Parciális integrálás

A matematikai analízisben a parciális integrálás egy olyan módszer, amely függvények szorzatának integrálját írja át a szorzatban szereplő függvények deriváltjának, illetve primitív függvényének használatával. A módszer gyakran leegyszerűsíti az integrandust abban az értelemben, hogy az integrálszámítást egyszerűbben végre lehet hajtani parciális integrálást követően.

Ha adott két függvény $f=f(x)$, illetve $g=g(x)$ alakban, a parciális integrálás szabálya szerint az integrál a következőképp írható át:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx$.

Elméleti levezetése

Legyen $f(x)$ és $g(x)$ két folytonosan differenciálható függvény. A szorzat deriváltjára vonatkozó szabály a következő:

$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=\frac{d}{dx}f(x)g(x)+f(x)\frac{d}{dx}g(x)$.

Mindkét oldalt $x$ szerint integrálva kapjuk, hogy

$\int \frac{d}{dx}(f(x)g(x))=\int f^{\prime }(x)g(x)dx+\int f(x)g^{\prime }(x)dx$.

A határozatlan integrál definíciója alapján az egyenlet a következőképp egyszerűsödik le:

$f(x)g(x)=\int f^{\prime }(x)g(x)dx+\int f(x)g^{\prime }(x)dx$,

ebből pedig következik, hogy:

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$.

Egy határozott integrál esetében az analízis alaptételét használva pedig a következő kifejezésre jutunk:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx=f(b)g(b)-f(a)b(a)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx.$

Alkalmazásai

A parciális integrálás heurisztikus, és nem mechanikus módszer integrálok kiszámítására. Csak bizonyos esetekben érdemes alkalmazni, amikor megkönnyíti a számítást. Továbbá nem mindig látszik első ránézésre, hogy melyik két függvényt érdemes $f(x)$-nek, illetve $g(x)$-nek választani.

Polinom- és trigonometrikus függvények szorzata

Számítsuk ki $L$-et, ahol

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}x\sin xdx$.

Legyen

$f=x\Rightarrow df=dx,dg=\sin xdx\Rightarrow g=\int \sin xdx=-\cos x$.

Ezután alkalmazva a parciális integrálás szabályát:

$\int x\sin xdx=-x\cos x-\int (-\cos xdx)=-x\cos x+\sin x+C$,

ahol $C$ az integrálási állandó.

Konstanssal szorzott függvények

Számítsuk ki $L$-et, ahol

$L=\int \arctan xdx$.

Ebben a formában még nem egyértelmű, hogyan hasznosítható a parciális integrálás. A következőképp átírva:

$L=\int \arctan x\cdot 1dx$,

már egy szorzat van az integrál alatt, és a következőképp választhatjuk $f(x)$-et és $g(x)$-et:

$f=\arctan x\Rightarrow df=\frac{1}{1+x^2}dx,dg=dx\Rightarrow g=x$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

$\int \arctan xdx=x\cdot \arctan x-\int \frac{x}{1+x^2}dx=x\cdot \arctan x-\frac{\ln (1+x^2)}{2}+C$,

ahol $C$ az integrálási állandó.

Egy egyszerűbb példa a természetes logaritmusfüggvény:

$L=\int \ln xdx=\int \ln x\cdot 1dx$.

Legyen

$f=\ln x\Rightarrow df=\frac{dx}{x},dg=dx\Rightarrow g=x$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

$\begin{array}{cc}\int \ln (x)dx& =x\ln (x)-\int \frac{x}{x}dx\\ & =x\ln (x)-\int 1dx\\ & =x\ln (x)-x+C\end{array}$,

ahol $C$ az integrálási állandó.

Trigonometrikus függvények szorzata

Számítsuk ki $L$-et, ahol

$L=\int {\sin }^{2}xdx=\int \sin x\cdot \sin xdx$.

Legyen

$f=\sin x\Rightarrow df=\cos xdx,dg=\sin xdx\Rightarrow g=\int \sin xdx=-\cos x$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát, a ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ azonossággal:

$\begin{array}{cc}\int {\sin }^{2}xdx& =-\sin x\cdot \cos x-\int -\cos x\cdot \cos xdx\\ & =-\sin x\cdot \cos x+\int {\cos }^{2}xdx\\ & =-\sin x\cdot \cos x+\int 1-{\sin }^{2}xdx\\ & =-\sin x\cdot \cos x+x-L\Rightarrow 2L=-\sin x\cdot \cos x+x.\end{array}$

Tehát

$L=\frac{-\sin x\cdot \cos x+x}{2}+C$.

ahol $C$ az integrálási állandó.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integration_by_parts
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book