0}{\overset{b}{\int }}\sqrt{b^4+(a^2-b^2)y^2}\mathrm{d}y.$

ahol újra kihasználtuk az ellipszoid forgásszimmetriáját.

További helyettesítésekkel és átalakításokkal adódik

$A=\frac{4\pi a}{b^2}(\frac{b}{2}\sqrt{b^4+(a^2-b^2)b^2}+\frac{b^4}{2\sqrt{a^2-b^2}}\mathrm{arsh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{b^4}}b\right)).$

amit egyszerűsítve kapjuk a fenti képletet.

Lásd még

• Ellipszoid
• Geodéziai dátum
• Geoid
• Geoidunduláció