Elliptikus hengerkoordináta-rendszer

Az elliptikus hengerkoordináta-rendszer koordinátafelületei. A sárga hajlított felület egy fél hiperbolikus henger, ami a ν=-45°-nak felel meg, míg a piros cső a μ=1-hez tartozó elliptikus henger. A kék sík a z=1 koordinátához tartozik. A három felület a P pontban metszi egymást, melyet egy fekete gömb jelez. Desacartes.-koordinátái körülbelül (2,182; -1,661; 1,0). Az ellipszisek és hiperbolák fókuszai az x = ±2,0 pontok

Az elliptikus hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, ami a kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszer harmadik, merőleges tengely menti vetítésével kapható. Koordinátafelületei elliptikus és hiperbolikus hengerek. Az $F_1$ és $F_2$ fókuszokat az adott Descartes-féle koordináta-rendszer $x$-tengelyén veszik fel, rendre a $-a$ és $+a$ pontokban.

Alap definíciók

A $(\mu ,\nu ,z)$ elliptikus hengerkoordináták leggyakoribb definíciója:

$x=a\cosh \mu \cos \nu$

$y=a\sinh \mu \sin \nu$

$z=z$

ahol $\mu$ nemnegatív valós szám, és $\nu \in [0,2\pi ]$. Ezek a definíciók ellipsziseknek és hiperboláknak felelnek meg. Az

$\frac{x^2}{a^2{\cosh }^2\mu }+\frac{y^2}{a^2{\sinh }^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$

trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans $\mu$-höz tartozó görbék ellipszisek, míg az

$\frac{x^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{y^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\cosh }^2\mu -{\sinh }^2\mu =1$

trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans $\nu$-höz tartozó görbék hiperbolák.

Skálázási tényezők

A $\mu$ és $\nu$ elliptikus hengerkoordináták skálázási tényezői megegyeznek:

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{{\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu }$

és a harmadik skálázási tényező $h_z=1$. Eszerint az infinitezimális térfogatelem:

$dV=a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu dz$

és a Laplace-operátor:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2})+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\mu ,\nu ,z)$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Alternatív definíció

Néha egy másik koordinátahármast használnak, ami geometriailag is intuitív. Megkülönböztetésül jelölésük $(\sigma ,\tau ,z)$, és kaphatók, mint $\sigma =\cosh \mu$ és $\tau =\cos \nu$. A konstans $\sigma$-hoz tartozó görbék ellipszisek, a konstans $\tau$-hoz tartozók hiperbolák. A $\tau$ koordináta a [-1, 1] intervallum eleme, míg a $\sigma$ koordináta legalább 1.

A $(\sigma ,\tau ,z)$ koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az $F_1$ és $F_2$ fókuszoktól mért távolsággal. Az (x,y) sík pontjaira teljesül, hogy a fókuszoktól mért $d_1+d_2$ távolságösszeg egyenlő $2a\sigma$-val, míg a $d_1-d_2$ különbség megegyezik $2a\tau$-val. Így az $F_1$-től mért távolság $a(\sigma +\tau )$, az $F_2$-től mért távolság $a(\sigma -\tau )$.

Az alternatív definíció hátránya: nem lehet egy-egyértelműen megfeleltetni a Decartes-koordinátarendszerrel:

$x=a\sigma \tau$

$y^2=a^2({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)$

Alternatív skálázási tényezők

A $(\sigma ,\tau ,z)$ alternatív koordináták skálázási tényezői:

$h_{\sigma }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{{\sigma }^2-1}}$

$h_{\tau }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{1-{\tau }^2}}$

és $h_z=1$. Az infinitezimális térfogatelem

$dV=a^2\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}}d\sigma d\tau dz$

és a Laplace-operátor:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sigma }^2-{\tau }^2)}[\sqrt{{\sigma }^2-1}\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sqrt{{\sigma }^2-1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\sqrt{1-{\tau }^2}\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\sqrt{1-{\tau }^2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)]+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Alkalmazások

Az elliptikus hengerkoordináta-rendszert hagyományosan parciális differenciál-egyenletek megoldására használják, például Laplace egyenletének vagy a Helmholtz-egyenlet megoldására, ahol is az elliptikus hengerkoordináta-rendszer lehetővé teszi a változók szétválasztását. Egy tipikus példa egy $2a$ vastagságú lapos vezető lap elektromos mezője.

A háromdimenziós hullámegyenlet elliptikus hengerkoordinátákkal kifejezve megoldható a változók szétválasztásával, ami a Mathieu-differenciálegyenleteket adja.

Az elliptikus koordináták geometriai tulajdonságai is hasznosak lehetnek. Egy tipikus példa azokon a $𝐩$ and $𝐪$ vektorpárokon vett integrál, melyek összege egy rögzített $𝐫=𝐩+𝐪$ vektor, az integrandus pedig $\left|𝐩\right|$ and $\left|𝐪\right|$. Ekkor a koordináta-rendszert úgy veszik fel, hogy $𝐫$ a két fókusz közé essen, és az $x$-tengelyen helyezkedjen el, vagyis $𝐫=2a\widehat{𝐱}$. Az $𝐫$, $𝐩$ és $𝐪$ vektorok reprezentálhatják egy részecske és dekompozíciójának momentumát, és az integrandus magában foglalja a mozgási energiát.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Sablon:Cite book