F-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén az F-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás.

Az F-eloszlást a teszt-statisztika területén használják, leggyakrabban a szórásnégyzet analízisnél (lásd még: F-teszt)

Az F-eloszlás nem összekeverendő az F-statisztikával, melyet a népesség genetikában használnak. Az F-eloszlás úgy is ismert, mint Snedecor-féle F-eloszlás vagy Fisher–Snedecor-eloszlás Ronald Fisher és George W. Snedecor után.

Definíció

Sűrűségfüggvény

Kumulatív eloszlásfüggvény

Ha $X$ valószínűségi változó F-eloszlású $d_1$ és $d_2$ paraméterekkel, akkor írhatjuk $X\sim \mathrm{F}(d_1,d_2)$. $X$ valószínűség sűrűségfüggvénye:

$\begin{array}{cc}f(x;d_1,d_2)& =\frac{\sqrt{\frac{(d_{1}x{)}^{d_1}{d}_2^{d_2}}{(d_{1}x+d_2{)}^{d_1+d_2}}}}{x\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}{\left(\frac{d_1}{d_2}\right)}^{\frac{d_1}{2}}{x}^{\frac{d_1}{2}-1}{(1+\frac{d_1}{d_2}x)}^{-\frac{d_1+d_2}{2}}\end{array}$

valós $x\ge 0$ esetekre. Itt a $\mathrm{B}$, a béta-függvény. A legtöbb alkalmazásban a $d_1$ és $d_2$ pozitív egész. A kumulatív eloszlásfüggvény:

$F(x;d_1,d_2)=I_{\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2}}(d_1/2,d_2/2),$

ahol I a szabályozott inkomplett béta-függvény. A lapultság:

${\gamma }_2=12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2{)}^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}$.

Egy $\mathrm{F}(d_1,d_2)$ k-ik momentuma létezik, és csak akkor véges, ha $2k<d_2$, és egyenlő:: ${\mu }_X\left(k\right)={\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^k\frac{\mathrm{\Gamma }(d_1/2+k)}{\mathrm{\Gamma }(d_1/2)}\frac{\mathrm{\Gamma }(d_2/2-k)}{\mathrm{\Gamma }(d_2/2)}$

Az F-eloszlás az Elsődleges béta-eloszlás partikuláris parametrizálása, melyet másodfajú béta-eloszlásnak is hívnak.

Karakterisztikus függvény

A karakterisztikus függvény:

${\phi }_{d_1,d_2}^F(s)=\frac{\mathrm{\Gamma }((d_1+d_2)/2)}{\mathrm{\Gamma }(d_2/2)}U(d_1/2,1-d_2/2,-d_2/d_1ıs)$

ahol $U(a,b,z)$ a másodfajú hipergeometrikus-függvény.

Jellemzők

Egy d₁ és d₂ paraméterekkel rendelkező F-eloszlású valószínűségi változó, két megfelelően skálázott khí-négyzet eloszlásból származtatható:

$\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}$

ahol

• U₁ és U₂ khí-négyzet eloszlásúak, d₁ és d₂ szabadságfokokkal, és
• U₁ és U₂ függetlenek egymástól

Olyan esetekben, amikor az F-eloszlást használják, például, a szórásnégyzet analízisénél, U₁ és U₂ függetlensége demonstrálható, ha alkalmazzuk a Cochran-tételt.

Általánosítás

Az F-eloszlás általánosítása, a nemcentrális F-eloszlás.

Kapcsolódó eloszlások

• Ha $X\sim {\chi }_{{\nu }_1}^2$ és $Y\sim {\chi }_{{\nu }_2}^2$, függetlenek, akkor $\frac{X/{\nu }_1}{Y/{\nu }_2}\sim \mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2)$
• Ha $X\sim \mathrm{Beta}({\nu }_1/2,{\nu }_2/2)$ (Béta-eloszlás), akkor $\frac{{\nu }_{2}X}{{\nu }_1(1-X)}\sim \mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2)$
• Hasonlóan, ha $X\sim \mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2)$, akkor $\frac{{\nu }_{1}X/{\nu }_2}{1+{\nu }_{1}X/{\nu }_2}\sim \mathrm{Beta}({\nu }_1/2,{\nu }_2/2)$.
• Ha $X\sim \mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2)$ akkor $Y=\underset{{\nu }_2\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\nu }_{1}X$ khí-négyzet eloszlás ${\chi }_{{\nu }_1}^2$
• $\mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2)$ ekvivalens a skálázott Hotelling T-négyzet eloszlással $\frac{{\nu }_2}{{\nu }_1({\nu }_1+{\nu }_2-1)}{\mathrm{T}}^2({\nu }_1,{\nu }_1+{\nu }_2-1)$.
• Ha $X\sim \mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2),$, akkor $\frac{1}{X}\sim F({\nu }_2,{\nu }_1)$.
• Ha $X\sim \mathrm{t}(m)$ (Student t-eloszlás), akkor $X^2\sim \mathrm{F}({\nu }_1=1,{\nu }_2=m)$.
• Ha $X\sim \mathrm{t}(n)$ (Student t-eloszlás), akkor $X^{-2}\sim \mathrm{F}({\nu }_1=n,{\nu }_2=1)$.
• F-eloszlás a 6. típusú Pearson-eloszlás speciális esete.
• Ha $X\sim \mathrm{F}(n,m)$, akkor $\frac{\log X}{2}\sim \mathrm{FisherZ}(n,m)$ (Fisher z-eloszlás)
• A nemcentrális F-eloszlás egyszerűsíti az F-eloszlást, ha $\lambda =0$
• A dupla nemcentrális F-eloszlás egyszerűsíti az F-eloszlást, ha ${\lambda }_1={\lambda }_2=0$
• Ha $p$ kvantilise ${\mathrm{Q}}_X(p)$ $X\sim \mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2)$ esetében, és $1-p$ kvantilise ${\mathrm{Q}}_Y(1-p)$, akkor

${\mathrm{Q}}_X(p)=1/{\mathrm{Q}}_Y(1-p)$.

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Források

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods oldala Sablon:Wayback
• Adatok

Kapcsolódó szócikkek

• Khí-négyzet eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Eloszlásfüggvény