Béta-függvény

A béta-függvény a következő képlettel definiált kétváltozós valós függvény:

$B:{𝐑}_{+}^2\to 𝐑,B(\alpha ,\beta ):=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx.$

A béta-függvényt leggyakrabban a valószínűségszámítás területén alkalmazzák, bár a paraméteres integrálok számításánál és egyszerűsítésénél is igen hasznos. A béta-függvény segítségével definiálható a béta-eloszlás.

Megjegyzések

• Megmutatható, hogy

$B(\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}$

ahol Γ a gamma-függvényt jelöli.

• Megmutatható, hogy a béta-függvény (komplex változós és komplex értékű változata) az egyetlen meromorf függvény, ami mindenütt kielégíti az alábbi három feltételt.

$(1)B(z,w)=B(w,z)$

$(2)B(z,w+1)=\frac{w}{z+w}B(z,w)$

$(3)B(1,1)=1$

Források

• Fazekas F. – Frey T. (1965): Operátorszámítás, speciális függvények. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.