Mellin-transzformáció

Az analízisben a Mellin-transzformáció egy Fourier-transzformációval rokon integráltranszformáció, amit a finn Hjalmar Mellin után neveztek el. A kétoldali Laplace-transzformáció multiplikatív verziója. Közeli kapcsolatban áll a Dirichlet-sorokkal. Gyakran használják a számelméletben, a statisztikában és az aszimptotikus kifejtések elméletében. Kapcsolódik a Fourier- és a Laplace-transzformációhoz, a gamma-függvényhez és a hozzá kapcsolódó speciális függvényekhez.

A Fourier- és a Laplace-transzformációkkal szemben a Mellin-transzformációt nem fizikai, hanem matematikai problémák megoldására fejlesztették ki. Először Bernhard Riemann-nál található meg, aki a zéta-függvényének vizsgálatához használta. A transzformáció, valamint inverzének megfogalmazását és rendszeres vizsgálatát R. Hjalmar Mellin kezdte meg. A speciális függvények elméletének keretében módszereket fejlesztett ki a hipergeometrikus differenciálegyenletek megoldására és az aszimptotikus sorfejlesztésre.

Definíció

Egy, a pozitív valós számokon definiált $f:{ℝ}_{+}\to ℝ$ függvény Mellin-transzformáltja:

$M_f(s):=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)t^{s-1}\mathrm{d}t$

a komplex s számokra, ahol az integrál konvergál. Az irodalomban a $\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}$ tényezővel megszorzott Mellin-transzformáltat is használják, így

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)t^{s-1}\mathrm{d}t.$

ahol $\mathrm{\Gamma }$ a gamma-függvény.

Inverz transzformáció

Az inverz transzformáció a komplex sík függőleges egyenesei mentén integrál:

$f(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}{M}_f(s)x^{-s}\mathrm{d}s$

ahol $M_f(s)$ f Mellin-transzformáltja, és $b>c>a>0$.

Az inverz transzformáció feltételei:

• Az $M_f(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)x^{s-1}\mathrm{d}x$ integrál abszolút konvergens az $S=\{s\in ℂ|a<\mathrm{\Re }(s)<b\}$ csíkokban
• $M_f(s)$ analitikus az $S=\{s\in ℂ|a<\mathrm{\Re }(s)<b\}$ csíkokban
• Az $M_f(c\pm it)$ kifejezés nullához tart, ha $t\to \mathrm{\infty }$, és c egyenletesen tart 0-hoz
• Az $f(x)$ függvény szakaszonként folytonos a pozitív valós tengely mentén, ahol a szakadási helyeken a kétoldali határérték számtani közepét kell venni (lépcsős függvény)

Kapcsolat a többi transzformációval

A Mellin-transzformáció közvetlenül kapcsolódik a Forurier-transzformációhoz. Ugyanis elvégezve az $t=e^x$ helyettesítést $F(x)=f(e^x)$ lesz, és $F$ Fourier-transzformáltja $\hat{F}$, akkor

$M_f(is)=\sqrt{2\pi }\hat{F}(s)$.

Megfordítva, :$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s)=\{ℱf(e^{-x})\}(-is).$

A kétoldali Laplace-transzformáció definíciója a Mellin-transzformációval:

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℳf(-\ln x)\}(s)$

és megfordítva, a Mellin-transzformáció kifejezhető a kétoldali Laplace-transzformációval:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s).$

A Mellin-transzformáció értelmezhető egy x^s magfüggvény a multiplikatív Haar-függvény $dx$ szerint, ami invariáns a $x\mapsto ax$ dilatációra, így $\frac{d(ax)}{ax}=\frac{dx}{x};$.

A kétoldali Laplace-transzformáció a $dx$ additív Haar-mérték szerint transzlációinvariáns, azaz $d(x+a)=dx$.

A Mellin-transzformáció összekapcsolja a Newton-sorokat vagy a binomiális transzformációt a Poisson-generátorfüggvénnyel, a Poisson–Mellin–Newton-ciklus által.

Példák

Dirichlet-sor

A Mellin-transzformációval egy $f$ Dirichlet-sor és egy $F$ hatványsor kapcsolatba hozható egymással. Legyenek

$f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{n}^{-s}$ és $F(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

ugyanazokkal az $a_n$ együtthatókkal. Ekkor

$f(s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(e^{-t})t^{s-1}\mathrm{d}t$.

Ha itt minden $a_n=1$, akkor $f$ a Riemann-féle zéta-függvény, és kapjuk a következőt:

$\zeta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}}{e^t-1}\mathrm{d}t$.

Cahen–Mellin-integrál

Ha $c>0$, $\mathrm{\Re }(y)>0$ és $y^{-s}$ a főágból, akkor

$e^{-y}=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Gamma }(s)y^{-s}ds$

ahol $\mathrm{\Gamma }(s)$a gamma-függvény. Ez az integrál ismert, mint Cahen-Mellin-integrál.

Számelmélet

A Mellin-transzformáció egy érdekes számelméleti alkalmazása az

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<1,\\ x^a& x>1,\end{array},$

függvényhez kapcsolódik, amire

$ℳf(s)=-\frac{1}{s+a},$

feltéve, hogy $\mathrm{\Re }(s+a)<0.$

Izometria L²-terekben

A Hilbert-terek elméletében a Mellin-transzformációt másként vezetik be. Az $L^2(0,\mathrm{\infty })$-tér függvényei esetén a fundamentális sávhoz mindig hozzátartozik $\frac{1}{2}+iℝ$, így $\widetilde{ℳ}$ definíciója

$\widetilde{ℳ}:L^2(0,\mathrm{\infty })\to L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }),\{\widetilde{ℳ}f\}(s):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}+is}f(x)dx.$

azaz

$\{\widetilde{ℳ}f\}(s):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\{ℳf\}(\frac{1}{2}+is).$

Ezt az operátort gyakran csak mint $ℳ$ jelölik, és Mellin-transzformációnak nevezik, de cikkünkben megkülönböztetésként az $\widetilde{ℳ}$ jelölést használjuk a továbbiakban. A Mellin-inverzió tétele szerint $\widetilde{ℳ}$ invertálható, és inverze

${\widetilde{ℳ}}^{-1}:L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\to L^2(0,\mathrm{\infty }),\{{\widetilde{ℳ}}^{-1}\phi \}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}-is}\phi (s)ds.$

Továbbá ez az operátor izometria, vagyis $\Vert \widetilde{ℳ}f{\Vert }_{L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}=\Vert f{\Vert }_{L^2(0,\mathrm{\infty })}$ minden $f\in L^2(0,\mathrm{\infty })$-re. Emiatt szerepel a képletben az $1/\sqrt{2\pi }$ tényező.

A valószínűségszámításban

A valószínűségszámításban a Mellin-transzformáció fontos eszköz a véletlen valószínűségi változók szorzatának eloszlásának vizsgálatához. Ha X véletlen valószínűségi változó, és pozitív része Sablon:Nowrap}, negatív része Sablon:Nowrap}, akkor Mellin-transzformáltja

${ℳ}_X(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s}d{F}_{X^{+}}(x)+\gamma \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s}d{F}_{X^{-}}(x),$

ahol γ a Sablon:Nowrap formális határozatlanja. Ez a transzformáció létezik minden komplex s-re egy Sablon:Nowrap} sávban, ahol Sablon:Nowrap.

Az ${ℳ}_X(it)$ Mellin-transzformált meghatározza a kiindulási X valószínűségi változó F_X eloszlásfüggvényét. Kellemes a Mellin-transzformációnak az a tulajdonsága is, hogy ha X és Y független valószínűségi változók, akkor Mellin-transzformáltjaik összeszorzódnak:

${ℳ}_{XY}(s)={ℳ}_X(s){ℳ}_Y(s)$

Laplace-transzformáció hengerkoordináta-rendszerben

A Laplace-transzformáció hengeres koordináta-rendszerben így néz ki:

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)=f_{rr}+\frac{f_r}{r}$

Két dimenzióban például

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}$

és három dimenzióban

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

Mellin-transzformációval ez a kifejezés egyszerűbben kezelhető, mivel:

$ℳ(r^2{f}_{rr}+r{f}_r,r\to s)=s^2ℳ(f,r\to s)=s^{2}F$

Például a két dimenziós Laplace-egyenlet poláris koordináta-rendszerben:

$r^2{f}_{rr}+r{f}_r+f_{\theta \theta }=0$

beszorozva

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}=0$

sugármenti Mellin-transzformációval egyszerű harmonikus oszcillátorrá válik:

$F_{\theta \theta }+s^{2}F=0$

aminek általános megoldása:

$F(s,\theta )=C_1(s)\cos (s\theta )+C_2(s)\sin (s\theta )$

Most vegyük figyelembe a peremfeltételt:

$f(r,-{\theta }_0)=a(r),f(r,{\theta }_0)=b(r)$

partikulárisan egyszerűsíti a Mellin-transzformáció:

$F(s,-{\theta }_0)=A(s),F(s,{\theta }_0)=B(s)$.

Ezzel partikularizáljuk a megoldást:

$F(s,\theta )=A(s)\frac{\sin (s({\theta }_0-\theta ))}{\sin (2{\theta }_{0}s)}+B(s)\frac{\sin (s({\theta }_0+\theta ))}{\sin (2{\theta }_{0}s)}$

A Mellin-transzformáció konvolúciótételével visszatérünk az eredeti feladathoz:

$f(r,\theta )=\frac{r^m}{2{\theta }_0}\cos m\theta (\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{m-1}a(x)}{x^{2m}+2r^m{x}^m\sin (m\theta )+r^{2m}}dx+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{m-1}b(x)}{x^{2m}-2r^m{x}^m\sin (m\theta )+r^{2m}}dx)$

ahol az inverz transzformáció

${ℳ}^{-1}(\frac{\sin (s\varphi )}{\sin (2{\theta }_{0}s)};s\to r)=\frac{1}{2{\theta }_0}\frac{r^m\sin (m\varphi )}{1+2r^m\cos (m\varphi )+r^{2m}}$

ahol $m=\frac{\pi }{2{\theta }_0}$.

Alkalmazások

A számítástudományban elterjedten használják algoritmusok elemzésére skálainvarianciája miatt. Egy skálázott függvény Mellin-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredeti függvény. Ez analóg a Fourier-transzformáció eltolásinvarianciájával. Az időben eltolt függvény Fourier-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredetié.

Ez a tulajdonság hasznos a képfelismerésben. A kamera felé közelítő és attól távolodó kép közelítően skálázódik.

Fordítás

• Sablon:Fordítás
• Sablon:Fordítás

Források

• M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, Sablon:ISBN.
• E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, Sablon:ISBN.
• D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, Sablon:ISBN.

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite journal
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Sablon:Springer
• Sablon:Mathworld

További információk

• B. Daviess, Integráltranszformációk és alkalmazásaik, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1983, ISBN 10-4463-7.