Neumann-sor

Neumann-sor alatt a

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^n$

alakú sorokat értik, ahol T egy operátor. Ez a mértani sor általánosításának tekinthető.

Az ilyen sorokat Carl Neumann matematikusról nevezték el, aki 1877-ben használta fel a potenciálelméletben. A Neumann-sort használják a funkcionálanalízisben és hasznos korlátos operátorok spektrálanalízisénél is. A Fredholm-integrálegyenletek megoldásának alapját szolgáló Liouville-Neumann-sor is a Neumann-sorra alapul.

Tulajdonságok

Tegyük fel, hogy T egy korlátos operátor az X normált téren. Ha a Neumann-sor konvergens az operátornormában, akkor Id – T invertálható, és az inverz maga a sor összege:

$(\mathrm{I}\mathrm{d}-T{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^n.$

A konvergencia garantált, ha X Banach-tér és |T| < 1 az operátornormában. Vannak viszont további eredmények is, amelyek gyengébb feltételek mellett is garantálják a konvergenciát. Például elég, ha $T$ a $\Vert T^n\Vert <1$ feltételt teljesíti. Ekkor

$\begin{array}{cc}(I-T{)}^{-1}=& (I+T+T^2+\dots +T^{n-1})\cdot {(I-T^n)}^{-1}\\ =& (I+T+T^2+\dots +T^{n-1})\cdot \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^{kn}\end{array}$

A lineáris operátorok invertálhatósága

Legyen V Banach-tér, például $V:={ℝ}^n$, és $A:V\to V$ korlátos operátor, például az $A\in {ℝ}^{n\times n}$ négyzetes mátrixszal megadott lineáris leképezés. Tudjuk, hogy A minden $\gamma >0$ skálázási tényezőre felírható, mint

$A=\frac{1}{\gamma }(I-T_{\gamma })$, ahol $T_{\gamma }:=I-\gamma A.$

Ha most van olyan skálázási tényező, hogy $\Vert T_{\gamma }{\Vert }_{{}_{V\to V}}<1$ az indukált operátornormában, akkor A invertálható, és inverze megadható a Neumann-sor felhasználásával:

$A^{-1}=\gamma (I+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{T}_{\gamma }{}^k)=\gamma (I+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(I-\gamma A{)}^k).$

Az invertálható operátorok halmazának nyíltsága

Legyenek $B,B^{\prime }$ Banach-terek, és legyen $S:B\to B^{\prime }$ invertálható operátor. Ekkor minden más operátorra, T-re:

Ha S és T távolsága az operátornormában becsülhető úgy, hogy $\Vert T-S\Vert =q\Vert S^{-1}{\Vert }^{-1}$, ahol 0 < q < 1, akkor T szintén invertálható, és inverzének operátornormája ::$\Vert T^{-1}\Vert \le \frac{1}{1-q}\Vert S^{-1}\Vert$.

Bizonyítás: Felbontjuk T-t a következőképpen:

$T=S(I-(I-S^{-1}T))$

Alkalmazzuk a második tényezőre a Neumann-sort. A konvergenciát a

$\Vert I-S^{-1}T\Vert \le \Vert S^{-1}\Vert \Vert S-T\Vert \le q<1$

feltétel biztosítja.

Következik, hogy az invertálható operátorok halmaza nyílt az operátornormára vonatkozóan.

Bibliográfia

• Sablon:Cite book