Mértani sorozat

Mértani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt a hányadost idegen szóval kvóciensnek nevezzük. Jele: q.

Példák mértani sorozatokra:

• (a₁=3, q=89 ) 3, 9, 27, 81, …
• (a₁=1, q=54) 1, 2, 4, 8, 16, 32, …
• (a₁=7, q=10) 7, 70, 700, 7000, …

A mértani sorozat n-edik tagja

Legyen a sorozat n-edik tagja a_n. Ekkor:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

vagy

$|a_n|=\sqrt{a_{n-i}\cdot a_{n+i}}$ ahol $i\in \mathbb{N}$

Ez utóbbi azt is jelenti, hogy a mértani sorozat n-edik tagja az n+i-edik és az n-i-edik tagjának a mértani közepe. Ezt gyakran a mértani sorozat definíciójának is tekinti, a két képlet ugyanis következik egymásból:

$\begin{array}{ccc}{a}_n^2& =a_{n-1}\cdot a_{n+1}& :(a_n\cdot a_{n-1})\\ \frac{a_n}{a_{n-1}}& =\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\end{array}$

és innen indukcióval következik az első képlet. Hasonlóan

$\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& =a_1{q}^{n-2}\\ a_{n+1}& =a_1{q}^n\\ a_{n-1}{a}_{n+1}& =a_1^2{q}^{n-2}{q}^n=\\ & =a_1^2{q}^{2n-2}=a_1^2{q}^{2(n-1)}=\\ & =(a_1{q}^{n-1}{)}^2=a_n^2\end{array}$

A mértani sorozat első n tagjának összege

A mértani sorozat összegképletének megtalálásához a sorozatban jelenlévő önhasonlóságot tudjuk kihasználni. Nézzük a sorozatot és q-szorosát.

$\begin{array}{cccccccccccccc}{S}_n& =& 1& +& q& +& q^2& +& q^3& +& \cdots & +& q^{n-1}& \\ q{S}_n& =& & & q& +& q^2& +& q^3& +& \cdots & +& q^{n-1}& +q^n\\ \end{array}$

Ha kivonjuk az eredeti összegből a q-szorosát, a következőt kapjuk:

$(1-q)S_n=1-q^n.$

Az első elemet - mivel minden tagban megjelenik szorzótényezőként - elég csak a végén figyelembe venni, így

$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}=a_1\frac{q^n-1}{q-1}.$

A kapott képlet viszont csak $q\ne 1$ esetén értelmes. Ha a hányados egy, akkor - mivel minden tag egyenlő - $S_n=a_1\cdot n$.

Ha az összegzés első eleme $q^m$, utolsó eleme $q^n$, akkor a képlet a következőképpen változik:

$\sum _{k=m}^n{a}_1{q}^k=a_1(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}-\frac{1-q^m}{1-q})=a_1\frac{q^m-q^{n+1}}{1-q},$

vagy $\sum _{k=m}^n{a}_1{q}^k=a_1(n-m+1)$ ha $q=1$.

Az összegképlet még akkor is működik, ha akár az első elem, akár a hányados komplex szám.

Hasonló sorozatok

A mértani sor összegképletének ismeretében több, hasonló sorozat összegképlete is könnyedén megtalálható.

1 + 2q + 3q² + 4q³ + ⋯ + nq^n-1

Ezen sorozat összegképletét többféleképpen is megkaphatjuk, legegyszerűbben úgy, ha deriváljuk a mértani sorozatra vonatkozó összefüggést.

$\begin{array}{cc}1+q+q^2+q^3+\cdots +q^{n-1}+q^n& =\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}(1+q+q^2+q^3+\cdots +q^{n-1}+q^n)& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\ 1+2q+3q^2+4q^3+\cdots +n{q}^{n-1}& =\frac{n{q}^{n+1}-(n+1)q^n+1}{(1-q{)}^2}\\ \end{array}$

Úgy is megkaphatjuk az összegképletet, ha táblázatba rendezzük a tagokat a következőképpen:

	1.	2.	3.	4.	⋯	n.	sor összege
1.	$1$	$q$	$q^2$	$q^3$	⋯	$q^{n-1}$	$\frac{1-q^n}{1-q}$
2.		$q$	$q^2$	$q^3$	⋯	$q^{n-1}$	$\frac{q-q^n}{1-q}$
3.			$q^2$	$q^3$	⋯	$q^{n-1}$	$\frac{q^2-q^n}{1-q}$
4.				$q^3$	⋯	$q^{n-1}$	$\frac{q^3-q^n}{1-q}$
⋯					⋯	⋯	⋯
n.						$q^{n-1}$	$\frac{q^{n-1}-q^n}{1-q}$
oszlop összege	$1$	$2q$	$3q^2$	$4q^3$	⋯	$n{q}^{n-1}$

Látható, hogyha oszloponként adjuk összeg az elemeket, akkor a keresett összeget kapjuk. A oszlopok összegeinek összege és a sorok összegeinek összege egyenlő kell hogy legyen, hiszen ugyanazokat a kifejezéseket adjuk összeg mindkét esetben. Ez az összeg pedig pont az, amit keresünk.

$\begin{array}{cc}1+2q+3q^2+4q^3+\cdots +n{q}^{n-1}& =\frac{1-q^n}{1-q}+\frac{q-q^n}{1-q}+\cdots +\frac{q^{n-1}-q^n}{1-q}\\ & =\frac{1+q+q^2+q^3+\cdots +q^{n-1}-n{q}^n}{1-q}\\ & =\frac{\frac{1-q^n}{1-q}-n{q}^n}{1-q}\\ & =\frac{n{q}^{n+1}-(n+1)q^n+1}{(1-q{)}^2}\\ \end{array}$

A harmadik módszer, amivel megtalálhatjuk az összegképletet, az pont ugyanaz, mint amit a mértani sorozatnál használtunk. A mértani sorozat önhasonlóságát kihasználva vizsgáljuk a sorozat q-szorosát.

$\begin{array}{cccccccccccccc}\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)q^k& =& 1& +& 2q& +& 3q^2& +& 4q^3& +& \cdots & +& n{q}^{n-1}& \\ q\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)q^k& =& & & q& +& 2q^2& +& 3q^3& +& \cdots & +& (n-1)q^{n-1}& +n{q}^n\\ \end{array}$

Ha kivonjunk az eredeti összegből a q-szorosát, azt kapjuk, hogy

$(1-q)\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)q^k=1+q+q^2+\cdots +q^n-n{q}^n.$

Az algebrai átalakítások elvégzése után ugyanazt a képletet kapjuk, mint a másik két módszerrel.

Így

$\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)q^k=\frac{n{q}^{n+1}-(n+1)q^n+1}{(1-q{)}^2}.$

1q + 2q² + 3q³ + ⋯ + nqⁿ

Ennél a sorozatnál is kihasználhatjuk az önhasonlóságot, vagy akár alkalmazhatjuk a táblázatos felírást, azonban ha jobban megnézzük, a fenti sorozat nem más, mint az előző q-szorosa, tehát az összegképlet még könnyebben meghatározható.

$\sum _{k=1}^{n}k{q}^k=q\cdot \sum _{k=0}^{n-1}(k+1)q^k=\frac{n{q}^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(1-q{)}^2}$

Végtelen mértani sor

Az animáción jól látható, hogy ahogy növeljük a mértani sorozat összegében a tagok számát, úgy az összeg (piros) egyre jobban közelít a $\frac{1}{1-q}$ kifejezés értékéhez (kék), ha $|q|<1$.

Az 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ végtelen mértani sort szemléltető ábra. A sorozat határértéke 2.

Egy végtelen mértani sor egy olyan végtelen összeg, amelyben a szomszédos tagok hányadosa állandó (azaz tagjai egy mértani sorozat elemei). A mértani (és rokon) sorozatokra vonatkozó összegképlet határértékének vizsgálatával megállapítható, hogy egy végtelen mértani sor csak akkor konvergál véges értékhez, ha a hányados abszolút értéke kisebb, mint 1. A végtelen mértani sor általánosítása a Neumann-sor.

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^n{q}^k\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\ & =\frac{1}{1-q}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{q^{n+1}}{1-q}{q}^{n+1}\to 0\text{ amikor }n\to \mathrm{\infty }\text{ ha }|q|<1\\ & =\frac{1}{1-q}\text{ ha }|q|<1\\ \end{array}$

Ha az összeg első eleme $q^m$, akkor

$\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{q^m}{1-q}.$

A mértani sorra vonatkozó összegképlet deriválásával tetszőleges variánsok összegképleteit kaphatjuk meg (természetesen azok is csak $|q|<1$ esetén konvergálnak).

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{q}^{n-1}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\frac{1}{1-q}=\frac{1}{(1-q{)}^2}$

Ebből könnyedén felírható, hogy

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{q}^n=\frac{q}{(1-q{)}^2}.$

Deriválással hasonlóan számítható, hogy

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+2)(n+1)q^n=\frac{2}{(1-q{)}^3},$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+3)(n+2)(n+1)q^n=\frac{6}{(1-q{)}^4}.$

Mivel a végtelen mértani sorok konvergálnak bizonyos feltételek mellett, így több egyszerűen alkalmazható konvergenciatesztnek is alapját képezik, mint pl. a gyök-teszt vagy a hányados-teszt.

Geometriai hatványsor

Az

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$

összegfüggés értelmezhető az $\frac{1}{1-x}$ kifejezés Taylor-soraként is, amely $|x|<1$ esetén konvergens. Ebből aztán további hatványsorokat lehet előállítani.

$\begin{array}{cc}\arctan (x)& =\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{1-(-x^2)}\mathrm{d}x\\ & =\int (1+(-x^2)+(-x^2{)}^2+(-x^2{)}^3+\cdots )\mathrm{d}x\\ & =\int (1-x^2+x^4-x^6+\cdots )\mathrm{d}x\\ & =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}\text{ ha }|x|<1\\ \end{array}$

A kapott formula $x=1$ esetén is konvergál, a határértéke pedig $\frac{\pi }{4}$.

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots =\frac{\pi }{4}$

Ezen összefüggés a híres Leibniz-féle sor.

$\begin{array}{cc}\ln (1+x)& =\int \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{1-(-x)}\mathrm{d}x\\ & =\int (1+(-x)+(-x{)}^2+(-x{)}^3+\cdots )\mathrm{d}x\\ & =\int (1-x+x^2-x^3+\cdots )\mathrm{d}x\\ & =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^n}{n}\text{ ha }|x|<1\\ \end{array}$

A fenti összefüggés a híres Mercator-sor, amely $x=1$ esetén is konvergens, ebből adódik a $\ln (2)$ sokak által ismert feltételesen konvergens sorbafejtése:

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\ln (2)$.

A mértani sorozat első n tagjának szorzata

Írjuk fel tényezőnként ezt a szorzatot:$a_1\cdot (a_1\cdot q)\cdot (a_1\cdot q^2)\cdot (a_1\cdot q^3)\cdot ...\cdot (a_1\cdot q^{n-1})=a_1^n\cdot q^{1+2+3+...+n-1}$.

Mivel:

$1+2+3+...+n-1=\frac{n(n-1)}{2}$

(lásd: számtani sorozat), a mértani sorozat első n tagjának szorzata:

$a_1^n\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}$

A mértani sorozat konvergenciája

Állítás: Ha $(a_i)$ végtelen mértani sorozat, akkor akkor és csak akkor tart nullához, ha hányadosának abszolútértéke egynél kisebb.

Bizonyítás: A bizonyítást két irányból végezzük el. Egyszer belátjuk, hogy a sorozat konvergens, és határértéke nulla, ha a hányados abszolútértéke egynél kisebb. Másodszor belátjuk, hogy a sorozat nem tart nullához, ha a hányados abszolútértéke nem egynél kisebb.

1. A sorozat konvergens, és határértéke nulla, ha a hányados abszolútértéke egynél kisebb.

Adva legyen egy $\epsilon >0$ valós szám. Ehhez keresünk egy $i_0$ indexet, hogy minden $i>i_0$ esetén

$|a_i|<\epsilon$. $\mathbf{(}\mathrm{𝟏}\mathbf{)}$

Mivel $0<|q|<1$, és $\frac{\epsilon }{|a_0|}>0$, létezik

$i_0=:\frac{\ln \left(\frac{\epsilon }{|a_0|}\right)}{\ln (|q|)}$.

ahol $\ln$ a természetes logaritmus.

Amiatt, hogy $|q|<1\Rightarrow \ln (|q|)<0$, megfordul az összes $i>i_0$ egyenlőtlenség, ha szorzunk $\ln (|q|)$-val:

$i\cdot \ln |q|<i_0\cdot \ln |q|=\ln \left(\frac{\epsilon }{|a_0|}\right)$;

Az $i\in \mathbb{N}$ indexekre $i\cdot \ln |q|=\ln (|q{|}^i)=\ln \left(\left|q^i\right|\right)$; az egyenlőtlenség iránya megmarad, ha az $e$ számot ezekre a kitevőkre emeljük:

$\left|q^i\right|<\frac{\epsilon }{|a_0|}$;

Az $|a_0|>0$ egyenlőtlenség miatt az egyenlőtlenség iránya megmarad, ha szorzunk az $|a_0|\cdot \left|q^i\right|=|a_0\cdot q^i|$ nevezővel:

$|a_0\cdot q^i|<\epsilon$; így (1), q. e. d.

2. A sorozat határértéke nem lehet nulla, ha a hányados abszolútértéke nem egynél kisebb. Más szavakkal, ha $|q|\ge 1$, akkor a sorozat nem tart nullához.

Ha $(a_i)$ nem nullsorozat, akkor választható $\epsilon >0$ úgy, hogy minden $a_i$ esetén $|a_i|\ge \epsilon$.

Az $|q|\ge 1$ feltétel mellett szorozva $|a_0\cdot q^i|$-vel adódik, hogy:

$|a_0\cdot q^{i+1}|\ge |a_0\cdot q^i|$, damit:

$|a_{i+1}|\ge |a_i|$. $\mathbf{(}\mathrm{𝟐}\mathbf{)}$,

mivel az egyenlőtlenség iránya $|a_0\cdot q^i|>0$ miatt megmarad.

Választunk egy $\epsilon$ valós számot, hogy $|a_0|\ge \epsilon >0$. Így (2)-vel teljesül, hogy minden $i>0$ esetén: $|a_i|\ge \epsilon$, q. e. d.

Alkalmazások

A mértani sorozat növekedési folyamatot ír le, melynek során egy mennyiség minden lépésben ugyanannyiszorosára nő. Példák:

Kamatos kamat

Legyen a kamatos kamat kamata 5%! Ez azt jelenti, hogy a tőke minden évben 1,05-szeresére nő. Ez a növekedési tényező. A tőke minden évben $q=1,05$-szeresére nő. Ha a kezdőtőke 1000 euró, akkor

• az első év után a tőke

$1000\text{euró}\cdot 1,05=1050\text{euró},$

• a második év után

$1000\text{euró}\cdot 1,05^2=1102,50\text{euró},$

• a harmadik év után

$1000\text{euró}\cdot 1,05^3=1157,63\text{euró}$

és így tovább.

Temperált hangolás

A hangszerek különbözőképpen hangolhatók, illetve különböző hangolással készíthetők. Ezek egyike a temperált hangolás. Ez arról nevezetes, hogy hangközei egyenletesek, azaz minden hangközlépés (kis szekund) a hang frekvenciáját ugyanannyiszorosára változtatja. Egy oktávban 12 kis szekund van, és tudjuk, hogy a (felfelé lépő) oktáv kétszeresére növeli a frekvenciát. Így az egyes kis szekundok frekvenciaaránya $q=\sqrt[12]{2}$. Ha az oktávot az $a_0$ frekvenciájú hangról indulva kezdjük építeni, akkor az oktávban a következő frekvenciák szerepelnek:

$f(i)=a_0\cdot {\left(\sqrt[12]{2}\right)}^i$,

ahol az $i$ 0-tól 12-ig terjed.

Történet

A mértani sorozat fogalmát már az ókori egyiptomiak is ismerték, és összegük is érdekelte őket; konkrét feladatok esetén ki is tudták számolni az összeget. Megtalálták ugyanis a Rhind-papiruszon a következő feladat – amely később feladatgyűjteményekben és népi találós kérdésekben is felbukkant – igen tömör megoldását: „Ha 7 ház mindegyikében 7 macska van, mindegyik megfogott 7 egeret, minden egér megevett 7 búzaszemet, minden búzaszemből 7 hekat búza termett volna, hány hekat búza lett volna abból?” A papiruszon maga a feladat nem szerepel, csak a megoldás szűkszavú leírása ("Ház: 7 – macska: 49 – egér: 343 – ..." stb.), de lehetetlen nem rájönni; továbbá a papirusz nem utal az összegképlet ismeretére: végigszámolták a sorozat tagjait, és úgy adták össze.

Hasonló példa szerepel egy XIX. századi angol nonszensz mondókában:

(Ez a példa az Egyiptomitól annyiban tér el, hogy beugratós feladat: csak egyvalaki ment St. Ives-ba, mégpedig a vers elbeszélője, az asszonyos-zsákos kompánia St. Ives felől jött, nem pedig oda ment).

Kapcsolódó szócikkek

• Számtani sorozat
• Számtani-mértani sorozat
• Numerikus sorok
• Harmonikus sor
• Geometriai eloszlás