Gamma-függvény

A Γ-függvény grafikonja a valós számegyenes mentén

A Γ-függvény (gamma-függvény) a következő képlettel definiált komplex változós függvény:

$\mathrm{\Gamma }(s):=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{s-1}{e}^{-t}dt.$

Mivel az $e^{-t}$ nagyon gyorsan 0-hoz tart, az integrál minden valós s > 0-ra sőt minden pozitív valós részű komplex s esetén létezik. Parciális integrálással adódik, hogy ha s valós része 1-nél nagyobb, akkor

$\mathrm{\Gamma }(s)=(s-1)\mathrm{\Gamma }(s-1)$

is teljesül. Emiatt a tulajdonsága miatt teljesül rá hogy ha n pozitív egész, akkor Γ(n) = (n − 1)!, azaz a gamma-függvény tekinthető a faktoriális művelet általánosításának −1 feletti valós számokra.

A faktoriálisnak léteznek más általánosításai is, de ez a legnépszerűbb és a legtöbb területen használt. A gamma-függvényt gyakran alkalmazzák a valószínűségszámítás területén, az analitikus számelméletben, s a Taylor-sorok elméletében és gyakorlatában is igen hasznos könnyítéseket lehet vele tenni. A gamma-függvény segítségével definiálható a béta-függvény és számos fontos valószínűség-eloszlás, például a gamma-eloszlás, a χ²-eloszlás, a Student-féle t-eloszlás (t-eloszlás) és az F-eloszlás.

Tulajdonságai

• A Gauss-féle definíció:

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!n^x}{x(x+1)\cdots (x+n)}$

• A Weierstrass-féle szorzatalak:

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}=x{e}^{\gamma x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x}{n})e^{-\frac{x}{n}},$

ahol γ az Euler-állandó.

• A Gauss-féle sokszorozási formula:

$n^{nx-1}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(x+\frac{1}{n})\cdots \mathrm{\Gamma }(x+\frac{n-1}{n})=\frac{(2\pi {)}^{\frac{n-1}{2}}}{\sqrt{n}}\mathrm{\Gamma }(nx)$

• Ha x nem egész szám, akkor

$\mathrm{\Gamma }(x)\cdot \mathrm{\Gamma }(1-x)=\frac{\pi }{\sin \pi x}$

Speciálisan $\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$.

• A gamma-függvény az egyetlen, az egész komplex síkon értelmezett meromorf f(s) függvény, ami egyszerre elégíti ki az alábbi három feltételt:

$(1)f(s+1)=s\cdot f(s)$

$(2)f(1)=1$

$(3)ln(f(s))$ konvex a valós egyenes (0, +∞) és a [(–k, –k+1), k pozitív egész] intervallumain.

• Hölder tétele: a $\mathrm{\Gamma }$-függvény nem megoldása semmilyen algebrai differenciálegyenletnek, ahol az együtthatók racionális törtfüggvények.

• A Γ-függvény sehol sem veszi fel a nulla értéket, ezért a reciproka, az $1/\mathrm{\Gamma }$ holomorf függvény. A Γ-függvény megfelel a Mellin-transzformált reciprok exponenciális függvénynek:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\{ℳe^{-x}\}(z).$

Aszimptotikák

A gamma-függvényt nagy $z$ értékekre a Stirling-formula segítségével közelíthetjük meg:

$\mathrm{\Gamma }\left(z\right)=z^{z-\frac{1}{2}}{e}^{-z}\sqrt{2\pi }\left(1+𝒪\left(\frac{1}{z}\right)\right),$

illetve

$\mathrm{\Gamma }\left(z\right)\sim z^{z-\frac{1}{2}}{e}^{-z}\sqrt{2\pi }\left(1+\frac{1}{12}{z}^{-1}+\frac{1}{288}{z}^{-2}-\frac{139}{51840}{z}^{-3}-\dots \right).$

Logaritmusának aszimptotikus hatványsora:

$\ln \mathrm{\Gamma }\left(z\right)\sim \left(z-\frac{1}{2}\right)\ln z-z+\frac{1}{2}\ln 2\pi +\frac{1}{12z}-\frac{1}{360z^3}+\frac{1}{1260z^5}-\dots .$

Hányados aszimptotikus előállítása:

$\frac{\mathrm{\Gamma }\left(x+a\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(x+b\right)}\sim x^{a-b}\left(1+\frac{1}{2x}\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)+\frac{1}{24x^2}\left(a-b\right)\left(a-b-1\right)\left(3{\left(a+b-1\right)}^2-a+b-1\right)+\dots \right).$

Források

• Fazekas F. – Frey T.: Operátorszámítás, speciális függvények (Tankönyvkiadó, 1965)
• Fazekas I. (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000)

További információk

• Weisstein, Eric W.: "Gamma Function". – MathWorld – A Wolfram Web Resource Sablon:En

Faktoriális algoritmusok

• Faktoriális algoritmusok

Faktoriális közelítései

• Közelítő képletek

Számológépek a faktoriálishoz

• Számológépek a faktoriálishoz

Kapcsolódó szócikkek

• Spouge-formula