Parabolikus koordináta-rendszer

A parabolikus koordináta-rendszer koordinátavonalai

A parabolikus koordináta-rendszer egy kétdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, melynek koordinátavonalai közös fókuszú parabolák. Háromdimenziós általánosításai a parabolikus hengerkoordináta-rendszer és a paraboloid koordináta-rendszer.

A parabolikus koordináta-rendszernek több alkalmazása is van, például a Stark-hatás kezelése és az élek potenciálelmélete.

Definíció

A $(\sigma ,\tau )$ parabolikus koordinátákról a következőképpen lehet Descartes-koordinátákra áttérni:

$x=\sigma \tau$

$y=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)$

A konstans $\sigma$-hoz tartozó koordinátavonalak felfelé nyitott parabolák:

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

és a konstans $\tau$-hoz tartozó koordinátavonalak szintén parabolák, de ezek lefelé nyitottak:

$2y=-\frac{x^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

Az összes koordinátavonal gyújtópontja az origóban van.

Skálázási tényezők

A $(\sigma ,\tau )$ koordináták skálázási tényezői:

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$

így az infinitezimális területelem:

$dA=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau$

és a Laplace-operátor:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\tau }^2})$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Sablon:Cite book
• Sablon:Springer
• MathWorld description of parabolic coordinates