Hányadoskritérium

A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sor konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is.

Hányadoskritérium: Tegyük fel, hogy $a_n\ne 0$, ha n elég nagy. Ha van egy olyan 0<q<1 szám, amelyre $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<q$ teljesül minden elég nagy n esetén, akkor a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ sor abszolút konvergens, vagyis egyúttal konvergens is.

Bizonyítás: A feltételből következik, hogy egy alkalmas $n_0$ indexre $|a_n|\le q^{n-n_0}\cdot |a_{n_0}|$ minden $n>n_0$-ra. Legyen $c=q^{-n_0}\cdot |a_{n_0}|$. Mivel a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}c\cdot q^n$ sor konvergens, így alkalmazhatjuk a majoráns kritériumot.

Források

• Laczkovich Miklós - T. Sós Vera, Analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007 Sablon:ISBN
• Császár Ákos, Valós analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999. Sablon:ISBN

Kapcsolódó szócikkek

• Cauchy-konvergenciakritérium
• Gyökkritérium
• Majoráns kritérium
• Numerikus sorok