Mercator-sor

A matematikában a Mercator-sor – más néven Newton–Mercator-sor – a természetes logaritmus Taylor-sora:

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots .$

Összegzéses (szummázás) jelöléssel:

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n.$

A sorozat a természetes logaritmushoz (1-gyel eltolva) konvergál, ha –1 < x ≤ 1.

Történet

Ezt a sort egymástól függetlenül fedezte fel Nicholas Mercator, Isaac Newton, és Gregory Saint-Vincent. Mercator publikálta először, 1668-ban, a ‘Logarithmo-technica’ című tanulmányában, ezért róla nevezték el a sort.

Deriválás

A sor a Taylor-elméletből származtatható, induktívan az lnx függvény n-edik deriválásából, x=1 –nél, melynek kezdete:

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.$

vagy kezdődhet egy véges mértani sorozattal ((t ≠ –1):

$1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}=\frac{1-(-t{)}^n}{1+t}$

melyből:

$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t}.$

ezt követi:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{1+t}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t})dt$

és tagonkénti integrálással

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1{)}^n\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{1+t}dt.$

ha –1 < x ≤ 1, és a maradék tag tarta 0-hoz, míg $n\to \mathrm{\infty }$. Ez a kifejezés iteratív módon is integrálható k-szor:

$-x{A}_k(x)+B_k(x)\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)},$

ahol

$A_k(x)=\frac{1}{k!}\sum _{m=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m})x^m\sum _{l=1}^{k-m}\frac{(-x{)}^{l-1}}{l}$

és

$B_k(x)=\frac{1}{k!}(1+x{)}^k$

melyek x polinomjai

Speciális esetek

x=1 esetén a Mercator-sor egy harmonikus sor:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2.$

Komplex sorozat

A komplex hatvány sorozat $z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{4}+\cdots$ ln(1 + z) Taylor-sora, ahol ln a komplex logaritmus egy ágára utal. Ez egy konvergáló sorozat egy nyílt tartományon belül $|z|<1$, és a $|z|=1$ jellemzőjű körön, kivéve a $z=-1$ (Abel-teszt miatt), és a konvergencia egyenletes minden zárt körön, ahol a sugár szigorúan kisebb mint 1.

Irodalom

• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Természetes logaritmus
• Komplex logaritmus
• Konvergencia
• Taylor-sor
• Abel-teszt
• http://mathworld.wolfram.com/MercatorSeries.html
• http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/17thCentury/RouseBall/RB_Math17C.html