Parabolikus hengerkoordináta-rendszer

A parabolikus hengerkoordináta-rendszer koordinátafelületei. A piros parabolikus henger megfelel a σ=2 koordinátának, míg a sárga parabolikus henger a τ=1 értékhez tartozik. A kék sík a z=2 síkja. Ezek a felületek a P pontban metszik egymást, melynek Descartes-koordinátái (2, -1.5, 2)

A parabolikus hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer a matematikában. A kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszerből származtatható, melyet egy harmadik, annak síkjára merőleges harmadik koordinátával egészít ki. Így koordinátafelületei konfokális parabolikus hengerek. Több alkalmazásuk is van, például az élek potenciálelméletében.

Definíciók

Parabolikus koordináta-rendszer konstans σ és τ koordinátagörbékkel és az x és y irányú koordinátaegyenesekkel. Ezeket a koordinátákat a z-tengely irányából vetítve látjuk, így ez a diagram a z koordináta bármely értékére érvényes

A (σ, τ, z) parabolikus hengerkoordináták transzformációja (x, y, z) Descartes-féle koordináta-rendszerbe:

$\begin{array}{cc}x& =\sigma \tau \\ y& =\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)\\ z& =z\end{array}$

A konstans σ-jú koordinátafelületek konfokális parabolikus hengerek:

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

melyek az y-tengely pozitív irányába nyitottak. A konstans τ-jú koordinátafelületek szintén konfokális parabolikus hengerek:

$2y=-\frac{x^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

melyek az y-tengely negatív irányába nyitottak. Mindezen parabolikus hengerek fókuszegyenese az x = y = 0 egyenes. Az r sugár képlete is egyszerű:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}({\sigma }^2+{\tau }^2)$

ami hasznos a parabolikus koordináta-rendszerben adott Hamilton–Jacobi-egyenlet megoldásában. Lásd még: Laplace–Runge–Lenz-vektor.

Skálázási tényezők

A σ és a τ parabolikus hengerkoordináták skálázási tényezői:

$\begin{array}{cc}{h}_{\sigma }& =h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}\\ h_z& =1\end{array}$

Differenciálelemek

Az infinitezimális térfogatelem:

$dV=h_{\sigma }{h}_{\tau }{h}_{z}d\sigma d\tau dz=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau dz$

A differenciális áthelyezés:

$d𝐥=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\sigma \hat{\mathit{\sigma }}+\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\tau \hat{\mathit{\tau }}+dz\widehat{𝐳}$

A differenciális normálterület:

$d𝐒=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\tau dz\hat{\mathit{\sigma }}+\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\sigma dz\hat{\mathit{\tau }}+({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau \widehat{𝐳}$

Differenciáloperátorok

Legyen f skalármező! Ekkor:

$\mathrm{\nabla }f=\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial f}{\partial \sigma }\hat{\mathit{\sigma }}+\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial f}{\partial \tau }\hat{\mathit{\tau }}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝐳}$

és a Laplace-operátor:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\tau }^2})+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$

Legyen A vektormező, melynek alakja:

$𝐀=A_{\sigma }\hat{\mathit{\sigma }}+A_{\tau }\hat{\mathit{\tau }}+A_z\widehat{𝐳}$

Ekkor a divergencia:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{\partial (\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}{A}_{\sigma })}{\partial \sigma }+\frac{\partial (\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}{A}_{\tau })}{\partial \tau })+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

és a rotáció:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐀=(\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial A_z}{\partial \tau }-\frac{\partial A_{\tau }}{\partial z})\hat{\mathit{\sigma }}-(\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial A_z}{\partial \sigma }-\frac{\partial A_{\sigma }}{\partial z})\hat{\mathit{\tau }}+\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{\partial \left(\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}{A}_{\tau }\right)}{\partial \sigma }-\frac{\partial \left(\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}{A}_{\sigma }\right)}{\partial \tau })\widehat{𝐳}$

A további differenciáloperátorok kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Kapcsolat más koordináta-rendszerekkel

Kapcsolat a (ρ, φ, z) hengerkoordinátákkal:

$\begin{array}{cc}\rho \cos \phi & =\sigma \tau \\ \rho \sin \phi & =\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)\\ z& =z\end{array}$

A parabolikus hengerkoordináta-rendszer egységvektorai kifejezve a Descartes-koordináta-rendszer egységvektoraival:

$\begin{array}{cc}\hat{\mathit{\sigma }}& =\frac{\tau \widehat{𝐱}-\sigma \widehat{𝐲}}{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\\ \hat{\mathit{\tau }}& =\frac{\sigma \widehat{𝐱}+\tau \widehat{𝐲}}{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\\ \widehat{𝐳}& =\widehat{𝐳}\end{array}$

Harmonikus függvények

Mivel az összes konstans σ, τ és z értékhez tartozó felület másodfokú felület, Laplace egyenlete szétválasztható a koordináta-rendszerben. A változók szétválasztásával Laplace egyenlete a következő alakba írható:

$V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)$

Osztva V-vel:

$\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}[\frac{\ddot{S}}{S}+\frac{\ddot{T}}{T}]+\frac{\ddot{Z}}{Z}=0$

Mivel a Z egyenlet elválasztható a többitől, azért:

$\frac{\ddot{Z}}{Z}=-m^2$

ahol m konstans. A Z(z) megoldása:

$Z_m(z)=A_1{e}^{imz}+A_2{e}^{-imz}$

Behelyettesítve −m²-et $\ddot{Z}/Z$-be, Laplace egyenlete a következő alakot ölti:

$[\frac{\ddot{S}}{S}+\frac{\ddot{T}}{T}]=m^2({\sigma }^2+{\tau }^2)$

Most leválaszthatjuk az S és a T függvényeket, és bevezetünk egy újabb konstanst, n²-et. Nyerjük, hogy:

$\ddot{S}-(m^2{\sigma }^2+n^2)S=0$

$\ddot{T}-(m^2{\tau }^2-n^2)T=0$

Így kapjuk a parabolikus henger harmonikusokat:

$S_{mn}(\sigma )=A_3{y}_1(n^2/2m,\sigma \sqrt{2m})+A_4{y}_2(n^2/2m,\sigma \sqrt{2m})$

$T_{mn}(\tau )=A_5{y}_1(n^2/2m,i\tau \sqrt{2m})+A_6{y}_2(n^2/2m,i\tau \sqrt{2m})$

Az (m, n) harmonikus függvényei a megoldások szorzatai. A kombináció csökkenti a konstansok számát, és Laplace egyenletének megoldása írható, mint:

$V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}{A}_{mn}{S}_{mn}{T}_{mn}{Z}_m$

Alkalmazások

A parabolikus hengerkoordináta-rendszer klasszikus alkalmazása parciális differenciálegyenletek megoldása, például Laplace egyenletének és a Helmholtz-egyenletnek megoldásában, mivel így a differenciálegyenletek szétválaszthatókká válnak. Egy példa egy félig végtelen vékony vezető lemez elektromos mezeje.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Sablon:Cite book
• MathWorld description of parabolic cylindrical coordinates